Рис. 6.20. Профилирование шайбы для механизма с толкателем, оканчивающимся острием
Для перехода от центрового к практическому профилю запишем век-
тор rA |
p 0 |
координат точки Ap 0 контакта ролика с действительным профи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лем кулачка в начале подъема толкателя в системе координат x0Oy0 : |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
yA0 |
− rp cosθ |
|
T |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
rAp 0 = |
xA0 + rp sin θ , |
|
, 1 |
|
|
|
где θ – угол давления, tgθ = |
|
Sϕ + e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0 − Sϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
– аналог скорости толкателя, S |
ϕ |
=V |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qBi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rp |
– радиус ролика. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда радиус-вектор точки контакта ролика и практического профиля |
(точки Ap1 ) |
в матричном выражении в системе |
x1Oy1 запишем в виде |
столбцовой матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
T |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rAp1 = |
xAp1 , yAp1 ,1 |
= M10rAp 0 = |
|
|
|
|
|
|
|
xA1 |
+ rp sin (θ − ϕ |
) |
|
e cos ϕ |
+ (S |
+ S |
|
)sin ϕ |
+ r sin (θ − |
ϕ ) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
ϕ |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
= |
|
y |
|
+ r cos (θ − ϕ |
|
|
|
|
|
(S+ |
|
S |
|
)cosϕ − |
θr−(ϕ |
) |
|
. |
|
|
A1 |
)= |
|
− e sinϕ + |
|
|
ϕ |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
261
Для перехода к полярным координатам введем следующие обозначения:
β |
0 – постоянный угол, β 0= |
arctg |
S0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
β |
|
– дополнительный угол, β = |
|
|
|
yA |
|
arctg |
1 |
. |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
xA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Отсюда полярный угол радиус-вектора β = β 0 − β 1 . В полярных коор- |
динатах радиус-вектор кулачка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
= |
x2 + y2 . |
|
|
A |
|
|
A |
A |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
6.10.5.Профилирование кулачковой шайбы для механизма с коромыслом
При профилировании считаем заданными зависимость ψ = f (ϕ ) углового перемещения выходного звена ψ от угла поворота кулачка φ, а также первую и торую производные этого перемещения (ψ ψ, ) , длину коромысла l2 , межосевое расстояние aw , минимальный радиус, радиус ролика rp .
На рис. 6.21 изображены неподвижная система координат x0Oy0 и подвижная система координат x1Oy1 , которые совпадают при φ = 0, при этом начальное положение коромысла характеризуется значением ψ 0 . Повороту кулачка на угол φ соответствует текущее положение коромысла ψ.
Рис. 6.21. Профилирование кулачковой шайбы для механизма с коромыслом
В системе x0Oy0 |
координаты точки контакта |
|
A0 |
определим радиус- |
вектором rG , которому соответствует столбцовая матрица: |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (ψ |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rG |
|
= |
xA |
|
|
l |
− l |
|
|
+ ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
= |
0 |
l |
sin |
|
(ψ |
|
|
|
+ ψ |
) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В системе x1Oy1 |
координаты точки контакта |
|
|
A1 |
определим матрич- |
ным выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rG |
= M |
|
|
rG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где M10 |
– матрица перехода от системы x0Oy0 |
к системе x1Oy1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ |
|
|
|
|
sinϕ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M10 = −sin ϕ |
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ |
|
|
sinϕ |
|
0 |
|
l− |
|
|
|
l |
2 |
|
cosψ( + ψ |
|
|
) |
|
|
|
rG |
|
|
−sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
)= |
|
|
|
= |
|
|
cosϕ |
|
0 |
|
|
|
l |
|
sinψ( + ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
− l |
|
(ψ |
+ ψ |
|
) cosϕ + |
|
|
|
|
l |
2 |
|
sinψ +( ψ |
0 |
|
|
ϕ )sin |
|
|
= |
|
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
l |
− l |
2 |
cos (ψ |
0 |
+ ψ |
|
) (−sin ϕ ) |
+ l |
2 |
|
sin (ψ |
0 |
+ ψ |
)cosϕ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
cos ϕ − l |
2 |
|
+ ψ + ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
cos (ψ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=) |
|
y |
. |
|
|
|
|
|
= |
−l |
|
sin ϕ − |
l |
|
|
|
+ ψ + ϕ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В полярной системе координат радиус-вектор текущего положения |
точки |
контакта |
кулачка |
|
и |
|
|
|
|
толкателя |
|
|
|
|
|
r |
= |
|
x |
2 |
+ y2 , |
а полярный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
β = β 0 − β * .
