2939
.pdfПо формуле (4.14) вычисляем k0
|
|
k0 |
1 |
|
8.64 |
0.434 |
|
0.0390, |
|
|
|
|
|
|
4.91 |
0.1956 |
|
|
|||
|
|
97.91 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
отсюда по формуле (4.16) |
находим |
y1 1.7 0.0390 |
1.6610. |
|||||||
Повторяя этот процесс с полученными значениями корней, |
получим |
|||||||||
x2 |
1.2343, |
y2 1.6615 и т.д. |
|
|
|
|
|
|||
4.8. |
МЕТОД ИТЕРАЦИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ |
|||||||||
|
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными |
|
||||||||
|
|
|
|
|
F1 (x, y) |
0 |
|
|
(4.10) |
|
|
|
|
|
|
F2 (x, y) 0, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
F1 (x, y) , |
F2 (x, y) непрерывные функции. Требуется найти |
действительные корни этой системы.
Предположим, что эта система имеет только изолированные
корни. Начальное |
приближение |
( x0 , y0 ) |
можно найти графически, |
построив кривые |
F1 (x, y) 0 , |
F2 (x, y) |
0 и определив коорди- |
наты их точек пересечения. |
|
|
|
Представим систему (4.10) в виде: |
|
|
|
x |
1(x, y) |
|
(4.17) |
|
|
y |
2 (x, y) |
|
|
|
|
|
|
||
и построим |
последовательные приближения по следующим форму- |
||||
лам: |
|
|
|
|
|
|
x1 |
1 (x0 , y0 ) ; |
y1 |
2 (x0 , y0 ) ; |
|
|
x2 |
1(x1, y1) ; |
y2 |
2 (x1, y1) ; |
(4.18) |
………………………………………. |
|
||||
xn 1 |
1 (xn , yn ) ; |
yn 1 |
2 (xn , yn ) . |
|
|
Если |
существуют пределы |
lim xn , |
lim yn , то |
||
|
|
|
|
n |
n |
точка ( , |
) является решением системы (4.10). |
|
81
Достаточные условия сходимости итерационного процесса
содержатся в следующей теореме. |
|
|
|
|
Теорема. |
Пусть |
в |
некоторой |
области |
R a x A, b |
y B имеется одно решение системы (4.17). |
Если выполнены условия:
1)функции 1(x, y) и 2 (x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в R ;
2)начальное приближение ( x0 , y0 ) и все последующие при-
|
ближения ( xn , yn ) принадлежат R ; |
|
|
|
||||
4) |
3) в R выполнены неравенства |
|
|
|
||||
|
|
1(x, y) |
|
2 |
(x, y) |
|
q1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1(x, y) |
|
(x, y) |
|
q2 |
1, |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
y |
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
то процесс последовательных приближений (4.18) сходится к кор-
ням системы (4.17), т.е. существуют пределы lim xn , n
lim yn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Решить методом итераций систему уравнений |
||||||||
|
|
x |
3lg x |
y 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2x2 |
xy 5x 1 0. |
|
|
|
|||
Решение. |
Построим |
кривые |
1(x, y) |
x |
3lg x y2 и |
||||
2 (x, y) 2x2 |
xy |
5x |
1 |
и |
определим |
графически точки их |
|||
пересечения (рис. 13). |
Это будут точки (14.; |
14.) |
и |
(3.4; 2.2) . |
Для применения метода итерации необходимо привести систему к виду (4.11), что можно сделать различными путями. Если приведем систему к виду:
x y2 3lg x |
1(x, y) , |
y 2x |
1 |
5 |
2 (x, y), |
|
|
||||||
x |
||||||
|
|
|
|
|
то производные
82
1(x, y) |
|
3lg e |
; |
1 |
(x, y) |
2 y ; |
2 |
(x, y) |
2 |
1 |
; |
x |
|
x |
|
y |
|
x |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(x, y) |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда видно, |
что в окрестности точки |
|
x0 3.4 , |
y0 2.2 |
|||||||||||
будут иметь место неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(x, y) |
|
1(x, y) |
|
1, |
|
1 |
(x, y) |
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13
Это показывает, что при таком виде системы итерационный процесс расходится. Определим теперь x из второго уравнения, а y из первого и запишем нашу систему в таком виде:
|
|
x( y |
5) 1 |
|
|
|
|
|
||
x |
1 |
(x, y); |
y |
x 3lg x |
2 (x, y). |
|||||
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь
83
|
|
1(x, y) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 y |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
