3237

Положим

x0 1.2 ;

тогда

q

x x0

1.2 1.2

0 .

h

0.4

Воспользуемся для вычисления формулами

y (x0 )

1

y0

2 y0

3 y0

.....

,

h

2

3

y (x0 )

1

2 y0

3 y0 ..... ,

h2

y (1.2)

1

0.992

1

0.129

1

0.032

0.4

2

3

2.5

(0.992

0.0645

0.0107)

2.614;

y (1.2)

1

0.129

0.032

0.606 .

0.42

Пример.

Найти

y (50)

функции

y

lg x ,

заданной

таблицей 17.

Таблица 17

x

y

y

2 y

3 y

50

1.6990

414

-36

5

55

1.7404

378

-31

60

1.7782

347

65

1.8129

Решение.

Здесь

h

5 .

Используя

первую

строчку

таблицы, на основании

формулы (5.5),

с точностью до

разностей третьего порядка, будем иметь

y (50)

1

(0.0414

0.0018

0.0002)

0.0087.

5

Для оценки точности найденного значения, заметим, что

так как табулированная

выше функция

есть

y

lg x , то

yx

M

0.43429

.

Следовательно,

y (50)

M

0.0087.

x

x

50

Таким образом, результаты совпадают с точностью до

четвертого десятичного знака.

5.3. Конечно-разностные

аппроксимации производных

Пусть отрезок

a, b

разбит на

n

( n

2 )

равных частей

точками

xi

:

a

x0

x1

x2

... xi

1

xi

xi

1 ...

xn

b .

Разность

между

соседними

значениями

аргумента

постоянна, т.е. шаг

h

xi

xi 1 , ( i

1,2,..., n ). Далее, пусть на

отрезке

a, b

определена функция y

f (x) , значения которой

в точках xi равны yi

f (xi ) ( i

0,1,2,..., n ).

Запишем выражения для первой производной функции в

точке xi

с помощью отношения конечных разностей:

а) аппроксимация с помощью разностей вперед (правых

разностей)

y (xi )

yi

,

xi

xi 1

xi

h ,

yi

yi 1

yi ,

xi

y (xi )

yi

1

yi

( i

0,1,2,..., n

1);

(5.7)

h

б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых

разностей)

y (xi )

yi

,

xi

xi 1

xi

h ,

yi

yi 1

yi ,

xi

y (xi )

yi

yi 1

( i

1,2,..., n ) ;

(5.8)

h

в) аппроксимация с помощью центральных разностей

(точка xi

является центром системы точек xi 1 , xi , xi

1 )

y (xi )

yi

,

xi

xi 1

xi 1

2h ,

yi

yi 1

yi ,

xi

y (xi )

yi 1

yi 1

( i 1,2,..., n 1).

(5.9)

2h

соотношений (5.7) и (5.8) в точках

xi

( i 1,2,..., n 1).

Отметим, что соотношения (5.7) и (5.9) не позволяют

вычислить производную в точке xn

b ,

а

(5.8)

и (5.9) - в

точке x0 a .

Можно показать, что для функции

y

f (x) ,

имеющей

y (xi )

yi

,

xi

xi 1

xi

h ,

yi

yi 1

yi ,

xi

а производные первого порядка

yi

и

yi

1 -

с помощью

левых разностей

yi 1

y (xi 1 )

yi

1

yi

,

yi

y (xi )

yi yi

1

.

h

h

Окончательно получим

y (xi )

yi 1 2 yi

yi

1

,

(i

1,2,..., n

1)

(5.10)

h2

x 2.4 0.05 n (n

1,3,5,7,9,11)

для

функции, заданной

таблицей 18:

Таблица 18

x

y(x)

x

y(x)

2.4

3.526

3.6

4.222

2.6

3.782

3.8

4.331

2.8

3.945

4.0

4.507

3.0

4.043

4.2

4.775

3.2

4.104

4.4

5.159

x 1.6 0.08 n (n

2,4,6,8,10)

для функции, заданной таблицей

19:

Таблица 19

x

y(x)

x

y(x)

1.5

10.517

4.5

8.442

2.0

10.193

5.0

8.482

2.5

9.807

5.5

8.862

3.0

9.387

6.0

9.701

3.5

8.977

6.5

11.132

4.0

8.637

7.0

13.302

таких

случаях

используются

методы

численного

интегрирования, состоящие в том, что данную функцию

f (x)

на отрезке

a, b

заменяют

интерполирующей

или

специальные

приближенные

формулы

для вычисления

определенных

интегралов

называют

квадратурными

формулами или формулами численного интегрирования.

