канале. Заметим, что в обеих формулах использован угол у поверхности цилиндра 0 Ь.
Сравнивая этот случай течения с ранее рассмотренным простым течением между параллельными пластинами, отметим два важных различия. Во-первых, течение в направлении г вдоль канала яв ляется двумерным [т. е. vz = vz (х,у)], во-вторых, поверхность ци
линдра имеет составляющую скорости в направлении х, которая приведет к циркуляционному течению в поперечном направлении.
Основные допущения для решения задачи течения в данном случае остаются теми же, что и для течения между параллельными пласти нами. При этих допущениях три составляющие уравнения движения
в прямоугольных координатах, определенных на рис. 10.13, све дутся к виду:
х -составляющая
/
dvx
,
dvx \
—
(1 / d*v*
,
d-vx \
(10.3-11)
p ( Vx-dZ +Vl/d f ) =
дх +
•
^ дхг
+
)
у -составляющая
/
dvv
.
dv„ \
= -
+
Л
- ^ + * 2 й Л
(10.3-12)
9 \ Vx дх
+ v « ~ d f )
ду
/
* \
дх2
+
ду‘
z-составляющая
/
dv2
.
dv,
N
+
u ( dlv> 4-
\
(10.3-13)
9Vх дх
+
"*' ду
) -
дг
ду2
,'
+
** V
дх2
)
где р — плотность
расплава.
В этих уравнениях составляющие скорости не являются функ циями от г, поскольку течение считается полностью установив шимся. Если допустить, что течение в направлении поперек канала также полностью установившееся (допустимая аппроксимация для
неглубоких каналов), то d v j d x , d v j d x и d v j d x
равны
нулю.
Из
уравнения неразрывности получаем, что d v j d y =* 0 , а с учетом
глу
бины канала v y * 0 . Кроме того, уравнение
(10.3-12)
сведется
к дР/ду “= 0, что приводит к тому, что давление Р будет функцией
только х и z. Следовательно, уравнение (10.3-11) примет вид:
В уравнении (10.3-13) в левой части содержатся инерционные члены, которые в случае медленного движения вязкой жидкости будут много меньше членов в правой части, представляющих силы вязкости. В типичном случае течения в экструдерах отношение сил инерции к силам вязкости имеет порядок 10-5[ЗЬ ]. Таким образом, уравнение (10.3-13) сведется к виду:
Из уравнения (10.3-14) очевидно, что правая часть является функцией только у, тогда как левая есть функция х и г. Поскольку
каждая часть не зависит от переменных в другой, обе постоянны. Поэтому уравнение (10.3-14) может быть проинтегрировано:
U.
(10.3-16)
Значение констант Ci и Сг определяют из граничных условий:
и, (0) = 0; г-., (//) = - Vbs
(10.3-17)
Подстановка граничных условий в уравнение (10.3-16) приводит к виду:
_Н1_
дР_
(10.3-18)
Ux = — £ г а - 1) 2цУьг
дх
где их = vx/Vbx; I —'У/ff-
Для поперечного потока в канале существует еще дополнительное требование нулевой производительности при условии, что потоком утечек через гребень пренебрегаем. Математическое выражение этого условия имеет вид:
1
]«*«/£= о
(10.3-19)
о
Подставляя уравнение (10.3-18) в (10.3-19), после интегрирования получаем:
дР
с„ Р вх
Rli
nNDb sin Oft
Л? =
“
~ 6!'
( 10. 3- 20)
------- m ------
Это уравнение определяет градиент давления поперек канала. Заметим, что этот градиент пропорционален N и D b и обратно
пропорционален квадрату глубины канала. Подставляя (10.3-20) в (10.3-18), получим окончательно профиль скоростей поперек ка нала:
их = 5 ( 2 - 3 |)
(10.3-21)
В соответствии с профилем скоростей (рис. 10.14), который, разу меется, имеет такой вид только на некотором расстоянии от стенок, расплав циркулирует вокруг стоячего слоя, расположенного на рас
стоянии двух третей высоты канала. Профиль скоростей вдоль канала полу
чается из решения уравнения в частных
производных (10.3-15). Можно
показать
[ЗЬ],
что градиент
давления
дР/дг
яв
ляется
величиной
постоянной
(хотя
Р
Рис. 10.14. Профиль скоростей расплава поперек ка нала, рассчитанный по уравнению (10.3-21). По оси абсцисс отложена приведенная скорость попе
рек канала, по оси ординат — приведенная глубина
канала.
