3237

x4.02 105 0.0077 3.1103 .

1.3.Правила записи приближенных чисел

Известно, что всякое положительное число a может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

Каждая единица, стоящая на определенном месте в числе a , записанном в виде десятичной дроби, имеет свое

10

значение. Единица, стоящая на первом месте, равна 10m , на втором - 10m 1, на n - 10m n 1 и т.д.

Значащими цифрами приближенного числа a называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числе a 0.002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими, так как первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8 , а второй указывает, что в

приближенном числе сохранен десятичный разряд 10 6 . Первые n значащих цифр приближенного числа

называются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого

является приближенным с тремя верными знаками, так как

имеющем n верных знаков, n первых значащих цифр его совпадают с соответствующими цифрами точного числа A . Например, приближенное число a 9.995, заменяющее точное A 10, имеет три верных знака, причем все цифры этих чисел различны. Однако во многих случаях дело обстоит именно так, что верные знаки приближенного числа одинаковы с соответствующими цифрами точного числа.

11

В некоторых случаях удобно говорить, что число a является приближением точного числа A с n верными знаками в широком смысле, понимая под этим, что абсолютная

разряда, выражаемого n -ой значащей цифрой приближенного числа.

Например, для точного числа A 412.3567 число a 412.356 является приближением с шестью верными

дальнейшем верные знаки приближенного числа будем понимать в узком смысле).

цифру этого числа, т.е.

где m - первая значащая цифра числа a . Если число a имеет

12

Пример. Сколько десятичных знаков надо взять от

относительную погрешность. Для решения обратной задачи –

количество верных знаков данного приближенного числа a . В

относительную точность 1% . Сколько в нем верных знаков?

Решение. Имеем 242530.01 243 2.43102 .

Следовательно, число a имеет верные лишь первые две цифры

( n 2 ).

Пример. Даны два числа а) 0.4357; б) 12.384. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле.

Решение. а) Так как все четыре числа а=0.4357 верны в

13

Задачи для самостоятельного решения

4. Каковы относительные погрешности объема шара и площади поверхности сферы, если их радиус известен с точностью до 10% .

5.Каковы относительные погрешности объема и боковой поверхности конуса, если их радиус известен с точностью до

10% .

6.Каковы относительные погрешности объема и боковой поверхности цилиндра, если их радиус известен с точностью до

10% .

14

2.МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ

2.1. Постановка задачи аппроксимации

Часто приходится рассматривать функции f (x) , заданные табличными значениями yi f (xi ), (i 0,1,2,..., n) . Эти

значения могут быть получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же функции в

экспериментов. В некоторых случаях даже при известной зависимости y f (x) ее использование в практических

расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).

В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию f (x) , заданную таблично

аппроксимирующей.

На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом

При этом коэффициенты ai подбираются так, чтобы

достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочно-полиномиальной аппроксимации. По сравнению с другими семействами функций, пригодных для построения теории приближений, например, таких, как тригонометрические или показательные функции, для вычислительной математики многочлены привлекательны тем, что они являются линейными функциями своих параметров (коэффициентов), и их вычисление сводится к выполнению

15

конечного числа простейших арифметических операций –

называется непрерывной (или интегральной).

2.2. Вычисление значений многочлена по схеме Горнера

Поскольку большинство методов аппроксимации функций сводится к замене этих функций многочленами, то одной из важнейших задач является отыскание удобного способа вычисления значения многочлена в произвольной точке. Одним из критериев удобства является уменьшение числа сложений и умножений, необходимых для вычисления многочлена.

Отсюда, последовательно вычисляя числа

16

находим bn Pn (x0 ) .

Описанный метод вычисления значения многочлена в заданной точке носит название схемы Горнера. Она позволяет сократить число сложений и умножений до 2n операций, при этом повышается точность вычисления.

Пример. Вычислить значение многочлена

Следовательно, P6 (x) 69.

Практически схему Горнера удобно реализовывать в виде следующей таблицы

17

интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек (сплошная линия) (рис.1).

Максимальная степень интерполяционного многочлена m n . В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен

18

многочлена (2.6) находятся из системы уравнений (2.5). Можно доказать, что при xi xk ( i k ) эта система имеет единственное решение.

Рис. 1

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала значений x . В этом случае интерполяция называется кусочной (или локальной).

Обычно интерполяционные многочлены используются для аппроксимации в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции, т. е. при (x0 x xn ) . Иногда они

используются и для приближенного вычисления функции вне

19