Для описания практического профиля проводим нормаль к профилю n – n и вводим еще одну систему координат x2 Ay2 с центром в точке А.
В этой системе радиус-вектор, описывающий практический профиль, представим в виде
где θ – угол давления,
θ = arctg |
l2 ± Sϕ − l0 cos (ψ |
0 + ψ ) |
. |
|
|
|
|
|
|
l0 sin (ψ 0+ ψ |
|
) |
|
|
Для представления радиуса-вектора в системе x1Oy1 запишем мат- |
ричное выражение |
|
|
|
|
rG |
|
|
rG |
|
|
rG |
= M |
10 |
M |
= M |
12 |
, |
|
A |
|
|
|
02 A |
p 2 |
A |
p 2 |
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
где M10 , M 02 , M12 – матрицы преобразования координат.
Для примера рассмотрим составление матрицы для текущего положения толкателя:
|
|
|
cos (ψ |
0+ ψ |
) |
sinψ (+ ψ0 |
) |
M |
02 |
= |
|
−sin ( |
ψ + ψ |
) |
cosψ (+ ψ |
) |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты Х и Y начала координат А системы x2 Ay2 в неподвижной
системе x0Oy0 (рис. 6.22) определим так: |
|
X = l0 − l2 cos (ψ |
+ ψ 0 ); |
Y = l2 sin (ψ + ψ |
0 ). |
Рис. 6.22. Определение столбца координат подвижной системы координат в неподвижной системе координат
Из матричного выражения получаем матрицу, содержащую координаты практического профиля:
Задачи по синтезу кулачковых механизмов
6.1. Спроектировать кулачковый механизм 1-го вида. Построение провести для двенадцати положений механизма. Известно, что ход толкателя h = 42 мм; закон изменения первой производной от функции положения толкателя задан графиком
|
|
ds2 |
|
= |
ds2 |
(ϕ 1 ), |
|
|
dϕ 1 |
|
|
|
|
dϕ 1 |
|
радиус |
ролика r = 10 мм, |
минимальный |
радиус |
кулачкаr0 |
= 25 мм, |
фазовый угол |
подъема (удаления) ϕ π = π , |
фазовый угол |
опускания ϕ 0 = π . |
|
|
|
|
6.2. Спроектировать кулачковый механизм 1-го вида. Построение произвести для двенадцати положений механизма. Известно, что ход толкателя h = 36 мм; закон изменения второй производной от функции положения толкателя задан графи-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ком |
d 2 s2 |
= |
d 2 s2 |
(ϕ 1 ), радиус ролика |
r = |
|
|
|
dϕ 12 |
|
dϕ 12 |
|
|
|
= 10 мм, |
минимальный |
радиус |
кулачка |
r0 = 25 мм, |
|
фазовый угол подъема |
ϕ π |
= π , |
фазовыйуголопускания ϕ |
0 = π . |
|
|
6.3. Для кулачкового механизма определить величины углов давления для семи положений механизма на фазе подъема. Известно, что ход толкателя h = 42 мм; минимальный радиус кулачка r0 = 24 мм, закон
изменения первой производной от функции
положения толкателя задан |
графиком |
|
ds2 |
= |
ds2 |
(ϕ 1 ), фазовый угол |
подъема |
|
|
|
|
|
dϕ |
1 |
|
dϕ 1 |
|
ϕ π |
= π , фазовый угол опускания ϕ |
0 = π . |
6.4. Для кулачкового механизма определить величины углов давления для семи положений механизма на фазе подъема. Известно, что ход толкателя h = 36 мм; минимальный радиус кулачка r0 = 20 мм,
закон изменения второй производной от функции положения толкателя задан гра-
фиком |
|
d 2 s2 |
|
= |
d 2 s2 |
(ϕ |
1 ), фазовый угол |
|
dϕ |
12 |
|
dϕ 12 |
|
|
|
|
|
|
подъема ϕ π |
= 0,5π , |
фазовый угол опуска- |
ния ϕ 0 = 0,5π . |
|
|
|
|
6.5. Для кулачкового механизма опре- |
делить |
минимальный |
радиус r0 кулачка |
исходя из требования, чтобы профиль кулачка был очерчен выпуклой кривой, если ход толкателя h = 36 мм, а закон изменения второй производной от функции положения толкателя задан графиком
|
d 2 s2 |
= |
d 2 s2 |
(ϕ 1 ), фазовый угол подъема |
|
dϕ |
12 |
dϕ 12 |
|
|
|
|
ϕ π |
= 0,5π , |
фазовый угол опускания |
ϕ0 = 0,5π .
