3237

.......................................,

Если данная последовательность сходится: X lim X (k ) ,

k

то этот предел является решением системы (3.11).

Можно доказать, что процесс итераций (3.13) сходится хорошо (число приближений, необходимых для достижения заданной точности невелико), если элементы матрицы A малы по модулю. Это значит, что для успешного применения метода итераций модули диагональных элементов aii исходной

системы должны быть велики по сравнению с недиагональными элементами исходной матрицы.

Сформулируем без доказательства достаточное условие сходимости метода простых итераций в терминах оценок

то метод итераций (простых) для данной системы сходится к единственному решению, независимо от выбора начального приближения.

Пример. Проверить условия теоремы для системы

70

Также можно проверить, что не выполняется и третье условие. Метод простых итераций применить нельзя. Но исходную систему можно переписать иначе:

Легко проверить, что в этом случае условия теоремы выполнены и метод применим.

Формулы (3.13) можно записать и в развернутом виде:

j1

Спомощью этих формул организуется циклический вычислительный процесс, каждый цикл которого является одной итерацией.

Врезультате каждой итерации получено очередное приближение. Если наибольшее по модулю значение разности

неизвестных на двух последовательных итерациях не

71

превышает заданную погрешность , процесс прекращается. (Не предусмотрен случай отсутствия сходимости).

Пример. Решить систему методом простых итераций:

10x1 x2 x3 12

2x1 10x2 x3 13 2x1 2x2 10x3 14.

Решение. Приведем систему к виду (3.12):

x1 1.2 0.1x2 0.1x3 x2 1.3 0.2x1 0.1x3 x3 1.4 0.2x1 0.2x2 .

В качестве начального приближения возьмем систему

В таблице 13 приведены вычисления с точностью до

72

Сходящийся метод итераций обладает важным свойством самоисправляемости, то есть отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так как каждое промежуточное значение неизвестных можно принять за новое начальное приближение. Если процесс итераций сходится, то окончательный результат не зависит от выбора начального приближения.

Достаточные условия сходимости метода итераций накладывают жесткие ограничения на коэффициенты системы (3.12). Однако, если определитель матрицы А не равен нулю, то систему (3.11) с помощью элементарных преобразований всегда можно заменить эквивалентной системой (3.12), для которой условия сходимости будут выполняться. Практически поступают следующим образом. Из заданной системы выделяют уравнения с коэффициентами, модули которых

такую строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным. Из оставшихся неиспользованных и выделенных уравнений системы с помощью операций сложения уравнений и умножения уравнений на число получают новые уравнения системы такие, чтобы один из коэффициентов по абсолютной величине оказался больше суммы абсолютных величин остальных коэффициентов. При этом нужно позаботиться, чтобы каждое

73

уравнение исходной системы участвовало в формировании новой системы.

Пример. Рассмотрим систему

модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов, поэтому можно принять это уравнение за третье уравнение новой системы. Аналогично, уравнение (4) можно взять в качестве первого уравнения новой системы. Для получения уравнения (2) с максимальным по модулю коэффициентом при x2 достаточно составить разность уравнений (1) и (2).

Получим уравнение x1 5x2 x3 1 . Подбором убеждаемся, что за уравнение (4) можно взять линейную комбинацию

2 (1) (2) 2(3) (4) , т.е. 3x1 9x4 10 0 . В итоге получаем систему уравнений, для которой метод итерации сходится

3.5. Метод Зейделя

Одним из самых распространенных итерационных методов, отличающийся простотой и легкостью программирования, является метод Гаусса-Зейделя. Он представляет собой модификацию метода простых итераций и состоит в следующем.

74

x1(0)

По такому же правилу находится второе приближение и т.д.

Можно показать, что теорема о сходимости метода простых итераций остается верной и для метода Зейделя.

75

Обычно метод Гаусса-Зейделя дает более быструю сходимость, чем метод простых итераций. Процесс Зейделя может сходиться даже в том случае, если расходиться процесс итерации. Однако, возможны случаи, когда процесс Зейделя сходится медленнее процесса итерации или, когда процесс итерации сходится, а процесс Зейделя расходится.

Пример. Решим предыдущую систему при том же начальном приближении методом Зейделя.

Решение.

достигается такая же точность, что и для метода простых

76

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

9x1 4x2 4x4 2 5x1 7x2 x4 2

5x1 5x2 12x3 x4 5

4x1 5x2 4x3 14x4 3.

2. Решить методом Гаусса систему уравнений

3x1 x2 x3 4 x1 x2 2x3 9

2x1 5x2 x3 5.

найти обратную матрицу A 1

5. Дана система

77

Проверить условия сходимости процесса итерации к точному решению системы.

6. Решить систему методом простых итераций:

25x1 x2 3.5x3 5

7. Решить систему методом простых итераций с точностью 0.001:

8. Для системы

6x1 x2 x3 11.33 x1 6x2 x3 32 x1 x2 6x3 42

известны приближенные значения неизвестных, полученные методом Гаусса с тремя значащими цифрами

78

4. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

4.1. Общие замечания

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые,

(тригонометрические, логарифмические, показательные и др.), называются трансцендентными.

Однако не все уравнения удается решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы.. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью этих методов состоит из двух этапов:

1.Отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2.Уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

4.2.Нахождение действительных корней уравнения

79