Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3237

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Мы рассмотрим нахождение простых	действительных
корней уравнения (4.1). При этом будем предполагать,		что
уравнение (4.1) имеет лишь изолированные	корни, т.е.	для

каждого его корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное значение корня может быть найдено различными способами. Часто при этом оказывается полезной теорема Больцано - Коши.

Теорема. Если непрерывная на отрезке a, b функция f (x) на концах отрезка принимает значения разных знаков,

т.е. f (a)	f (b) 0, то внутри отрезка найдется хотя бы одно
число	(a, b) , такое что f ( ) 0 (рис. 3).

Рис. 3

Очевидно, что если f (x) существует и сохраняет знак в

(a, b) (т.е.				функция	f (x)	монотонна),		то корень	будет
единственным (рис. 4).
		Пример.		e x	x	0 .	Рассмотрим		функцию
f ( x)		e x	x .	Очевидно, что		f (	)	, f ( )	, т.е.
на	оси		OX имеется		действительный			корень.	Так как
f	(x)	e x	1	0 x (	;	) , то корень один.

Рис. 4

Отделять корни можно аналитически и графически.

1. Когда ищут только действительные корни, то полезно составить таблицу значений f (x) . Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит хотя бы один корень.

Если узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Однако выявить по таблице корни четной кратности сложно.

2. По таблице можно построить график функции y f (x) и графически определить точки его пересечения с осью абсцисс. Если уравнение (4.1) не имеет близких между собой корней, то этим способом корни его легко отделяются.

На практике уравнение (4.1) часто бывает выгодно заменить равносильным ему уравнением

			(x)	(x) ,	(4.2)
где (x)	и	(x) - более простые функции, чем f (x) .
Пример.		e x	x ;		1;0 . Построив графики
функций	y	(x) и	y	(x) ,	искомые корни получим как

абсциссы точек пересечения этих графиков (рис. 5).

Рис. 5

Найденный интервал изоляции корня, если он мал, позволяет в качестве начального приближения принять

середину отрезка a, b , т.е. x0	a b	.
	2

Итерационный процесс	состоит		в последовательном
уточнении начального приближения			x0 . В результате

находится последовательность приближенных значений корня x1 , x2 ..., xn .

Если эти значения с ростом n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится. Рассмотрим некоторые итерационные методы решения трансцендентных уравнений. Они могут использоваться также для нахождения корней алгебраических уравнений, имеющих некоторые особенности решения.

4.3. Метод деления отрезка пополам

Это один из простейших методов решения нелинейных

уравнений. Пусть нами найден отрезок			a, b ,	в	котором
расположено искомое	значение корня	:	f (a)	f (b) 0 и
f (x) 0 . Т.е. отрезок	a, b является	интервалом			изоляции
корня.
	82

За	начальное приближение корня							x0	принимаем
середину этого отрезка: x0			a	b	. Далее исследуем значения
		2

функции	f (x) на концах отрезков					a, x0		и	x0 , b , т.е. в
точках a,x0 ,b . Тот из них, на концах которого								f (x) принимает
значения разных знаков, содержит искомый							корень; пусть это
будет отрезок x0 ,b :		f (x0 )		f (b)		0 .	Вторую половину

отрезка, не содержащую корень, отбрасываем.

В качестве первой итерации корня принимаем середину

нового отрезка:	x1	x0	b	и вычисляем	f (x1 ) .	Из двух
нового отрезка:	x1	2		и вычисляем	f (x1 ) .	Из двух
		2
половин отрезка опять				выбираем ту,	для	которой
f (x1 ) f (x0 ) 0 .	Новый отрезок опять делим пополам и т.д.
(рис. 6).

Рис. 6

Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором находится корень, уменьшается вдвое. После n

итераций он сокращается в 2n раз.

Если требуется найти корень уравнения с точностью , то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка an , bn не станет меньше 2 . Тогда середина последнего

отрезка даст значение корня с требуемой точностью.

Опишем один шаг итераций. Пусть на (n 1) шаге

найден отрезок an 1 , bn 1 такой,				что f (an 1 ) f (bn 1 ) 0 .
Делим его точкой		x0	an 1 bn 1	пополам и вычисляем
			2

f ( x0 ) .	Если f (x0 )	0 , то число x0		- корень уравнения. Если
f (x0 )	0 , то из двух половин отрезка выбираем ту, на концах

которой функция f (x) имеет противоположные знаки. То есть,

	an	an 1 ,	bn	x0 ,	если	f (x0 )	f (an 1 )	0 .
	an	x0 ,	bn	bn 1 ,	если	f (x0 )	f (an 1 )	0 .
Сужение отрезка производится путем замены границ a
или b	на	текущее значение			xk . При этом значение f (a)
вычисляется только один раз, так как						нам нужен лишь знак
функции	f (x) на левой границе, а он в процессе вычислений

не меняется.

Достоинства метода. 1. Метод очень прост и надежен. К простому корню он сходится для любых непрерывных функций, в том числе и недиференцируемых.

2.Устойчив к ошибкам округления.

3.Легко реализуется на ЭВМ.

Недостатки. 1. Скорость сходимости невелика. За один шаг точность увеличивается примерно вдвое. Для достижения

точности	нужно	совершить N	итераций:	N	log2	b a	.

Однако, если вычисление значения функции				f (x)	несложно,
то большое	число	итераций	не является		серьезным
препятствием для применения метода.

2. Метод неприменим к корням четной кратности. Для корней высокой нечетной кратности он сходится, но менее точен и хуже устойчив к ошибкам округления, возникающим при вычислении f (x) .

3. Метод не обобщается на системы уравнений.

