Сборник задач

К задаче 3.25

К задаче 3.26

Задача

3.26. Поворотный пролет моста опирается на цилиндри-

ческий поплавок диаметром D = 3,4 м, плавающий в камере диа-

метром D1

= 3,6 м.

1. Определить погружение a поплавка в воду, если масса проле-

та с поплавком m = 30 т.

2. Найти осадку h пролета при действии на него внешней силы

P = 100 кН.

2. h = 0,12 м.

Ответ.

1. a = 3,3 м.

Задача

3.27. Деревянный брус постоянного сечения (относи-

тельная плотность δ = 0,75) длиной L = 2 м подвешен на шарнире

без трения и нижним концом погружен в воду.

1. Определить, до какой глубины погружения z1 вертикальное

положение бруса будет устойчивым.

2. Найти глубину z2,

при которой брус будет наклонен под углом

α = 60◦ к вертикали.

Ответ.

1. z1 ≤ L(1 −

√

) = 1 м. 2. z2 = L(1 − cos α√

) =

1 − δ

1 − δ

= 1,5 м.

Однородный брус постоянного сечения F , длиной

Задача 3.28.

L и плотностью

ρ1 нижним концом шарнирно закреплен на глубине

К задаче 3.27

К задаче 3.28

ρ > ρ1.

какой угол наклона ϕ отвечает устойчивому рав-

1. Определить,

новесию бруса в жидкости и при каких значениях

L

брус будет по-

коиться в вертикальном положении.

H

2. Какой будет при равновесном положении бруса опорная ре-

акция R в шарнире.

ρ 1;

ϕ = 0 при H ≤ r

ρ 1.

Ответ. 1. cos ϕ = L r

H

ρ

L

ρ

2. R = LF ρ1 r ρ1

− 1 при

H

≥ r ρ 1

;

ρ

L

ρ

R = LF ρ1 Lρ1

− 1 при H

≤ r ρ 1.

H ρ

L

ρ

Задача 3.29. Тонкостенный цилиндри-

ческий колокол микроманометра свобод-

но подвешен на шарнире и частично по-

гружен открытым концом под постоянный

уровень жидкости с атмосферным дав-

лением.

Определить, какова должна быть высо-

та a

расположения точки подвеса колокола

над уровнем жидкости,

чтобы при его от-

клонениях на углы θ ≤ 10◦ от вертикали он

К задаче 3.29

возвращался в исходное положение равно-

весия.

мм, его масса m = 800 г, расстояние

Диаметр колокола D = 70

центра тяжести до точки подвеса b = 200 мм.

Избыточное давление внутри колокола pи = 1 кПа, плотность

жидкости (спирт) ρ = 800

кг/м3.

Ответ. a <

πD2

−

2ρg ; для θ = 10◦ a < 332 мм.

mgb cos2 θ

pи

pи

Задача 3.30. Определить горизонтальную Pг и вертикальную Pв

4

силы давления воды на наклонно вставленный внутрь резервуара на

длину l = 1 м цилиндр диаметром d = 400 мм, если напор H = 1

м

и угол наклона цилиндра к горизонту a = 45◦.

Ответ. Pг = 1,73 кН; Pв = 1,23 кН.

72

К задаче 3.30

К задаче 3.31

Задача 3.31.

На барже с размерами дна L × B = 60 × 10 м и

осадкой C = 1,5

м установлен кран грузоподъемностью 5 т с мак-

симальным вылетом стрелы A = 15 м.

Определить угол

θ крена баржи при максимальной нагрузке

К задаче 3.32

К решению задачи 3.32

Указание. 1. При отклонении оси плавания сосуда от вертикали на

малый угол θ на сосуд действуют (см. рисунок к решению задачи) его вес

G1, вес залитой в него воды G2

и выталкивающая сила P = G1 +G2, про-

залитой воды C2 и центр водоизмещения сосуда D (точки C2 и D соот-

ветствуют вертикальному положению сосуда).

2.

