1505
.pdfся то, что в формуле Виллиса неизвестны угловые скорости двух колес ω3 и ωН (в простой планетарной передаче с неподвижным центральным колесом неизвестна угловая скорость только одного колеса). Следовательно, должна существовать связь между угловыми скоростями либо ω1, ωН,
либо ω3, ωН,либо ω1, ω3 В рассматриваемой передаче связь осуществляется между скоростя-
ми ω3, ωН при помощи замыкающей кинематической цепи z3', z4, z4'. Передаточное отношение замыкающей цепи
|
|
i3Н = (– z4 / z3') (z4' / z4) = – z4' / z3'. |
|
(8.31) |
|||||||
Зададим числа зубьев: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
z1 = 24; z2 = 52; |
z2' = 21; |
z3 = 78; |
z3' = 18; |
z4 = 30; |
z4' = 78. |
||||||
Из формулы (8.30) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|||||
i |
1Н |
= 1 + i( H ) (i |
3Н |
– 1) = 1+ (– z / z |
) (z / z |
2' |
) (– z |
/ z |
– 1) = |
||
|
13 |
|
2 1 |
3 |
|
4' |
3' |
|
1 + (– 52·78 / 24·21)(– 78 / 18 – 1) = 43,92.
При ведущем первом колесе iН1 = 1/43,92 или ωН = ω1 / 43,92.
Это понижающая передача, она часто применяется в грузоподъемных механизмах. Например, при n1 = 750 об/мин водило, выполненное в виде барабана, будетиметьследующеечислооборотоввминуту: 750/43,92 = 17 об/мин.
8.5. Передача с коническими колесами
Пример 5
Определить передаточное отношение i1Н (рис. 8.10), если числа зубьев ко-
лес равны z1 = 60; z2=40; z2' = 20; z3 = 40.
Запишем формулу Виллиса для центральных колес:
i( H ) = (ω1 |
– ω ) / (ω3 – ω |
Н |
) = |
|
13 |
Н |
|
|
|
= – (z2 / z1) (– z3 / z2') = – 4/3, |
|
|||
где знак минус поставлен в соответ- |
|
|||
ствии с правилом стрелок (стрелки на |
|
|||
первом и третьем колесах направле- |
|
|||
ны противоположно). Делим числи- |
|
|||
тель и знаменатель формулы Виллиса |
Рис. 8.10. Передача с коническим |
|||
на –ωН: |
|
|
|
приводом |
–i1Н + 1 = i13( H ) = – 4/3; i1Н = 1 + 4/3 = 7/3.
311
8.6. Метод планов линейных и угловых скоростей
Этот метод позволяет наглядно показать распределение скоростей звеньев непосредственно на схеме механизма, направление угловых скоростей, величину и знак передаточного отношения.
Пример 6
Рассмотрим схему дифференциального механизма (рис. 8.11). Определим его подвижность:
W = n – pA= 4 – 2 = 2.
Пусть заданы угловые скорости первого колеса и водила. Схема механизма (рис. 8.11, б) выполнена с масштабным коэффициентом µl (м/мм).
Находим линейные скорости точек А и O2:
VА = r1 ω1; VО2 (r1 + r2) ωН. |
(8.32) |
Изображаем скорость точки А отрезком (Аа). Тогда масштабный коэффициент скорости (мс–1/мм)
µV = VА / (Аа).
Рис. 8.11. Дифференциальный механизм:
а – торцевая плоскость; б – профильная плоскость; в – план угловых скоростей
312
Линейная скорость точки O2 изображается отрезком (О2 h) = VО2 / µV. Из точки В проводим горизонтальную линию, на которой расположена скорость VB, принадлежащая одновременно колесу 3 и сателлиту 2'. Соединяем точки а и h и, продолжая линию (ah) до пересечения с горизонтальной линией, получим точку b. Тогда скорость точки В равна VB =
= (Bb) µV.
Угловая скорость колеса 3 равна
ω3 = VB / (r1 + r2 + r2').
Угловая скорость сателлита находится из выражения
ω3 = i21( H ) ω1 + (1 – i21( H ) ) ωН.