1(x, y) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 2 x(5 y) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 x(5 y) 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3lg e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
x |
3lg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
За |
область |
изоляции |
|
|
|
корня |
можно |
принять |
прямоугольник |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
x 4 , |
2 |
|
|
|
|
y |
2.5. |
|
|
|
Легко установить, |
|
|
что в этом прямо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
угольнике |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1(x, y) |
|
0.60 , |
|
|
|
1(x, y) |
|
0.32 , |
|
|
|
|
2 (x, y) |
|
0.34. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (x, y) |
|
|
0.60 |
0.34 |
0.94 |
|
1, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (x, y) |
|
|
0.32 |
0 |
|
0.32 1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Следовательно, итерационный процесс сходится, но так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумма производных |
по |
|
|
x |
сравнительно |
велика, |
то скорость схо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
димости оказывается небольшой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Вычисления |
|
|
|
с |
|
|
|
|
нулевыми |
приближениями |
x0 3.4 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y0 |
2.2 будем производить по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xn |
|
|
|
|
|
xn ( yn 5) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
yn 1 |
|
|
|
|
|
|
xn |
3lg xn |
( n |
0,1,2,...). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При различных значениях |
n эти вычисления дают следующие ре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зультаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x1 |
3.4(2.2 |
|
|
5) |
|
1 |
|
|
|
|
3.426 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
3.426 |
|
3lg3.426 |
2.243, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
3.451, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
2.205, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x3 |
3.466, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
2.255 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x4 |
3.475, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y4 |
2.258, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x5 |
3.480 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y5 |
2.259 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
x6 3.483, |
y6 2.260. |
|
|
Таким образом, |
можно принять |
3.483 , |
2.262 . |
5.ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
5.1.ПОСТАНОВКА ВОПРОСА
Обычное нахождение производной с помощью таблицы производной при численном решении задач применимо не всегда, в частности, если функция задана таблично, а также при решении
дифференциальных уравнений разностными методами. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.
Для вывода формул приближенного дифференцирования за-
меняют данную функцию |
f (x) |
на отрезке |
a, b |
интерполирую- |
||
щей функцией P(x) (чаще всего полиномом), а затем полагают: |
||||||
|
f (x) |
P (x) . |
|
(5.1) |
||
Аналогично поступают при нахождении производных высших |
||||||
порядков функции f (x) . |
|
|
|
|
|
|
Если для |
интерполирующей функции |
P(x) известна по- |
||||
грешность R(x) |
f (x) |
P(x) , то погрешность производной P (x) |
||||
выражается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
r(x) |
f (x) |
P (x) R (x) , |
(5.2) |
то есть погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для производных высших порядков.
Следует отметить, что приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых
y f (x) и Y P(x)
на отрезке a, b еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных f (x) и P (x) , т.е. малого расхождения угловых ко-
эффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента (рис. 14).
