2939

При вычислениях на ЭВМ округления, как правило, не приводятся, а цифры, выходящие за разрядную сетку машины, отбрасываются. В этом случае максимально возможная погрешность выполнения операции в два раза больше, по сравнению со случаем округления. Предельное значение относительной погрешности:

ность всегда округляется в сторону увеличения, то ( 2.3) 0.03.

Приведенные оценки погрешностей приближенных чисел справедливы, если в записи этих чисел все значащие цифры верные.

Пример 1. Найти относительную погрешность функции:

11

грешность.

Рассмотрим более подробно случай вычитания близких чисел. Запишем выражение для относительной погрешности разности:

То есть, при малых погрешностях в исходных данных мы получили весьма неточный результат.

Поэтому при организации вычислительных алгоритмов следует избегать вычитания близких чисел. Из рассмотренных правил следует, что при сложении или вычитании чисел желательно, чтобы эти числа обладали одинаковыми погрешностями (абсолютными), т.е. одинаковым числом разрядов после десятичной точки.

Пример. 38.723 4.9 43.6 ; 425.4 0.047 425.4 .

При умножении и делении приближенных чисел количество значащих цифр выравнивается по наименьшему из них.

1.4. ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ. УМЕНЬШЕННИЕ ПОГРЕШНОСТИ

На некоторых этапах решения задачи на ЭВМ могут возникать погрешности, искажающие результаты вычислений.

Рассмотрим источники погрешностей на отдельных этапах

12

решения задачи.

1)Математическая модель, принятая для описания данного процесса или явления, может внести существенные погрешности, если в ней не учтены важные черты задачи. В частности, математическая модель может прекрасно работать в одних условиях и быть совершенно не приемлемой в других. Поэтому нужно правильно учитывать область ее применимости.

2)Исходные данные задачи часто являются основными источниками погрешностей. Это так называемые неустранимые погрешности, т.к. они не могут быть уменьшены вычислителем ни до начала решения задачи, ни в процессе ее решения. Здесь следует стремиться к тому, чтобы все исходные данные были примерно одинаковой точности.

3) Численный метод также является источником погрешностей. Это связано, например, с заменой интеграла суммой, усечением рядов при вычислении значений функций, интерполированием табличных данных и т.п.

Как правило, погрешность численного метода регулируема, т.е. она может быть уменьшена до любого размерного значения путем изменения некоторого параметра (например, шага интегрирования, числа членов усеченного ряда и т.п.).

Погрешность метода обычно стараются довести до величины, в несколько раз меньше погрешности исходных данных. Дальнейшее снижение погрешности метода не приведет к повышению точности результатов, а лишь приведет к необоснованному увеличению объема вычислений (стоимости).

4) При вычислениях с помощью ЭВМ неизбежны погрешности округлений, связанные с ограниченностью разрядной сетки машины.

Обычно после выполнения операции производится не округление результата, а простое отбрасывание лишних разрядов с целью экономии машинного времени. Правда, в современных машинах предусмотрена свобода выбора программистом способа округления.

Максимальная относительная погрешность при округлении

k - количество разрядов мантиссы числа. При простом отбрасывании лишних разрядов эта погрешность увеличивается вдвое.

13

Несмотря на то, что при решении больших задач выполняются миллиарды операций, это вовсе не означает механического умножения погрешности при одном округлении на число операций. При отдельных действиях погрешности могут компенсировать друг друга (например, при сложении чисел разных знаков).

Вместе с тем иногда погрешности округлений в сочетании с плохо организованным алгоритмом могут сильно исказить результаты.

Пример. Важной функцией анализа является e x . Так как

она используется часто, важно иметь возможность вычислять e x машинной программой для любого числа с плавающей точкой x .

Существует множество методов вычисления e x . Известно, что для

14

этом такие члены, как 38.09, уже сдержат ошибку округления, почти равную окончательному результату.

2) Кроме того, четыре старших разряда (наиболее значимых) каждого из восьми членов, превышающих по модулю 10, были потеряны. Эти восемь членов следовало бы брать с десятью значащими цифрами, чтобы получить шесть значащих цифр в ответе. Более того, потребовалась бы еще одиннадцатая цифра, чтобы можно было надеяться получить верную шестую цифру в ответе.