План угловых скоростей строится следующим образом. Из произ-
вольной точки Р (рис. 8.11, в) проводим линии (Р1), (РН), (Р3) параллельно отрезкам (о1, а,), (o1, h), (o1, b). Из этой же точки откладываем вертикально произвольный отрезок (РК), через точку К проводим горизонтальную линию, которая ограничивает отрезки (Р1), (РН), (Р3). Масштабный коэффициент угловых скоростей (с–1/ мм)
µw = ω1 / (К1).
Отрезок (КН) = ωН / µω; Угловая скорость ω3 = (К3) µω. Найдем тангенсы углов J1, JH, J3 (рис. 8.11, б):
tg υ 1 = (Аа) / (О1А) = (VА/ ω) ( 1 / r1) = 1 / V ω1.
Аналогично
tg υ Н = L / V ωН; tg υ 3 = L / V ω3;
откуда ω3 – искомая угловая скорость, ω3 = ( V / L) tg υ 3.
Проведенные построения показывают направление вращения каждого звена передачи и процесс суммирования скоростей, исходящих от звена 1 и водила Н на сателлите и центральном колесе 3.
Пример 7
Рассмотрим более сложный случай построения плана угловых скоростей для конического планетарного редуктора (рис. 8.12).
Степень подвижности механизма:
W = n – p4 = 4 – 3 = 1.
313
Рис. 8.12. Планетарный конический редуктор: а – схема механизма; б – план угловых скоростей
Угловую скорость колеса 1 считают известной. Оси мгновенного относительного вращения обозначены Р12O, Р2HО, Р23O, Р24O, они все пересекаются в точке О. Ось Р24O является осью абсолютного движения, так как колесо 4 неподвижно. Поэтому можно записать
ω |
= ω |
= ω |
|
|
и |
ω |
= ω |
= ω |
|
|
. |
(8.33) |
|
21 |
24 |
||||||||||||
2 |
1 |
2 |
4 |
|
|
Из произвольной точки Р (рис. 8.12, б) откладываем отрезок (Р1), из точки 1 проводим линию, параллельную оси Р12O. Так как ω4 = 0, то из точки Р проводим линию, параллельную оси Р24O. На пересечении этих линий получим точку 2. На основании уравнения
ω |
= ω |
= ω |
|
|
. |
(8.34) |
|
32 |
|||||||
3 |
2 |
|
|
Из точки 2 проводим линию, параллельную оси Р23O, до пересечения с горизонтальной линией в точке 3. Далее записываем уравнение
ω |
= ω |
= ω |
|
|
H 2 |
, |
|
|
|||||
|
H |
2 |
|
|
|
|
т.е. через точку 2 надо провести |
линию, параллельную оси |
В результате получим точку Н.
Масштабный коэффициент плана угловых скоростей (с–1/ мм):
ω = ω1 / (Р1).
(8.35)
Р2НО.
314
Угловые скорости остальных звеньев:
ω2 = (Р2) ω; ω3 = (Р3) ω; ωН = (РН) ω.
Используя план угловых скоростей, можно поределить направления относительных и абсолютных угловых скоростей, а также их значения.
8.7. Специальные передаточные (планетарные) механизмы
Планетарным называется механизм, имеющий в своем составе хотя бы одно звено с подвижной геометрической осью в пространстве.
Звено, имеющее подвижную геометрическую ось в пространстве, на-
зывается сателлитом.
Звено, накотороеустанавливаютосьсателлитов, называетсяводилом(Н). Зубчатые колеса, имеющие неподвижную геометрическую ось в прос-
транстве, называются центральными.
Центральное колесо, имеющее внешние зубья, называется солнечным. Центральное колесо, имеющее внутренние зубья, называется корон-
ной шестерней (опорным колесом). Достоинства планетарных передач:
1.Малые габариты и вес, обусловленные тем, что поток мощности, подводимый к центральному колесу, распределяется по k сателлитам (k – количество сателлитов). Затем поток мощности собирается на выходном звене. На одной планетарной передаче можно поставить до 24 сателлитов.
2.Очень высокий КПД, в среднем 0,99.
Недостаток планетарных передач – необходимость специального механизма (если число сателлитов не равно 3), который бы выравнивал нагрузку между сателлитами. Этот механизм утяжеляет и удорожает конструкцию.
8.8.Сравнительный анализ передачи с неподвижными осями
ипланетарной передачи
Сравнительный анализ передачи с неподвижными осями и планетарной передачи представлен на рис. 8.13.