85
Рис.14
5.2. ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА ПЕРВОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ
ФОРМУЛЕ НЬЮТОНА
Пусть имеем функцию |
f (x) , заданную в равноотстоящих |
||
точках xi |
(i 0,1,2, . . n. ,) |
отрезка |
a, b с помощью значений |
yi f (xi ) . |
Для нахождения |
на a, b |
производных y f (x) , |
yf (x) и т.д. функцию f (x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенного для системы узлов
x0 , x1,..., xn , т.е. |
f (x) |
Pn (x). |
|
|
|
|
|
||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y(x) |
y0 |
q y0 |
|
q(q 1) |
2 |
y0 |
q(q 1)(q 2) 3 |
y0 |
||
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
q(q |
1)(q |
2)(q |
3) |
4 y0 |
..., |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где q |
x |
x0 |
, |
h x |
x |
1 |
(i 1,2,..., n) . |
|
|
||||||
|
|
h |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
|
Перепишем ее, выполнив умножение:
y(x) |
y0 |
|
|
q y0 |
|
|
q2 |
|
|
q |
2 |
y0 |
|
q3 |
3q2 |
|
2q 3 |
y0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
q4 |
|
|
6q3 |
|
11q2 |
|
|
|
6q |
|
|
4 y0 .... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
dy |
|
|
dq |
|
|
|
1 |
|
|
dy |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
dq |
|
dx |
|
|
h |
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) |
1 |
|
|
y0 |
|
2q 1 |
|
2 |
y0 |
|
3q 2 |
|
|
6q 2 3 |
y0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
h |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2q3 |
9q 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11q |
3 4 |
y0 .... |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y (x) |
|
|
d ( y ) |
|
|
|
d ( y ) dq |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dq |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) |
1 |
|
2 |
y0 |
(q |
1) |
|
3 |
y0 |
|
|
6q 2 |
|
|
18q |
11 |
4 |
y0 |
.... . (5.4) |
||||||||||||||||||||||
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким же способом в случае надобности можно вычислить и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производные функции y(x) любого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Иногда требуется находить производные функции |
y в основ- |
ных табличных точках xi . В этом случае формулы численного
дифференцирования упрощаются. Так как каждое табличное |
значе- |
||||||||||||
ние можно считать за начальное, то положим |
x x0 , q |
0; то- |
|||||||||||
гда будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Pn (x0 ) |
1 |
|
y0 |
2 y0 |
|
3 y0 |
|
4 y0 |
|
5 y0 |
..... |
(5.5) |
|
h |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
87
и
P (x |
0 |
) |
1 |
2 |
y |
0 |
3 |
y |
0 |
11 |
4 |
y |
0 |
5 |
5 |
y |
0 |
..... . |
(5.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
|
h2 |
|
|
|
|
12 |
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Найти |
y (50) |
функции y |
|
lg x , |
заданной табли- |
цей 9.
|
|
|
|
Таблица 9 |
|
x |
y |
y |
2 y |
|
3 y |
50 |
1.6990 |
414 |
-36 |
|
5 |
55 |
1.7404 |
378 |
-31 |
|
|
60 |
1.7782 |
347 |
|
|
|
65 |
1.8129 |
|
|
|
|
Решение. Здесь h 5 . Используя первую строчку таблицы, на основании формулы (5.5), с точностью до разностей третьего порядка, будем иметь
|
|
|
y (50) |
|
1 |
(0.0414 |
0.0018 |
0.0002) |
0.0087. |
||
|
|
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для оценки точности найденного значения, заметим, что так |
||||||||||
как |
табулированная |
|
|
выше |
функция |
есть |
y |
lg x , то |
|||
yx |
M |
|
0.43429 |
. |
Следовательно, |
y (50) |
M |
0.0087. |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
50 |
|
Таким образом, результаты совпадают с точностью до четвертого десятичного знака.