6.6.Для кулачкового механизма опре-
делить, на каком расстоянии l от оси Ау толкателя произойдет соприкосновение профиля кулачка с тарелкой толкателя, если кулачок повернут на угол ϕ 1 = 45° из
положения, указанного на чертеже. Дано: ход толкателя h = 40 мм, закон изменения второй производной от функции положения толкателя задан графиком
|
d 2 s2 |
= |
d 2 s2 |
(ϕ |
1 ), фазовый угол подъема |
|
dϕ |
12 |
dϕ 12 |
|
|
|
|
|
ϕ π |
= π . |
|
|
6.7. Для кулачкового механизма определить минимальный поперечный размер тарелки D2 толкателя, если ход толкателя
h = 36 мм, закон изменения второй производной от функции положения толкателя
|
задан графиком |
d 2 s2 |
= |
d 2 s2 |
(ϕ 1 ), фазовый |
|
dϕ 12 |
dϕ 12 |
|
|
|
|
|
угол подъема ϕ π = 0,5π |
и |
фазовый угол |
|
опускания ϕ 0 = 0,5π . |
|
|
|
6.8. Для кулачкового механизма определить угол давления при повороте кулачка на угол ϕ 1 = 45° из положения, указан-
ного на чертеже.
Дано: ход толкателя r0 = 40 мм, закон
изменения первой производной от функции положения толкателя задан графиком
ds2 |
= |
ds2 |
(ϕ 1 ), фазовый угол подъема |
dϕ 1 |
|
|
dϕ 1 |
ϕπ = π .
6.9.Для кулачкового механизма определить радиус кривизны профиля кулачка в месте его касания с концом толкателя, которое получается при повороте кулачка на угол 45° из положения, показанного на чертеже. Известно, что ход толкателя h = 36 мм, минимальный радиус кулачка r0 =
25 мм, закон изменения второй производной от функции положения толкателя за-
|
дан графиком |
d 2 s2 |
= |
d 2 s2 |
(ϕ |
1 ), фазовый |
|
dϕ 12 |
dϕ 12 |
|
|
|
|
|
|
угол подъема ϕ π |
= π . |
|
|
|
|
Указание. Задачу решить путем построения планов скоростей и ускорений механизмов.
6.10. Для кулачкового механизма определить угол α в том положении механизма, которое получится в результате поворота кулачка на угол ϕ 1 = 45° .
Известно, что расстояние между осями вращения кулачка и толкателя L = 120 мм; длина толкателя l = 90 мм, начальный угол отклонения толкателя от линии центров АС ϕ 0 = 30° , ход толкателя S = 30°,
закон изменения первой производной от функции положения толкателя задан гра-
|
фиком |
dϕ |
2 |
= |
dϕ |
2 |
(ϕ 1 ), фазовый угол |
|
dϕ |
1 |
dϕ |
1 |
|
|
|
|
ϕπ = 0,5π .