Черезчислозубьев u1−H записатьнельзя, таккакосьВ– подвижнаяось.
315
Чтобы записать передаточное отношение через число зубьев, применим метод обращения движения, т.е. мысленно сообщим всем звеньям механизма, включая стойку, дополнительное движение с угловой скоростью –ωН. Получим обращенный планетарный механизм с неподвижными осями зубчатых колес.
Рис. 8.13. Сравнительный анализ зубчатых передач:
а– ось В неподвижна; б – ось В подвижна
Вобращенном движении звенья этого механизма будут иметь следующие угловые скорости:
ω 1′ |
= ω |
|
1 – ω Н, |
|
|
|||
ω ′2 = ω |
|
2 + (– ω Н) = ω 2 – ω Н, |
||||||
ω ′Н = ω |
|
Н – ω Н = 0, |
|
|
||||
|
(H ) |
|
ω |
1′ |
ω −1 ω |
H |
(формула Виллиса). |
|
u |
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1−2 |
|
ω |
′2 |
ω −2 ω |
|
|
||
|
|
|
H |
|
8.9. Определение передаточного отношения планетарных механизмов различных схем
Передаточное отношение можно определить:
1.Графическим способом по чертежу.
2.Аналитическим способом, используя формулу Виллиса.
Планетарный однорядный механизм (механизм Джеймса) и графиче-
ский способ определения передаточного отношения представлены на рис. 8.14.
316
u1(−3)H = ωω 1
H
а |
б |
Рис. 8.14. Планетарный зубчатый механизм (механизм Джеймса): а – схема механизма; б – графический способ определения передаточного отношения
Выберем на водиле Н точку F, которая расположена на том же расстоянии от оси О2, что и точка А.
Оси О1 и О2 расположены на одном уровне.
Для данной схемы входное звено – звено 1 (солнечное колесо), выходным является водило Н.
Зададимся отрезком АА′, который изображает линейную скорость колеса 1 в точке А. Поскольку колесо 1 вращается вокруг О1, то закон распределения линейной скорости по первому звену изображается прямой линией О1А′. Сателлит 2 в точке А имеет такую же линейную скорость, что
иколесо 1. В точке С сателлит 2 имеет мгновенный центр скоростей (МЦС) в абсолютном движении, так как идет контакт с неподвижным колесом 3. Закон распределения линейной скорости по второму колесу изображается прямой линией СА′. В точке В сателлит имеет линейную скорость, которая изображается отрезком ВВ′, однако точка В является также
иосью водила Н, которое вращается вокруг О2. Следовательно, закон распределения линейной скорости по водилу изобразится прямой линией
О2В′. Для точки F водила линейная скорость изображается отрезком FF′. От вертикали до линии распределения скоростей по водилу измеряем
угол ψH, аот вертикали до линии распределения скоростей по колесу1 – угол
317
ψ1. Углы ψ1 и ψH отложены от вертикали в одном направлении, следовательно, входноезвено1 ивыходноезвеновращаютсяводномнаправлении.
|
|
|
|
ω = |
|
VA |
, ω = |
VF |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
O1 A |
2 |
|
O2 F |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i |
(3) |
= |
|
VA O1P |
= |
AA′ O1P |
= |
tg ψ |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1−H |
|
VF O2 F FF ′ O2 F |
|
tg ψ H |
|||||||||
|
|
|
|
=AA′ . FF ′
Определим передаточное отношение аналитическим способом. Применим метод инверсии движения, обратив планетарный механизм в непланетарный.
i(H ) |
= i(H )i(H ) |
= |
ω 1′ |
ω |
′2 |
ω= |
1′ |
, |
|
|
|
||||||
1−3 |
1−2 2−3 |
|
ω ′2 |
ω |
′3 |
ω |
′3 |
|
|
|
|
где i( Н) |
– передаточное отношение от 1-го зубчатого колеса к 3-му при |
|||||||||||||||||||||||||
1−Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фиксированном поводке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ω 1′ = ω 1 – ω Н, |
|
ω ′3 = ω 3 – ω Н, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(H ) |
|
ω |
1− ω |
H |
|
|
|
ω |
1 |
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
(3) |
|
(H ) |
|
|||
|
i |
|
= |
|
|
|
|
= 1 |
− |
|
|
|
= 1 |
− i |
|
, |
i |
|
= 1 − i |
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1−3 |
|
|
−ω |
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
1−H |
|
1−H |
1−3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(3) |
|
|
|
z2 z3 |
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
i1−H |
= |
1 − − |
|
|
|
|
|
|
= |
1+ |
|
|
|
(плюсовой механизм), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
z1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z1 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где z1 , z2 , z3 – число зубьев зубчатых колес.
