3237

f1

f1

J

x1

x2

0 .

f 2

f 2

x

(n 1)

x

(n)

1

f

1

f 2

f

2

f1

1

1

J

x2

x2

.

(n 1)

(n)

1

f 2

f1

x2

x2

f1

f 2

J

x1

x2

Величины

в

правой

части

вычисляются

при

x(n)

(x(n) , x(n) ) .

1

2

4.9. Метод итерации для системы двух уравнений

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными

f1 (x, y)

0

(4.12)

f2 (x, y) 0,

где

f1 (x, y) , f2 (x, y)

непрерывные функции. Требуется найти

действительные корни этой системы.

Предположим,

что

эта

система

имеет

только

изолированные корни. Начальное приближение

( x0 , y0 )

можно

найти графически,

построив

кривые

f1(x, y) 0 ,

f2 (x, y)

0 и определив координаты их точек пересечения.

Представим систему (4.12) в виде

x

1(x, y)

(4.13)

y

2 (x, y)

x1

1 (x0 , y0 ) ;

y1

2 (x0 , y0 ) ;

x2

1(x1, y1) ;

y2

2 (x1, y1) ;

(4.14)

……………………………………….

xn 1

1 (xn , yn ) ;

yn 1

2 (xn , yn ) .

Если

существуют пределы

lim xn ,

lim yn , то

n

n

точка (

,

) является решением системы (4.12).

Достаточные

условия сходимости итерационного

процесса содержатся в следующей теореме.

Теорема.

Пусть

в

некоторой

области

R a

x

A, b

y

B имеется одно решение системы (4.13).

1 (x, y)

2

(x, y)

q1

1

x

x

1 (x, y)

(x, y)

q2

1,

2

y

y

lim xn ,

lim yn .

n

n

Пример.

Решить методом итераций систему уравнений

x 3lg x

y 2

0

2x2 xy

5x

1 0.

Решение.

Построим

кривые 1(x, y)

x

3lg x y2 и

2 (x, y) 2x2

xy 5x 1

и определим графически точки их

пересечения (рис.12). Это будут точки (14.;

14.)

и (3.4; 2.2) .

x

y2

3lg x

1(x, y) ,

y 2x

1

5

(x, y),

2

x

то производные

1(x, y)

3lg e

;

1

(x, y)

2 y ;

x

x

y

2 (x, y)

2

1

;

2 (x, y)

0.

x

x 2

y

2 (x, y)

1

(x, y)

1

,

1

(x, y)

4 .

x

x

y

x( y

5)

1

x

1(x, y);

y

x 3lg x

2 (x, y).

2

Здесь

1 (x, y)

1

5 y

;

1(x, y)

1

x

;

x

y

2 2 x(5 y) 1

2 2 x(5 y) 1

1

3lg e

2 (x, y)

2 (x, y)

x

;

0.

x

y

2

x

3lg x

За

область

изоляции

корня

можно

принять

прямоугольник 3

x 4 ,

2

y

2.5.

Легко

установить,

что в этом прямоугольнике

1

(x, y)

0.60 ,

1(x, y)

0.32 ,

2 (x, y)

0.34.

x

y

x

Отсюда

1(x, y)

2 (x, y)

0.60

0.34 0.94

1,

x

x

1(x, y)

2 (x, y)

0.32

0 0.32

1.

y

y

Вычисления

с

нулевыми

приближениями

x0

3.4 ,

y0

2.2

будем производить по формулам

xn

xn ( yn

5)

1

, yn 1

( n

0,1,2,...).

1

xn

3lg xn

2

При

различных

значениях

n

эти

вычисления

дают

следующие результаты

x1

3.4(2.2

5)

1

3.426 , y1

3.426

3lg3.426

2.243,

2

x2

3.451,

y2

2.205,

x3

3.466,

y3

2.255 ,

x4

3.475,

y4

2.258,

x5

3.480 ,

y5

2.259 ,

x6

3.483,

y6

2.260.

Таким образом,

можно принять

3.483 ,

2.262 .

действительных корней уравнения

x3

12x 1 0 .

3.

Методами деления

пополам,

касательных и хорд

решить с точностью до 0.01 уравнения:

а)

x 4

3x 20 0 ;

б)

x3

2x 5 0 ;

в)

x 4

3x 1 0 ;

г)

x3

3x 5 0 .

всегда,

в частности, если функция f (x) задана таблично, а

также

при

решении

дифференциальных

уравнений

заменяют

данную

функцию

f (x) на

отрезке a, b

интерполирующей функцией

P(x) (чаще всего полиномом), а

затем полагают

f (x)

P (x) .

(5.1)

Аналогично поступают при нахождении производных

высших порядков функции

f (x) .

Если для интерполирующей функции

P(x) известна

погрешность

R(x) f (x)

P(x) , то погрешность производной

P (x) выражается формулой

r(x)

f (x)

P (x)

R (x) ,

(5.2)

y f (x)

и Y P(x)

на отрезке a, b

еще не гарантирует близости на этом отрезке

их производных

f (x) и P (x) , т.е. малого расхождения

5.2.

Формулы приближенного дифференцирования,

основанные на первой интерполяционной формуле

Ньютона

Пусть

имеем

функцию

f (x) ,

заданную

в

равноотстоящих точках

xi

(i

0,1,2, . . n. ),

отрезка a, b с

помощью значений

yi

f (xi ) .

Для нахождения на

a, b

производных

y f

(x) ,

y

f

(x) и т.д.

функцию

f (x)

приближенно

заменим

интерполяционным полиномом

Ньютона, построенным для системы узлов

x0 , x1,..., xn ,

т.е.

f (x)

Pn (x).

y(x)

y0

q y0

q(q 1)

2

y0

q(q 1)(q 2) 3

y0

2!

3!

q(q

1)(q

2)(q 3)

4 y0

...,

4!

где q

x

x0

,

h

x x

i

1

(i

1,2,..., n) .

h

i

Перепишем ее, выполнив умножение:

y(x)

y0

q y0

q2

q 2

y0

q3

3q2

2q 3

y0

2!

3!

q4

6q3

11q2

6q

4 y0 ....

4!

Так как

dy

dy

dq

1

dy

,

dx

dq

dx

h

dq

то

y (x)

1

y0

2q 1

2

y0

3q 2

6q 2 3

y0

h

2

6

2q3

9q 2

(5.3)

11q

3 4

y0 ....

12

Аналогично, так как

y (x)

d ( y )

d ( y ) dq

,

dx

dq

dx

то

y (x)

1

2

y0

(q

1)

3

y0

6q 2

18q

11

4

y0 .... .

(5.4)

h2

12

Таким же способом в случае надобности можно

вычислить и производные функции y(x) любого порядка.

Иногда требуется находить производные функции

y в

основных

табличных

точках

xi . В этом случае формулы

Pn (x0 )

1

y0

2 y0

3 y0

4 y0

5 y0

.....

(5.5)

h

2

3

4

5

и

P (x

0

)

1

2

y

0

3

y

0

11

4

y

0

5

5

y

0

..... .

(5.6)

n

h2

12

6