Моменты от дополнительных подъемных сил P и от веса залитой

воды

G, возникающие вследствие наклона сосуда, одинаковы по вели-

чине,

но противоположны по направлению и поэтому не влияют на усло-

вия равновесия. Отсюда для устойчивого равновесия должно выполняться

условие

G2C2D = GDC1.

Ответ. z = h1 − 2ρgπR2 = 0,9 м.

G1

К задаче 3.33

К задаче 3.34

В пространстве над водой может быть установлено любое за-

данное давление воздуха.

штока при атмосферном

1. Определить глубину погружения х

давлении над уровнем воды.

2. Определить, при каком избыточном давлении pи шток выйдет

из воды и каково будет при этом его перемещение s от начального

положения при pи = 0?

3. Построить график зависимости s = f(pи).

Ответ. 1. x = 657 мм. 2. pи = 30 кПа и s = 466 мм.

Задача 3.34. Тело в форме цилиндра с полушаровой головкой,

размеры которого d = 200 мм, R = 300

мм и масса m = 230 кг,

Установить зависимость между избыточным давлением p газа

в сосуде и погружением h тела под уровнем воды и найти давление,

при котором погружение h станет равным радиусу R и полушар на-

чнет выходить из воды.

Ответ.

pи = 54 кПа.

и вертикальную

Задача

3.35. Определить горизонтальную Pг

Pв силы давления воды на вертикальный цилиндр диаметром d =

=

400 мм,

вставленный через отверстие в наклонной стенке

Н = 1,6 м.

внутрь резервуара на высоту

h = 1

м

.

Уровень воды

(α

= 45◦)

К задаче 3.35

К задаче 3.36

Задача 3.36. Определить горизонтальную Pг и вертикальную

Pв силы давления воды на горизонтальный цилиндр диаметром

d = 400 мм, который вставлен через отверстие в наклонной стенке

(α = 45◦) внутрь резервуара на длину l = 1 000 мм. Уровень воды

над осью цилиндра H = 1

м.

Глава 4. РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ

В ДВИЖУЩИХСЯ СОСУДАХ

ВВЕДЕНИЕ

При равновесии в движущемся сосуде жидкость, заполняющая

сосуд, движется вместе с ним как твердое тело. Дифференциальное

уравнение равновесия имеет вид

dp = ρ(qxdx + qydy + qzdz),

(4.1)

где p = f(x, y, z) – давление в жидкости; ρ – плотность жидкости;

qx, qy, qz – проекции единичной массовой силы q

на координатные

оси; x, y, z – координаты точек жидкости в системе отсчета, связан-

ной с сосудом.

Вектор единичной массовой силы

= lim

Q

,

q

M→0

M

где

M – масса элементарной частицы жидкости;

–

суммарная

Q

массовая сила, действующая на рассматриваемую частицу.

При движении сосуда в поле сил тяжести вектор единичной мас-

совой силы q в каждой точке жидкости представляет собой сумму

единичной силы тяжести g и единичной силы инерции j

переносно-

го движения:

(4.2)

=

+ j; j = −

q

g

a,

действующей в этой точке. Дифференциальное уравнение поверх-

ностей уровня (в частности, свободной поверхности жидкости и по-

верхности раздела несмешивающихся жидкостей)

qxdx + qydy + qzdz = 0.

(4.3)

При равновесии жидкости в сосуде, движущемся прямолиней-

но с постоянным ускорением

, поле массовой силы представляет

a

собой семейство одинаковых по величине и направлению векторов

q (рис. 4.1).

В прямоугольной системе координат x, y, z, связанной с сосудом

(ось у перпендикулярна плоскости движения), уравнение поверх-

ности уровня (в частности, свободной поверхности), проходящей

через точку x0, y0, имеет вид

a cos α

(4.4)

z − z0 = −

(x − x0),

g + a sin α

где x и z – координаты произвольной точки поверхности уровня;

α – угол наклона к горизонту вектора ускорения a.