5.3. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ПРОИЗВОДНЫХ
Пусть отрезок |
a, b |
разбит на n ( n |
2 ) равных частей точ- |
||||||||
ками |
xi : a |
x0 |
x1 |
x2 |
... |
xi 1 |
xi |
xi |
1 ... xn |
b . |
|
Разность между соседними значениями |
аргумента |
постоян- |
|||||||||
на, т.е. шаг |
h |
xi |
xi 1 , |
( i |
1,2,..., n ). Далее, пусть на |
отрезке |
|||||
a, b |
определена функция |
y |
f (x) , |
значения которой в точках xi |
|||||||
равны |
yi |
f (xi ) , |
( i |
0,1,2,..., n ). |
|
|
|
|
88
Запишем выражения для первой производной функции в точке xi с помощью отношения конечных разностей:
а) аппроксимация с помощью разностей вперед (правых разностей)
y (xi ) |
yi |
|
|
, |
|
xi |
xi 1 |
xi |
h , |
|
yi |
yi 1 |
yi , |
|||||
xi |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (xi ) |
yi |
1 |
yi |
( i |
0,1,2,..., n |
1); |
|
|
(5.7) |
|||||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых разно- |
||||||||||||||||||
стей) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y (xi ) |
|
|
yi |
|
, |
|
xi |
xi 1 |
xi |
h , |
|
yi |
yi 1 yi , |
|
||||
|
|
xi |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (xi ) |
|
|
|
yi |
yi 1 |
|
( i |
1,2,..., n ) ; |
|
|
(5.8) |
|||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) аппроксимация с помощью центральных разностей (точка |
||||||||||||||||||
xi является центром системы точек |
xi |
1, xi , xi |
1 ) |
|
|
|
||||||||||||
y (xi ) |
|
|
yi |
|
, |
|
xi |
xi 1 |
xi 1 |
2h , |
|
yi |
yi 1 |
yi , |
||||
|
|
xi |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (xi ) |
|
yi |
1 |
yi 1 |
( i |
1,2,..., n |
1). |
|
|
(5.9) |
||||||||
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аппроксимация производной с помощью центральных разностей представляет собой среднее арифметическое соотношений (5.7)
и (5.8) в точках xi , ( i |
1,2,..., n |
1). |
|
Отметим, что соотношения (5.7) и (5.9) не позволяют вычис- |
|||
лить производную в точке |
xn b , |
а |
(5.8) и (5.9) - в точке |
x0 a . |
|
|
|
Можно показать, что для функции y |
f (x) , имеющей непре- |
рывную производную до второго порядка включительно, погрешность аппроксимации производных разностями вперед и назад имеет один и тот же порядок o(h) , а погрешность аппроксимации цен-
тральными разностями (5.9) для функции y f (x) , имеющей не-
89
прерывную производную до третьего порядка включительно, имеет порядок o(h2 ) .
Приближенное значение производной второго порядка в точке xi выразим через значения функции yi 1 , yi , yi 1 . Для этого представим вторую производную с помощью правой разности:
y (xi ) |
|
yi |
|
, |
|
|
xi |
xi 1 |
xi |
h , |
yi |
|
yi 1 |
yi , |
|||
|
xi |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а производные первого порядка |
|
|
yi и |
yi |
1 - с помощью |
левых |
|||||||||||
разностей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi 1 |
y (xi 1 ) |
|
yi 1 |
yi |
|
, |
|
yi |
y (xi ) |
|
yi yi |
1 |
|
||||
|
|
h |
|
|
|
|
h |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y (xi ) |
|
yi 1 |
|
2 yi |
yi |
1 |
, |
(i |
1,2,..., n |
1) |
|
(5.10) |
|||||
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Погрешность последней аппроксимации имеет порядок o(h 2 ) |
|||||||||||||||||
для функции |
y |
f (x) , |
имеющей непрерывную производную до |
четвертого порядка включительно на отрезке a, b . Естественно,
что представление (5.10) с помощью конечных разностей позволяет вычислять значения второй производной только во внутренних точках отрезка.
|
6. |
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
|
Если |
функция f (x) непрерывна на отрезке a, b и известна |
||
ее первообразная |
F(x) , то определенный интеграл |
от этой функ- |
|
ции может |
быть |
вычислен по формуле Ньютона |
– Лейбница |
f (x)dx F (b)