Рис. 10.15. Распределение ско ростей расплава поперек канала для течения, вызванного чистым сдвигом. Линии постоянной скорости рассчитаны по урав нению (10.3-23). Числа у кри вых — значения иг. Значения
H/W:
а - 0 , 1 ; б — 0 , 2 5 ; в — 1 , 0 .
есть функция как х ,
так
и z).
Граничные условия
имеют вид:
v z (*,
0) - 0;
vz (X,
Н) =
Vbz
(10.3-22)
vz (0,
у) —0;
vz (W,
у) =
0
Профиль
скоростей в
канале прямоугольного по перечного сечения полу чен многими авторами. Задача течения только под действием перепада дав лений впервые была ре шена Буссинеском [5]. Комплексная задача была решена в 1922 г. Ровеллем и Финлайсоном [6],
которые пытались создать математическую модель червячных насосов. Подробное решение путем разделения переменных дано в [Зс ];
результат имеет вид:
£
S
и*
я
<->1
,3,5
sh ( i n h Q
sin ( in y )
H2
dP
i sh (ТпЛ)
2\xVbz
дг
ch [<n (x—0,5)/М
i8 ch ( in /2 h )
5s - S + - ^ - /-2=.
1 3.5
(10.3-23)
где uz = vz/V b z \ % = * № \ h = H / W .
На рис. 10.15 представлено распределение скоростей при вы нужденном течении (чистый сдвиг, д Р / д г = 0) для ряда значений п .
Расход или пропускная способность экструдера, профиль давле ния вдоль червяка и потребление энергии являются параметрами, представляющими особый интерес при конструировании, и они рассчитываются, исходя из профиля скоростей в канале. Общий расход получается интегрированием продольной составляющей ско рости v 2, определяемой из уравнения (10.3-23), по всему поперечному
сечению канала:
1 1
Q = W H V bz\ \ u z d l d l
(10.3-24)
О о
Рис. 10.16. Коэффициенты формы канала для сдвигового течения (Fd) и течения, созданного нормальным давлением (/>). Расчеты выполне ны по уравнениям (10.3-26) и (10.3-27).
0 0,2 0,4 0,60,8 1,0 1,2 1,4 1,6
1,82J0
Интегрирование бесконечных рядов
в уравнении
(10.3-23)
не представляет
H/W
трудностей. Эти ряды
являются рав
номерно сходящимися,
и таким образом,
интегрирование допусти
мо. Результаты приводятся
в виде уравнения
(10.3-25)
где Fd и Fp — «коэффициенты формы» для вынужденного течения и потока под давлением соответственно.