Планетарный механизм со смешанным зацеплением (с одним внешним и одним внутренним зацеплением) показан на рис. 8.15, где 1 – солнечное колесо; 2, 3 – блок сателлитов; 4 – коронная шестерня; Н – водило.
Выберем на выходном звене (на водиле) точку F так, чтобы
O1A = O2F (O1 и O2 соосны).
Определим передаточное отношение графическим способом:
i(4) |
= |
ω 1 |
|
= |
VA O1 A |
= |
AA′ O1 A |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1−H |
|
ω H |
VH O2 F FF ′ O2 F |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
i(4) |
= |
tg ψ 1 |
= |
AA′ |
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1−H |
|
|
tg ψ H FF ′ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Отрезок АА′ выбирается произвольно.
Теперь определим передаточное отношение аналитическим способом. Обратим мысленно планетарный механизм в механизм с неподвижным водилом, для того чтобы использовать формулы для механиз-
318
ма с неподвижными осями зубчатых колес (применим метод обращения движения).
Рис. 8.15. Планетарный механизм со смешанным зацеплением колес: а – схема механизма;
б– графический метод определения передаточного отношения
Вобращенном движении угловая скорость
1-го звена: |
ω 1′ = ω |
+1 −(ω |
|
Н ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2-го звена: |
ω |
′ |
= ω |
=′ |
ω |
+ |
2 |
−ω( |
|
Н |
) , |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3-го звена: |
ω |
′ |
= ω |
=′ |
ω |
+ |
3 |
−ω( |
|
Н |
) , |
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4-го звена: |
ω |
′ |
= ω |
+ |
|
−(ω |
|
= )−ω |
|
Н |
, |
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|||
5-го звена: |
ω |
′ |
= ω |
+ |
|
|
−(ω |
|
= ) |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Н |
Н |
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i( H ) |
= i( H )i( H ) |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−4 |
|
1−2 3−4 |
|
|
|
||||
|
i( H ) |
= |
ω 1′ |
|
ω ′3 |
=ω |
−1 ω |
|
H |
= 1ω− |
1 |
= 1 − i( 4) . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1−4 |
|
ω |
′2 ω |
|
′4 |
|
−ω |
|
|
|
|
ω |
|
|
1−Н |
|||
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
Если переписать последнее уравнение, учитывая количество зубьев, то получим
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
z4 |
|
||
i1(−H4) = |
− |
z2 |
|
z4 |
, |
i1(−4Н) = 1 + |
|
. |
|||
|
|
||||||||||
|
|
z1 |
|
||||||||
|
|
z1 z3 |
|
|
z3 |
319
Механизмсдвумявнутреннимизацеплениямипредставленнарис. 8.16.
Рис. 8.16. Планетарный механизм с внутренними зацеплениями: а – схема механизма; б – графический метод определения передаточного отношения
Тогда при η = 0,99 i1(−4Н) = 20…50. Входное звено – водило, выходное – первое колесо.
i1(−4H) = 1 / iH( 4−)1 .
Например, если iH(4−)1 = 20, то i1(−4H) = 1/20.
Используем графический способ.
Выберем точку F на входном звене так, чтобы O1F = O2B.
Точка С для данной схемы может располагаться как выше, так и ниже точкиА. ВзависимостиотположенияточкиСпланскоростейбудетразный.
ψ1 и ψН направлены в разные стороны от вертикали. Следовательно, водило и колесо 1 вращаются в разные стороны.
iН( 4−)1 = |
ω |
Н |
= |
VB O2 B |
|
= |
BB′ O2 B |
, |
|||||
ω |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
VA O1F FF ′ O1F |
|
||||||||
|
|
( 4) |
|
= |
|
tg ψ |
Н |
= |
ВВ′ |
. |
|
||
|
iН−1 |
|
|
|
FF ′ |
|
|||||||
|
|
tg ψ |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим передаточное отношение аналитическим способом.
320