2939

p

- правильная дробь, то a

0

и r p ). Разделив числитель и

0

q

0

62

3

5

3

1

= 3

1

3

1

3

1

,

19

4

1

19

19

3

3

1

1

5

5

5 4

1

1 4

то есть

62

3;

1

;

1

;

1

.

19

3

1

4

Аналогично преобразуются общие цепные дроби.

Пример 3.

Обратить цепную дробь

1;

x2

;

x2

;

x2

=1

x2

.

1

3

5

1

x2

x2 5

3

Решение.

Имеем:

1

x2

1

5x2

15

6x2

1)

.

3

x2

15 x2

15 x2

5

2)

1

x 2

1

15x 2

x 4

15 6x 2

15x 2 x

4 15 21x 2 x 4

,

3

15 6x 2

15 6x 2

15 6x 2

15 6x 2

15

x 2

1;

x

2

;

x

2

;

x

2

15

21x2

x4

то есть

=

.

6x2

1

3

5

15

пишем его, вынося за скобки коэффициенты при

x 2 и x3 .

Получим

x3

60

2

2

x

x

7

sin

7

.

(*)

2

6

x2

2

2

20

x3

60

2

2

x x

2

20

2

2

20

2

2

60

2

2

x

7

7

x 2 20

2

2

x 2

20

2

2

2

2

60

2

2

200

20

7

2

7

x 1

x

.

x 2

20

2

2

x 2

20

2

2

Обозначим: k

7

200

2

2

2

2

;

k

2

; k

3

20

и

1

6

7

подставим в (*):

sin

x

k1

x

k2 x

.

2

x 2

k3

Данное выражение можно переписать в виде:

sin

x

k1

x

k2

.

2

x

k3

x

y

yi

1

x

xi

1

.

yi

yi

1

xi

xi

1

Отсюда

y yi 1

yi

yi

1

(x

xi 1) .

xi

xi

1

Тогда:

y

yi

yi

1

x yi 1

yi

yi

1

xi 1 .

xi

xi

1

xi

xi

1

Обозначим:

a

i

yi

yi

1

;

b

y

i 1

a

i

x

i 1

.

xi

xi

i

1

Получим

y ai x

bi ,

xi 1

x

xi

(2.12)

y a

i

x2

b x

c

(x

i 1

x x

i

1

) .

(2.13)

i

i

a

i

x2

1

b x

i

1

c

i

y

i

1

i

i

a

i

x2

b x

i

c

i

y

i

(2.14)

i

i

a

i

x 2

1

b x

i

1

c

i

y

.

i

i

i

1

Интерполяция для любой точки x

[x0 , xn ]

проводится по

трем ближайшим к ней узлам.

Пример. Найти приближенное значение функции y

f (x)

при

x 0.32,

если ее значения заданы в таблице 2:

Таблица 2

x

0.15

0.30

0.40

0.55

y

2.17

3.633.

5.07

7.78

Решение.

1.

Воспользуемся

формулой

(2.12).

Значение

x

0.32 находится между узлами xi

1

0.30 и xi

0.40 . В этом

случае

ai

yi

yi

1

5.07

3.63

14.4 ,

xi

xi

1

0.40

0.30

bi

yi 1 ai xi

1

3.63

14.4

0.30

0.69 ,

y

14.4x

0.69

14.4 0.32

0.69

3.92.

xi

1

0.15 ; xi

0.30 ; xi 1

0.40 .

Соответственно,

yi 1

2.17 ;

yi 3.63 ;

yi 1 5.07 .

Система принимает вид:

0.152 a

i

0.15b

c

i

2.17

i

0.302 a

i

0.30b

c

i

3.63

i

0.402 a

i

0.40b

c

i

5.07.

i

Решая эту систему, находим:

ai 18.67 , bi

1.33 , ci

1.55 .

y

a

i

x2

b x

c 18.670.322

1.33 0.32 1.55

3.89 .

i

i

Глобальная интерполяция. Многочлен Лагранжа.

Построим

теперь

интерполяционный многочлен,

единый для всего отрезка

Пусть задано n

1

значение функции

f (x) в n

1 различ-

ных точках - узлах интерполяции:

x0 , x1,..., xn

y0 , y1,..., yn .

Требуется построить многочлен

(x)

a

0

a x

... a

n

xn

,

(2.15)

1

a

0

a x

0

a

2

x2

...

a

n

xn

y

0

1

0

0

a

0

a x

a

2

x2

...

a

n

xn

y

(2.16)

1 1

1

1

1

.......... .......... .......... .......... ..........

a

0

a x

n

a

2

x2

...

a

n

xn

y

n

.

1

n

n

x0

x02

...

x0n

x1

x 2

...

xn

W .

1

1

.......... .......... .......

x n

xn2

...

xnn

Можно показать,

что

если

все

узлы xi различны

(i 0,1,2,..., n) , то есть

xi

x j

при

i

j , то данный определи-

(x) A0 (x x1)(x x2 )(x x3 )...(x xn )

A1(x x0 )(x x2 )(x

x3 )...

(x

xn )

A2 (x

x0 )(x

x1)(x

x3 )...

(x

xn )

(2.17)

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ...

An (x

x0 )(x

x1)(x

x2 )...(x xn 1).

( xi )

f (xi )

yi

(i 0,1,..., n) .

Положим в (2.17) x

x0 . Найдем:

(x0 ) y0

A0 (x0

x1)(x0

x2 )...(x0 xn ) ;

т.е.

A0

y0

.

(x0

x1 )(x0 x2 )...(x0 xn )

Положим x

x1 :

A1

y1

,

(x1

x0 )(x1

x2 )...(x1

xn )

далее

A2

y2

(x2

x0 )(x2

x1 )...( x2

xn )

и т.д.:

An

yn

.

(xn

x0 )(xn

x1 )...( xn

xn 1 )

n

(x

x0 )...(x

xi

1)(x

xi

1)...(x

xn )

L(x)

yi

.

i 0

(xi

x0 )...(xi

xi

1)(xi

xi

1)...(xi

xn )

Можно доказать, что этот многочлен является единственным.

В частном случае, при

n 1 из

(2.18) может быть,

получена

формула (2.12) для линейной интерполяции, а при

n 2 из

(2.13) для

квадратичной интерполяции.

ние которого

при

x

0;1; 3; 4

совпадали бы

со

значениями

функции f (x)

3x

(0

x

4) (таблица 3). Обозначим:

Таблица 3

x

0

1

3

4

3x

1

3

27

81

Вычислим интерполяционный многочлен (2.18):

y

(x

1)(x

3)(x

4)

1

(x

0)(x

3)(x

4)

3

(0

1)(0

3)(0

4)

(1

0)(1

3)(1

4)

(x

0)(x

1)(x

4)

27

(x

0)(x

1)(x

3)

81.

(3

0)(3

1)(3

4)

(4

0)(4

1)(4

3)

y

1

(8x3

22x2

20x

3) .

3

Результаты вычислений занесем в таблицу 4.

Таблица 4

x

0.0

0.5

1.0

1.8

2.0

2.4

2.7

3x

1.00

1.73

3.00

7.23

9.00

13.98

19.44

L3 (x)

1.00

2.83

3.00

4.79

6.33

11.63

17.42

3.0

3.6

4.0

27.00

52.28

81.00

27.00

53.30

81.00

Значения 3x

и

L (x)

вычислены в 10-ти

точках интервала

3

xi xi 1 h

const (i 1,2,..., n) .

Величина h называется ша-

гом. Пусть в равноотстоящих точках

x0 , x1,..., xn , задано (n 1)

значений функции y0 , y1,..., yn .