Значения Fd и Fp всегда меньше единицы. Эти величины отражают
тормозящее влияние стенок на производительность, отсутствующее при течении между двумя неограниченными параллельными пласти нами. Они выражаются соотношениями
оо
(10.3-26)
ОО
(10.3-27)
Заметим, что эти два коэффициента формы (рис. 10.16) зависят только от отношения H IW Влияние боковых стенок на поток под
давлением сильнее, чем влияние их на вынужденное течение. Когда величина H / W становится очень маленькой, значения Fd и Fp при
ближаются к единице. В этом случае уравнение (10.3-25) сводится к простейшему уравнению теории экструзии (10.3-2), которое опи сывает течение ньютоновской жидкости при изотермических условиях между двумя неограниченными параллельными пластинами. Урав нение (10.3-25) является хорошо известным уравнением для расчета производительности в теории экструзии ньютоновских жидкостей при изотермических условиях. Поскольку это — решение линейного дифференциального уравнения, оно состоит из двух независимых членов, причем первый отражает вклад сдвигового течения, а вто рой — течения под давлением. Эти два члена не зависят друг от друга. Это также справедливо для уравнения, описывающего поле скоростей. Рост положительного градиента давления увеличивает обратный поток под давлением. Это снижает общую производитель ность, несмотря на неизменный расход вынужденного течения. Из уравнения (10.3-25) можно получить отношение расхода потока под давлением к расходу вынужденного течения
0 Р
Я а
дР
Fp
£р_ _
дг
F((
Qfi
6(il7ftz
которое для каналов малой глубины сводится к уравнению (10 2-10) Обратное направление потока под давлением при положительном градиенте давлений и форма профиля скоростей в направлении z
создали ошибочное представление о том, что в некоторой части канала действительно имеется течение, направленное к загрузочной воронке. Обратного течения вдоль оси червяка ни при каких усло виях не происходит *. Это становится очевидным из уравнения для профиля скоростей в осевом направлении:
vt =•■vx cos 0 + vz sin 0
(10.3-29)
Подставляя
(10.3-21) и (10.3-23) [для каналов малой
глубины
оно
сводится к (10.2-6)] в уравнение (10.3-29) и используя уравне
ние
(10.3-28),
получаем:
“ / = 3£ (1 — £) (1 + Qp/Qd) sin 0 cos 0
(10.3-30)
где «/ = vi,У *
Из этого уравнения вытекает следующее. Для червяков, угол подъема винтового канала которых составляет от нуля до л/2, ско рость ы, всегда будет иметь положительное значение. Другими сло вами, ни при каких обстоятельствах не возникает обратного потока в осевом направлении. В случае «закрытого выхода» (Qp -f- Qrf = 0) значение ut становится равным нулю при любых £. Форма профиля скоростей идентична для всех значений Qp/Qd- Только максимальная
скорость, которая всегда наблюдается в середине канала (£ = 0,5), изменяется от нуля в случае «закрытого выхода» до величины
з
(10.3-31)
Щmax = — sin 0 cos 0
для чистого вынужденного течения.
В итоге скорость в осевом направлении также зависит от 0. Для вынужденного течения скорость ut при любом \ достигнет макси
мального значения при 0 = я/4.
На рис. 10.17 показаны профили скоростей в различных пло скостях как функция отношения Qp/Q^.
Профиль скоростей их не зависит от отношения Qp/Q,. Интересно также, что при «закрытом выходе» как uXi так и иг принимают нуле
вое значение в одной точке: | = 2/3. Другими словами, при этих условиях частицы жидкости, находящиеся в этом сечении, будут неподвижны (конечно, в сечениях, расположенных по соседству с гребнем, они будут иметь компоненту vy и будут циркулировать).
Используя профили скоростей, можно проследить возможную траекторию движения частицы жидкости в канале. Для «закрытого выхода» жидкость, не продвигаясь в осевом направлении, пере мещается в направлениях х и z. Частица жидкости движется по
замкнутой траектории в плоскости, перпендикулярной оси червяка, как показано на рис. 10.18. По мере того как частица приближается к гребню, она начинает двигаться к основанию червяка. Затем
* Кроме случая, когда к головке приложена давление (\ аг.рнмер, другим экс трудером) более высокое, чем то, которое развивает червяк.
Рис.
10.17.
Профили
Скоростей
1,0
поперек
канала
(а),
вдоль
канала
b
(б)
и
в
осевом
направлении (в)
для
различных
значений
Qp/Qd
в червяках с малой глубиной ка
о
нала и шагом, равным диаметру.
Значения
QplQd'
I о
1 - 0
;
2 ------- 1/3;
3 -------- 2/3;
4 --------1
градиенты давления д Р / д х и
д Р / д г
вызывают ее движение
в канале
обратно — к
про
тивоположному
гребню.
По
мере
роста
произво
дительности замкнутые петли
вытягиваются,
и
частицы
жидкости
движутся
вдоль
сглаженной
винтовой траек
тории.
Чем
ближе
режим
работы к чистому вынужден
СЧ1 C2
CM 4
C \J С з
Csj
Cft '4D ^
^ CSj s b
ному течению, тем более вы
^ CD4
Сэ сэ C>
С^Г С^Г
с5 Сь
*5Т^Г
I
I
Ъ/Уъ
тянутыми оказываются петли
Т^х/Уь
ъ / ъ
винтовой
траектории. Таким
а
образом,
частицы
полимера
движутся по траектории, которая представляет собой сплющенную винтовую линию внутри винтового канала.