Это явление иногда называют катастрофической потерей верных знаков. Оно часто встречается в плохо продуманных вычислениях. Однако не эта потеря знаков является причиной ошибки в ответе; она попросту увеличивает ошибки, уже присутствующие в слагаемых. Хотя, иной раз возможно удерживать в вычислениях больше число значащих цифр с целью избежать катастрофической потери верных знаков, это всегда обходится дорого как по времени ис-

(в нашем пятизначном десятичном примере). При таком способе вычислений ошибка снижается до 0.007% .

Вывод: даже короткая последовательность вычислений

15

ния другой (например, 10 и 2 ). Это может привести к тому, что в новой системе счисления число становится иррациональным.

Пример. Число 0.1 при переводе в двоичную систему при-

Уменьшение погрешностей. Рассмотрим случай, когда правильной организацией вычислений можно избежать потери точности. Пусть надо найти сумму пяти четырехразрядных чисел:

S 0.2764 0.3944 1.475 26.46 1364.

Складывая числа и округляя результат до четырех значащих цифр, получим S 1393. Однако при вычислении на машине округление происходит после каждого сложения. Предполагая условно сетку четырехразрядной, проследим вычисление на машине суммы чисел от наименьшего к наибольшему:

0.2764 0.3944 0.6708; 0.6708 1.475 2.156;

чисел следует проводить по мере их возрастания.

В машинной арифметике из-за погрешности округления важен порядок выполнения операций. Известные законы коммутативности (и дистрибутивности) здесь не всегда выполняются. Т.о., при решении задачи на ЭВМ нужно использовать "маленькие хитрости".

16

Лейбница остаток сходящегося знакочередующегося ряда, не превышает значения первого из отброшенных членов (по абсолютной величине).

Это объясняется погрешностями округлений и способом суммирования ряда (слева направо без учета величины членов).

Не всегда помогает и повышенная точность вычислений. Например, при x 25.66 (14700 4 360 300 ) даже при учете

членов до 10 8 и вычислениях с 8 значащими цифрами в результате аналогичных вычислений (суммирование слева направо ) получается абсурд:

sin 25.66 24.

В программах, использующих степенные ряды для вычисления значений функций, могут быть приняты различные меры по предотвращению подобной потери точности. Так, для тригонометрических функций можно использовать формулы приведения, бла-

годаря чему аргумент будет находиться на отрезке

При вычислении экспоненты аргумент можно разбить на сумму целой и дробной частей

ex en a en ea

использовать разложение в ряд только для ea , а en выполнить умножением.

17

исходных данных приводит к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату.

Часто стандартная вычислительная задача нахождения корней полинома оказывается крайне чувствительной к изменению данных.

Пример 1. Отыскание действительных корней многочленов

k 30. Чтобы ввести тот или иной коэффициент в машину, его необходимо округлить до 30 - значного двоичного числа.

Предположим, что лишь для одного из двадцати коэффициентов делается ошибка в младшем двоичном разряде. Пусть коэф-

фициент при x19 изменяется с 210 на 2 23 (около 10 7 ):

210 2 23 . Как повлияет это малое изменение на корни многочлена? В результате вычислений даже с точностью до 11 значащих цифр получаются совершенно другие значения корней (для наглядности приведем с округлением до трех знаков):

То есть, половина корней стали комплексными. Причинане- устойчивость самой задачи.

Корректность. Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных (из некоторого класса)

19

ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.

Рассмотренные примеры неустойчивых задач являются некорректно поставленными. Применять численные методы, как правило, нецелесообразно, т.к. возрастающие в ходе вычислений погрешности приводят к значительному искажению результатов.

Вместе с тем отметим, что в настоящее время развиты методы решения некоторых некорректных задач. Это в основном так называемые методы регуляризации.

Они основываются на замене исходной задачи корректно поставленной. Последняя содержит некоторый параметр при стремлении которого к нулю решение этой задачи переходит в решение исходной задачи.

Неустойчивость некоторых алгоритмов. Иногда при решении корректно поставленной задачи может оказаться неустойчивым ме-

20