6.2. Метод прямоугольников

Простые квадратурные формулы можно вывести

непосредственно из определения

интеграла,

т.е. из формулы

(6.1). Зафиксировав там некоторое n

1, будем иметь

n

xi .

(6.3)

I

f (

i )

i 1

служат отрезки [xi

1, xi ] , а высотами – ординаты

f (

i ) ).

Условимся в дальнейшем пользоваться равномерным

разбиением отрезка

[a,b]

на

n частей точками

xi

с шагом

h

b a

, полагая

n

x0 a ,

xi

xi 1

h

( i 1,2,..., n 1),

xn

b .

При таком разбиении формула (6.3) приобретает вид

n

i ) ,

i [xi 1, xi ] .

(6.4)

I

h

f (

I П

n

) , (6.5)

I

h

f (x

1

)

h( y

0

y

...

y

i

...

y

n 1

i

1

i 1

I П

n

) ,

(6.6)

I

h

f (x )

h( y

y

2

...

y

i

...

y

n

i

1

i

1

использующая

значения

функции

f (x)

в

середине

элементарных отрезков, т.е.

1

(x

x ) . В результате

i

1

2

i

i

имеем квадратурную формулу средних прямоугольников

I П

n

h

n

h

.

(6.7)

I

h

f

x

h

f

x

1

i

1

i

2

i 1

i

2

Для формул (6.5) и (6.6) может быть получена следующая

оценка погрешности

R(h)

b

a

M1 h;

M1

max

f '(x)

,

(6.8)

2

x

a;b

а для формулы (6.7)

R(h)

b

a

M

2h2 ;

M 2

max

f (x)

,

(6.9)

24

x a;b

то есть

формула

средних

имеет

более

высокий порядок

точности.

Как видно из формулы (6.9),

при увеличении числа n

2

I

xdx ,

разбив интервал

интегрирования на 10 частей.

1

Оценить погрешность.

2

1

Решение. Здесь

y

x ; при n

10 имеем h

0.1.

10

Точками деления служат x0

1 ,

x1

x0

h

1.1 ,

x2

1.2 ,…,

x9

1.9 . Найдем соответствующие значения подынтегральной

функции:

1,

1.049 ,

1.095,

y0

x0

1

y1

1.1.

y2

y3

1.140 ,

y4

1.183,

y5

1.225 ,

y6

1.265,

y7

1.304,

y8

1.342 ,

y9

1.378.

Используя формулу прямоугольников, получим:

I

0.1 (1.000

1.049

1.095

1.140

1.183

1.225

1.265

1.304

1.342

1.378)

0.1 11.981

1.20.

Оценим погрешность. В данном случае

f

(x)

1

;

2 x

на отрезке

1;2

достигает наибольшего значения,

равного 0.5 ,

при

x 1.

Таким

образом,

f (x)

M1

1 2 .

По формуле

(6.8) находим:

R(h)

0.1

1

1

0.025.

2

2

Следовательно,

I

1.20

0.025.

6.3.

Метод трапеций

Для

получения

других

формул

численного

P (x)

y

0

q y

0

q(q 1) 2

y

0

...

q(q

1)

... (q

n 1) n

y

0

,

n

2!

n!

в

котором

x

x0

hq .

Тогда

dx

hdq,

пределы

интегрирования

равны a

x0 ,

b

x0

nh . Проинтегрировав

многочлен Ньютона на отрезке

a, b ,

получим

b

x0

nh

n

q(q

1)

2 y0

f (x)dx

F (x0

hq)hdq

h

y0

q

y0

2!

a

x0

0

q(q

1)(q

2)

3

y0

... dq.

3!

В результате интегрирования будем иметь

x0

nh

n2

n3

n2

2 y0

n

4

3

2

3 y0

ydx

h ny0

y0

n

n

... . (6.10)

2

3

2

2!

4

3!

x0

только две точки x0

и x0

h . Тогда

x0 h

1

y1 y0

y0 y1

ydx h y0

y0

h y0

h

. (6.11)

2

2

2

x0

Рис. 14

Для формулы (6.11) может быть получена следующая

оценка погрешности

(x

x

0

)3

R(h)

1

max

f (x)

.

12

x x0 , x1

Так как ошибка вычислений возрастает с увеличением

длины

отрезка интегрирования,

то для

уменьшения этой

ошибки

поступают

следующим

образом.

Разбив

интервал

a,b

на

n частей,

можно

применять формулу

(6.11) для