Влияние потока утечек через гребень для реальных расплавов оценить очень трудно, но можно достаточно хорошо это сделать для ньютоновского изотермического течения в прямоугольном ка нале. Такой анализ приводит к модификации уравнения (10.3-25) [3d]:
Vb2W ( H ~ 6f)
Q =
где
/
_е_\ Г 1 + е /Г
6ц Ь г ( Я - 6 / ) ]
t _
/
\3
е
|i
, \
W / L
tg2 0
Я 3 (дР/дг) .
(10.3-33)
lL
\ Я
/
W
ц,
+
IUJLY-L
+ ц \ 6f
)
W
здесь
р/ — вязкость в зазоре
между гребнем и внутренней поверхностью корпуса,
а [I — вязкость
в канале *.
Для ньютоновской жидкости р/ = р.
Итак,
рассмотрена
модель
червячного
экструдера, созданная
на основе анализа течения между параллельными пластинами. Теперь видно, что для того чтобы иметь возможность проанализиро вать червячный экструдер, в качестве первого приближения полезно использовать модель в виде параллельных пластин или прямоуголь-
* Это попытка приближенно объяснить неныотоновский эффект в ньютонов ской модели.
Рис. 10.18.
Траектория частицы жидкости
в канале
червяка для
значении Qp/Qd,
равных:
а — 0 ; б — м и н у с 0 , 5 ; в — м и н у с
1 , 0 .
Сплошные линии — след частицы в верхней
части ка
нала (при £ = 0,9), пунктирные линии — след той же частицы после ее перехода в нижнюю часть канала Отп
I = 0,35).
v F
ного канала
малой глубины. Анализ
был
выполнен на
основании ньютоновской
изо
термической модели. Такой анализ удовле творителен для качественного понимания ме ханизма движения и создания давления, а
также для грубых полуколичественных оценок производительности экструдера.
Этой цели удовлетворяет уравнение (10.3-32). Однако если тре буются надежные данные для конструирования, необходимо изба виться от длинного ряда упрощающих допущений, что приведет к более сложному решению. Конечным результатом будет модель для неизотермического течения неньютоновской жидкости в реаль ном винтовом канале с учетом потока утечек через гребень, позволя ющая проводить расчеты для изменяющихся граничных условий. На сегодняшний день нет полного и удовлетворительного решения проблемы, хотя в этом направлении проводились многочисленные исследовательские работы. В основном используются два подхода, которые во многих случаях дополняют друг друга. Одной из первых
попыток
решить проблемы фактического
течения по возможности
точно был подход, развитый Гриффитом
[7], Колвеллом и Никол
сом [8 ],
Пирсоном [9], Замодитсом [10]
и др.
Этот путь неизбежно ведет к числовым решениям. Другим под ходом является идеализация системы и попытка количественно оценить влияние каждой отдельной переменной. Например, влияние кривизны канала на производительность может быть оценено путем уподобления тангенциального потока потоку в прямоугольном ка нале. Это легко может быть сделано для изотермического течения степенной жидкости [3, 1 1 ] — отдельно для вынужденного течения и потока под давлением. Результаты могут быть включены в уравне ние для производительности (10.3-32) через поправочные коэффи циенты, учитывающие влияние кривизны [Зе]. Аналогичные попра вочные коэффициенты были получены для учета других важных эффектов, не отраженных в простой модели.
Мы вернемся к моделированию экструзии в разд. 12.1 и 12.2, используя только что полученные результаты; там мы^ рассмотрим с инженерных позиций одночервячный пластикационный экструдер.
10.4. Создание давления за счет сил вязкого трения (течение между непараллельными плоскостями)
В этом разделе рассматривается еще один случай относительного движения двух непараллельных плоскостей. Такое движение лежит в основе некоторых технологических методов, таких, как промазка
^
+ j 1 Я Л
у
0
0
) 85 f e y
в
г
д
представление технологиче ских процессов, основанных на течении между непарал лельными плоскостями:
а— промазка с помощью ракли;
б— нанесение покрытия с по
мощью накатываю щ его валка; в — вальцевание; г —каланд- рование; д — дву х ва л к о ва я экс т рузи я .
