1505

ными, поэтому вся передача будет с кратным зацеплением. Окончательно для u17 получим:

Если требуется найти передаточное отношение от седьмого колеса к первому, в выражении (8.5) следует поменять местами числитель и знаменатель:

8.3. Кинематика планетарных передач

Рассмотрим передачу, изображённую на рис. 8.3.

Звено 1 называется центральным колесом, звено 2 – сателлитом, звено Н – водилом. Передача содержит три звена и одну пару четвёртого класса. По формуле (8.7) получим

W = n – p = 3 – 1 = 2.

Такая передача называется дифференциальной, так как в ней можно вычитать или складывать движения двух звеньев. Термин «планетарная» передача используется потому, что движение сателлита напоминает движение планет солнечной системы.

Рис. 8.3. Дифференциальная передача

301

С центральным колесом и сателлитом жёстко свяжем отрезки, при помощи которых зададим углы φ1, φ2. Углы φ1, φН будут обобщёнными координатами, угол φ2 – функция положения сателлита. Для этого угла можно записать:

Величины ϕ 1 , ϕ H – это обобщённые скорости, они должны быть за-

данными, ϕ 1 = ω1; ϕ H = ωН.

Величинаφ2 – угловаяскоростьсателлита, φ2 = ω2, онаявляетсяискомой. Найдем частную производную ∂ φ2/ ∂ φ1. При этом обобщенная координата φН должна быть постоянной, т.е. водило окажется остановленным

(рис. 8.4, а).

Рис. 8.4. Обращенные механизмы: – при остановке вала; – при остановке колеса 1

302

Какими будут угловые скорости колес после остановки водила, выясним позже, а сейчас найдем вторую частную производную ∂ ϕ 2/ ∂ ϕ Н. Обобщенная координата ϕ 1 будет постоянной, и колесо 1 окажется остановленным (рис. 8.4, б). Линейная скорость центра сателлита будет равной:

Передаточное отношение

С учетом полученного выражения найдем из (8.12) угловую скорость сателлита:

После остановки водила получаем механизм, который называется обращенным. В обращенном механизме из угловых скоростей колес нужно вычитать угловую скорость водила. Выражение (8.18) называется формулой Виллиса, имеющей большое значение в кинематике планетарных передач.

Рассмотрим ряд примеров:

Пример 1

На рис. 8.5 приведена схема простого планетарного редуктора Джеймса в двух вариантах. В первом варианте (рис. 8.5, а) центральное колесо 1 неподвижно, во втором варианте (рис. 8.5, в) неподвижным является центральное колесо 3. Подвижность механизмов, изображенных на рис. 8.5, равна единице:

W = n – p4 = 3 – 2 = 1.

303

отсюда

Аналогично для схемы на рис. 8.5, в:

Исследуем допустимые пределы изменения передаточных отношений для обеих схем. Положим, что z1= z2. Тогда z3= z1+ 2z2, так как все колеса одного модуля. По формуле (8.20) получим:

i3Н = 1 + z1 / z3 = 1 + z1 / 3z1 = 4/3; iН3 = 3/4.

При ведущем водиле угловая скорость ω3 = (4/3) ωН. При ведущем колесе 3 угловая скорость ωН = (3/4) ω3. В первом случае получается повышающая передача (мультипликатор). Во втором случае получается понижающая передача (редуктор). В обоих случаях передаточное отношение мало отличается от единицы. По формуле (8.22) найдем:

u1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 3z1 / z1 = 4; uН–1 = 1/4.

При ведущем водиле угловая скорость ω1 – повышающая передача, ω1 = 4ωН. При ведущем колесе 1 угловая скорость водила ωН – понижающая передача, ωН = 0,25ω1. Здесь достигается значительно больший кинематический эффект по сравнению с передачей на рис. 8.5, а.

Возьмем как можно большее соотношение чисел зубьев колес. Для одной ступени рядовой зубчатой передачи не рекомендуется назначать передаточное отношение больше пяти.

Выберем z5= 5z1, тогда z3 = z1 + 10z1 = 11z1. По формуле (8.20):

Для схемы на рис. 8.5, а передаточное отношение опять мало отличается от единицы. Для схемы на рис. 8.5, в при ведущем водиле ω1 = 12 ωН повышающая передача. При ведущем колесе 1 угловая скорость водила ωН – понижающая передача; ωН = 1/12 ω1.

305

Наконец, рассмотримсоотношениечиселзубьевz1 = 5z2, тогдаz3 = 7/5z1. По формуле (8.20):

i3Н = 1 + z1 / z3 = 1 + 5z1 / 7z1 = 12/7; iН3 = 7/12.

По формуле (8.22):

i1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 7z1 / 5z1 = 12/5; iН1 = 5/12.

Таким образом, получены следующие кинематические свойства передач. Для схемы на рис. 8.5, а при ведущем водиле угловая скорость центрального колеса изменяется в пределах ω3 = (12/11…12/7) ωН; при ведущем колесе 3 угловая скорость водила ωН = (11/12…7/12) ω3.