6.11.Для кулачкового механизма оп-
ределить минимальный радиус r0 кулачка так, чтобы во всех положениях механизма в пределах фазы подъема профиль кулачка очерчивался бы выпуклой кривой. Известно, что ход толкателя h = 30 мм; закон изменения первой производной от функции
положения толкателя задан графиком
|
d 2 s2 |
= |
d 2 s2 |
(ϕ |
1 ), фазовый угол подъема |
|
dϕ |
12 |
dϕ 12 |
|
|
|
|
|
ϕ π |
= 0,5π . |
|
|
Указание. При решении задачи следует исходить из условия, что радиус кривизны профиля должен быть не меньше нуля.
6.12.Руководствуясь условиями задачи 6.1, определить минимальный радиус r0 кулачка, если ход толкателя h = 60 мм.
6.13.Руководствуясь условиями задачи 6.1, определить минимальный радиус r0 кулачка, если фазовый угол подъема толкателя равен ϕ π = 0, 25π .
6.14. Для кулачкового механизма найти жесткость пружины, обеспечивающей замыкание кинематической пары IV класса (кула- чок-толкатель), если ход толкателя h = 20 мм, закон изменения второй производной от функции положения толкателя задан графи-
ком |
|
d 2 s2 |
= |
d 2 s2 |
(ϕ |
1 ), фазовый угол подъе- |
|
dϕ 12 |
|
|
|
|
dϕ |
12 |
|
|
ма |
ϕ π = 120°, |
масса толкателя m2 = 0,18 кг, |
угловаяскоростькулачкаn = 1000 обмин.
6.15. Для кулачкового механизма найти жесткость пружины, замыкающей кинематическую пару IV класса, если ход толкателя S = 30°, закон изменения второй производной от функции положения толка-
теля задан графиком |
d 2ϕ 2 |
= |
d ϕ2 |
2 |
|
(ϕ |
1 ), фа- |
|
|
12 |
|
|
dϕ |
12 |
|
dϕ |
|
|
|
зовый угол подъема |
ϕ π |
= 120°, |
|
момент |
инерции толкателя относительно оси С ра-
вен I = 10−5 кгм2 , угловая скорость кулачка n = 1000 обмин.
6.16. Для кулачкового механизма найти полярные координаты точки профиля кулачка, которая находится в месте касания кулачка с концом толкателя при повороте кулачка на угол ϕ 1 = 30° из положе-
ния, указанного на чертеже, если ход толкателя h = 40 мм, закон изменения второй производной от функции положения тол-
кателя задан графиком |
|
d 2 s2 |
= |
d 2 s2 |
(ϕ |
1 ), |
|
dϕ 12 |
dϕ 12 |
|
|
|
|
|
фазовый угол подъема ϕ π |
= 120°. |
|
|
|
6.17. Для кулачкового механизма найти полярные координаты точки профиля кулачка, которая находится в месте касания кулачка с тарелкой при повороте кулачка на угол ϕ i = 30°из положения, ука-
занного на чертеже, если ход толкателя h = = 20 мм, минимальный радиус кулачка r = 40 мм, закон изменения второй производной от функции положения толкателя
|
задан графиком |
d 2 s2 |
= |
d 2 s2 |
(ϕ |
1 ), фазовый |
|
dϕ 12 |
dϕ 12 |
|
|
|
|
|
угол подъема ϕ π = 120°.
6.18. Для кулачкового механизма найти радиус-вектор точки профиля кулачка, которая находится в месте касания профиля кулачка с концом толкателя при повороте кулачка на угол ϕ 1 = 60°из положения,
указанного на чертеже, если начальный угол отклонения толкателя от линии центров АС ϕ 0 = 30° , ход толкателя S = 30°,
расстояние между центрами вращения кулачка и толкателя L = 80 мм, длина толкателя l = 60 мм, закон изменения второй производной от функции положения толка-
|
теля задан графиком |
d 2ϕ |
2 |
= |
d ϕ2 |
2 |
(ϕ |
1 ), фа- |
|
dϕ |
12 |
dϕ |
12 |
|
|
|
|
|
зовый угол подъема ϕ π = 120°.