с помощью ракли или накатывающего валка, вальцевание, калан - дрование (рис. 10.19). В некоторых из этих методов движутся обе плоскости, в других движется только одна из плоскостей. Изучение простейшего случая движения одной плоскости (рис. 1 0 .2 0 ) помогает уяснить основной механизм процесса. Этот частный случай играет значительную роль в червячной экструзии, потому что отдельные секции винтовых каналов имеют конический сердечник.
Допустим, что зазор достаточно мал, уклон невелик и жидкость прилипает к стенкам канала. Далее, считая течение изотермическим, а расплав — несжимаемой ньютоновской жидкостью, применим урав нение Рейнольдса (5.4-11), которое для одномерного течения преобразуется к виду:
Уравнение (10.4-1) можно проинтегрировать по г:
Н3
= 6ц1Л)Я + Cl
(10.4-2)
где Cj — константа
интегрирования,
которую
можно
определить из
следующих
граничных
условий:
dP/dz = 0 при
Я = Я*.
Если
максимум профиля давления
находится в пределах 0 <
< z < L,
тогда
Я* — это расстояние
между
плоскостями
в точке,
в которой давление максимально; если профиль давления не имеет максимума в этих пределах, математическое выражение, описыва ющее давление, будет иметь максимумы при z ^ L или г < 0, и Я*
в этом случае равно расстоянию между плоскостями, продолжен
ными до
этой точки. Уравнение
(10.4-2) можно переписать в виде:
dP
н — я*
(10.4-3)
Я 3
Рис. 10.20.
Схематическое
изо
бражение
профилей скоростей
при течении, вызванном
отно
сительным
движением двух не
параллельных плоскостей
(/ —
неподвижная пластина, 2 — под
вижная пластина):
/
— зона
повышения
д авл ени я;
I I
_
вынужденное течение;
I I I —
зона
понижения давлени я
( Р 0
= Р , ) .
Чтобы получить профиль давлений, проинтегрируем это уравнение: z
Р ~ Ро +
6[хVо J —
j j i -----dz
(10.4-4)
где Р (0) =
Р0-
Для постоянного уклона
ПО.4-5)
где £ =
Я/Ях и
= Яо/Я,.
Интегрирование уравнения
(10.4-4) дает:
Р = Ро +
6pLK0
C o - g ____ g _
(10.4-6)
Я0ЯХ
U £ o - l )
VoHo £ Ч ? о - 1 ) J
Здесь q — расход на
единицу ширины, равный
q ^ l - V o H *
(10.4-7)
Следовательно, распределение давления зависит от нескольких переменных: размеров канала (Я0, Н х и L), технологических условий (К0 и q) и физических свойств (р). Максимальное давление, которое
реализуется при £ = 1 (z = L)
и закрытом выходе (q =
0), равно:
Ршах
Ро +
бр/.Vo
(10.4-8}
~ н Ж
Очевидно, что если давления на входе и выходе равны, то на профиле давления есть максимум. Местоположение точки максимального давления определяется по величине Я* = 2 # 0/(1 + £0). Полученный результат демонстрирует различие в картинах течения между параллельными и непараллельными пластинами. В первом случае равенство входного и выходного давлений исключает нагне тание расплава и весь расход обусловлен вынужденным течением, а во втором случае на профиле давления существует максимум. Этот механизм создания давления является основой гидродинами ческой теории смазки.
Подобно созданию теории одночервячного экструдера, основан ной на модели течения между параллельными пластинами, можно проанализировать многие процессы, в которых используется гео метрия непараллельных пластин. Примерами таких машин являются вальцы и каландры. Более того, эти устройства с валками, враща ющимися навстречу друг другу, можно превратить в экструдер с увеличенной подающей способностью, так как обе поверхности
движутся параллельно друг другу.
Другое направление применения концепции создания давления при течении между непараллельными пластинами было предложено Вестовером [1 2 ], который разработал «экструдер со скользящей подушкой» (рис. 10.21). Этот тип экструдера представляет собой