Для схемы на рис. 8.5, в при ведущем водиле угловая скорость колеса 1: ω1 = (12/5…12/1) ωН; при ведущем колесе 1 угловая скорость водила

ωН = (1/12…5/12)ω1.

Из-за низкой кинематической эффективности передача с неподвижным колесом 1 не находит применения в машиностроении. Передача с неподвижным колесом 3 получила широкое распространение и может работать как повышающая, так и как понижающая.

Пусть задана схема редуктора (рис. 8.6), в котором водило Н редуктора Джеймса приводится от рядовой ступени (колеса 1, 2).

Рис. 8.6. Двухступенчатый редуктор с простой и планетарной ступенями

306

Рассчитать передаточное отношение u15, если z1 = z4 = 30; z2 = z5= 20; z3 = 80, а также найти число оборотов колеса 5 и сателлита 4 при n1 = = 50 об/мин.

Решение

1. Подсчитываем передаточные отношения отдельных ступеней. Для первой ступени

i12= n1/ n2= – z2/ z1 = –20/30 = –2/3,

откуда

n2 = – 3/2 n1 = – (3/2) 50 = –75 об/мин.

Так как n2 = nН, то nН = –75 об/мин. Для второй ступени

iН5 = nН / n5 = 1 / i5Н = 1 / (1 – i53H ) = 1 / (1 – (– z4 / z5) (z3 / z4)) = =1 / (1+ z3 / z5) = 1/ (1 + 80 / 20) = 1/5.

2. Общее передаточное отношение редуктора (об/мин)

i15= i12 iН5 = (–2/3) (1/5) = – 2/15 = n1/ n5

или

n5 = – 7,5 n1 = – 7,5 · 50 = – 375.

3. Найдем число оборотов сателлита. Для этого воспользуемся фор-

мулой Виллиса:

i54H = (n5 – nН) / (n4 – nН) = – z4/ z5 = – 30/20 = –3/2

или

n5 – nН = (– 3/2 n4) + (3/2 nН),

откуда

n4 = (– 2/3 n5) + (5/3 nН) = (– 2/3 (– 375)) + (5/3 (– 75)) = 125.

Сателлит вращается в ту же сторону, что и колесо 1.

Пример 2

На рис. 8.7 изображена схема редуктора с двумя внешними зацеплениями. Подвижность механизма:

W = n – p4 = 3 – 2 = 1.

307

Пусть задана угловая скорость водила ωН. Требуется определить угловую скорость ω1 ведомого звена. Сначала выразим эти соотношения через радиусы колес. Мгновенная ось вращения обозначена ММ. Найдем скорость точки А:

VA = (r3 + r2') ωН = ω2 r2'

или

Блок сателлитов z2, z2' вращается как одно целое, поэтому скорость точки С

Рис. 8.7. Редуктор Давида с внешнем зацеплением

Скорость точки С является окружной для колеса 1, тогда для угловой скорости этого колеса получим

308

Из этой формулы видно, что чем ближе точка С к мгновенной оси, тем меньше передаточное отношение и1Н и тем больше отношение uН1. Особенно наглядно это проявляется в профильной проекции на рис. 8.7. В рассматриваемом случае колесо 1 вращается противоположно водилу. Если точка С окажется выше точки В, то направления угловых скоростей водила и колеса 1 будут совпадать. Если же точка С совпадет с точкой В, то r2 – r2' = 0, колесо 1 окажется неподвижным.

Выражение передаточного отношения через радиусы колес не всегда удобно, так как колеса z2, z2' могут быть разного модуля. Используя формулу Виллиса, выразим передаточное отношение через числа зубьев колес:

к единице.

Пусть задано: z1 = 101; z2 = 100; z2' = 99; z3 = 100. По формуле (8.29)

i1Н = 1 – (z2 / z1) (– z3 / z2') = – (100·100) / (101·99) = = – 1/9999 ≈ – 1/10000.

Этот случай соответствует рис. 8.7, где гочка С лежит ниже мгновенной оси. Заданы другие значения чисел зубьев:

z1 = 100; z2=101; z2' = 100; z3 = 99.

Тогда

i1Н = 1 – (– z2 / z1) (– z3 / z2') = 1 – (101·99) / (100·100) = 1/1000.

В этом случае точка С лежит выше мгновенной оси, водило и колесо 1 вращаются в одну сторону.

Недостатком этого механизма являются большие потери на трение, следовательно, низкий коэффициент полезного действия. При uН1 = 1000 КПД равен 0,0015.

309

8.4. Замкнутые дифференциальные передачи

Пример 4

На рис. 8.9 изображена схема замкнутого дифференциала. Рассчитаем степень подвижности передачи:

W = n – p4 = 5 – 4 = 1.

Первым признаком такой передачи является то, что при W = l в ней нет неподвижного центрального колеса. Пусть задана угловая скорость первого колеса. Требуется найти угловую скорость водила.

Записываем формулу Виллиса для центральных колес:

310