Поверхности уровня – семейство параллельных плоскостей,

нормальных к плоскости движения и наклоненных к горизонту под

углом β, для которого

tg β = −

a cos α

(4.5)

.

g + a sin α

Закон распределения давления выражается уравнением

p = p0 − ρa cos α(x − x0) − ρ(g + a sin α)(z − z0),

(4.6)

где p0 – давление в точке с координатами x0, z0; p – давление в про-

извольной точке жидкости с координатами x, z.

Если точка (x0

, y0) расположена на свободной поверхности

жидкости в сосуде,

открытом в атмосферу, то p0 = pат (атмосфер-

ное давление).

Из уравнения (4.6) следует линейность закона изменения давле-

ния в жидкости по любому направлению. В частности, давление в

точках, находящихся на глубине h под поверхностью уровня с да-

влением p0, выражается соотношением

p = p0 + ρ(g + a sin α)h.

(4.7)

77

Для жидкости, заполняющей сосуд, открытый в атмосферу, из-

быточное давление на глубине h под свободной поверхностью

a

pи = ρg 1 +

sin α h.

(4.8)

g

Формула (4.8) применима и при замкнутых сосудах с избыточ-

ным давлением (p0 > pат) или вакуумом (p0

< pат) над жидко-

стью, если отсчитывать глубины h от пьезометрической плоскости

(поверхности уровня, давление в точках которой равно атмосфер-

ному). Давление можно вычислить и по соотношению

и

= ρqh

п

,

(4.9)

p

Сила давления, воспринимаемая плоской стенкой, на несмочен-

ной стороне которой давление равно атмосферному (рис. 4.2),

P = pCиF,

(4.10)

где pCи – избыточное давление в центре тяжести стенки, определя-

емое по формулам (4.8) или (4.9) через расстояние hC

или hC

от

центра тяжести стенки до пьезометрической плоскости; F – пло-

щадь стенки.

Расстояние между поверхностью жидкости и пьезометрической

плоскостью определяется величиной p0и избыточного давления на

поверхности.

Сила P нормальна к стенке и проходит через центр давления D,

положение которого для данной стенки зависит от величины и на-

правления вектора a переносного ускорения. Сила давления жидко-

сти на криволинейную стенку вычисляется суммированием соста-

вляющих по координатным осям (см. гл. 3). Составляющая силы

давления по заданному направлению s (рис. 4.3, а)

Ps = ρqsVs,

(4.11)

Линия действия силы Ps

прохо-

дит через центр тяжести жидкости

объемом Vs.

Силу давления P жидкости на

криволинейную стенку можно опре-

делить также из условий относитель-

Рис. 4.4

ного равновесия жидкости объемом

V , заключенным между криволиней-

ной стенкой и плоским сечением,

проведенным через граничный контур стенки (рис. 4.3, б):

(4.12)

P = N + G + J = N + Q,

где

– сила давления на плоское сечение ACB, проведенное через

N

граничный контур стенки, которая вычисляется по формуле (4.10);

G – вес объема V жидкости (G = ρgV ); J – сила инерции жидкости,

заключенной в объеме V (J = ρaV );

– суммарная массовая сила,

Q

=

+ J(Q = ρqV ).

Q

G

Сила давления жидкости на погруженное в нее твердое тело

(рис. 4.4) складывается из вертикальной силы P = ρgV , обусло-

вленной изменением давления в жидкости под действием силы тя-

жести, и силы Pи = ρaV , которая создается изменением давления

в жидкости, вызываемым переносной силой инерции. Последняя

сила направлена вдоль вектора a переносного ускорения.

Результирующая сила P =

в

+ P и проходит через центр тяже-

P

сти вытесненного телом объема V

жидкости и направлена в сторо-

ну, противоположную вектору q единичной массовой силы.

При равновесии жидкости в сосуде, равномерно вращающемся

относительно вертикальной оси, поле массовых сил q неоднород-

но. Вектор массовой силы q является суммой вектора g и вектора

единичной центробежной силы инерции j = ω2r (где ω – угловая

скорость сосуда).

Поверхности уровня представляют собой конгруэнтные1 пара-

болоиды вращения, ось которых совпадает с осью вращения сосуда

(рис. 4.5).