4.4.	Метод простых итераций
Пусть отрезок	a, b	является		интервалом	изоляции
корня уравнения	(4.1).	Заменим		исходное	уравнение
эквивалентным ему уравнением:
	x	(x) .			(4.2)
Это можно сделать многими способами, например,
положив (x) x	(x) f (x),		где	(x) - произвольная
непрерывная функция, (x)		0.
Выберем некоторое число			x0 (a,b) и подставим его в

правую часть уравнения (4.2). Получим первое приближение:

		x1	(x0 ) .
Последовательно подставляя полученные значения в
правую часть (4.2), будем получать:
	x2	(x1 )	. . .,
	xn	(xn 1 ) , ( n 1,2,...).		(4.3)
Получается бесконечная последовательность x1 , x2 ,..., xn .
Пусть эта последовательность сходится: lim xn				. Считая,
			n
что функция (x) непрерывна, перейдем к пределу в (4.3):
lim xn	lim (	n 1)	( lim xn 1)	( ) .
n	n		n
Отсюда видно, что если числовая последовательность
сходится, то ее	предел	является корнем уравнения (4.2). По

формуле (4.3) его можно вычислить с любой степенью точности.

Достаточное условие сходимости устанавливается

следующей теоремой.
Теорема. Пусть функция	(x) определена и
дифференцируема на отрезке a, b .	Тогда, если существует

число 0 q

1 такое,

что

(x)

q 1

при

b, то

последовательность

(xn 1 )

(n=1,2,…)

сходится

независимо от начального значения

[a;b]

точному

решению уравнения (4.1).

Метод простых итераций легко пояснить графически.

Построим на плоскости XOY графики функций

x и

(x) . Действительный

корень уравнения

(4.1)

является

абсциссой

точки M

пересечения кривой

(x)

прямой

(x)

1 возможны

x . При этом

для

случая

два

случая: “лестница” (рис. 7)

и “спираль” (рис. 8).

0 (x) 1

Рис. 7

Общие абсциссы точек A1 и B1 ; A2 и B2 представляют собой последовательные приближения x1 , x2 ,... корня .

Очевидно, чем меньше q , тем быстрей сходимость

(скорость сходимости, как у геометрического ряда). Вблизи корня асимптотическая сходимость определяется величиной

( ) и будет особенно быстрой, если ( ) 0 . Т.о., успех

метода зависит от того, насколько удачно выбрана функция

(x) .

(x)

Рис. 8

Пример. Для извлечения корня x2

a можно записать

два равносильных уравнения

1 (x)

и x

2 x

окрестности

точки

имеем:

1(x)

1 ,

т.е.

итерационный

процесс

( a )

xn 1

расходится.

Но

2 x

0 , т.е.

2 (

a )

итерационный процесс xn	1	xn 1	a	сходится очень
	2		xn 1

быстро. Он используется на клавишных калькуляторах для извлечения корня.

Приведем практический критерий сходимости.


Для	случая		“спирали”		итерации		оказываются
попеременно по разные стороны корня ,						т.е.	(xn , xn 1 ).
Поэтому	xn	xn	xn 1	. Это надежная,		хотя и несколько

грубая оценка.

В случае “лестница” итерации сходятся к корню монотонно (с одной стороны), поэтому такая оценка неприменима. Учитывая, что вблизи корня итерации сходятся примерно как геометрическая прогрессия со знаменателем q , в этом случае

можно получить оценку:

xn 1

То есть, итерации надо прекращать при выполнении

условия

xn 1

в первом случае

и условия

xn 1

во втором.

Опишем один шаг операций. Пусть на предыдущем шаге

найдено

значение

xn 1 . Вычислим

(xn 1 ) .

Если

xn 1

, то полагаем

выполняем очередную

итерацию.

Если

же

xn 1

то

вычисления

заканчиваются

за

приближенное

значение

корня

принимаем величину xn

y .

Погрешность

результата

зависит

от

знака

(x) .

Если

(x) 0 ,

то погрешность не превышает

; если

(x)

0 , то

корень найден с погрешностью

1 q

Достоинства. 1. Так как		метод	простых	итераций
сходится при любом	x0	[a;b] ,	то он	является

самоисправляющимся. Это значит, что отдельная ошибка в вычислениях (хотя бы и грубая – сбой ЭВМ), если она не выводит за пределы отрезка [a;b] , не повлияет на точность

окончательного результата. Это отразится только на количестве итераций, т.к. ошибочное значение можно рассматривать как новое начальное значение x0 .

2. Метод простых итераций можно обобщить на случай

системы уравнений.
Недостаток: метод сходится медленно, если		(x)
Недостаток: метод сходится медленно, если		(x)
близка к единице.

4.5. Метод Ньютона (Метод касательных)

Данный метод является очень общим и применим к широкому классу нелинейных уравнений. С формальной точки зрения его можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, но он основан на совершенно иной идее (рис. 9).

	Рис. 9
Пусть корень	уравнения	f (x) 0 отделен на отрезке
a, b , причем на	этом отрезке	существуют непрерывные

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20223.59 Mб13230.pdf
#
15.11.20223.59 Mб03231.pdf
#
15.11.20223.61 Mб93234.pdf
#
15.11.20223.61 Mб23235.pdf
#
15.11.20223.63 Mб23236.pdf
#
15.11.20223.63 Mб33237.pdf
#
15.11.20223.63 Mб23238.pdf
#
15.11.20223.65 Mб03239.pdf
#
15.11.20223.66 Mб03241.pdf
#
15.11.20223.67 Mб13245.pdf
#
15.11.20223.69 Mб03247.pdf