1464

§ 4. Одномерное движение при нелинейном законе фильтрации

Рассмотрим ту же одномерную задачу, что и в § 1 данной главы, но только движение жидкости в' пористой среде будем считать подчи­ няющимся нелинейному закону фильтрации:

(64, IX)

где с и по — постоянные величины, причем 1 < по ^ 2, a F определяется формулой (2, IX), см. рис. 51 и 52; отрицательный знак перед гради­ ентом взят по той же причине, что и в формуле (5, VIII). Напомним, что при по = 2 имеем крайний случай нелинейного режима фильтра­ ции — движение жидкости по закону Краснопольского — см. главу VII, в которой выяснена природа величины с при любом значении по1.

Разделим переменные и проинтегрируем уравнение (64, IX):

как показатель степени в нелинейных законах фильтрации, см., например, фор­ мулы (28, VII) и (44, VII). Итак, при сопоставлении формул главы VII и данного параграфа следует помнить, что no = 1/п .

Для определения давления в точке М проинтегрируем уравне­ ние (71, IX):

иг-(А)

Если рассмотрим частный случай закона фильтрации Краснополь­

(последнее справедливо при не слишком больших расстояниях от сква­ жины), то из формулы (73, IX) и (75, IX) при п0 = 2 получим1:

где sp и 5 — понижения пьезометрического уровня в реагирующей и возмущающей скважинах, см. рис. 57.

Из формулы (78, IX) очевидно, что пьезометрическая линия бу­ дет иметь форму гиперболы (а пьезометрическая воронка депрес­ сии — форму гиперболоида вращения), т. е. у стенки скважины будет иметь большую крутизну, чем логарифмическая кривая на рис. 57.

Интересно отметить, что зависимость давления от радиуса-векто­ ра, имеет в рассматриваемом случае плоско-радиального потока при законе фильтрации Краснопольского тот же характер, что и при сфери­ ческом радиальном потоке, происходящем по линейному закону филь­ трации [ср. формулы (78, IX) и (58, IX)].

Следует только учесть, что в формуле (78, IX) г представляет со­ бой расстояние от точки пласта до оси гидродинамически совершен­ ной скважины, а в формуле (58, IX) г представляет собой рассто­ яние от точки пласта до центра полусферического забоя скважины (см. рис. 46).

Сходство упомянутых формул позволяет считать табл. 6 справед­ ливой при Rc — 10 см и в исследуемом сейчас случае плоско-радиаль­ ного потока.

ле (70, IX) величина по ближе к 1, чем к 2, то распределение пластовых давлений будет более похоже на то, которое установлено в § 2 данной

главы, см. табл. 5.

Продифференцировав формулу (76, IX) по г, найдем, что градиент давления в какой-либо точке пласта обратно пропорционален квадрату радиуса-вектора этой точки.

Разделив дебит скважины на величину 27гг6, из формулы (77, IX) определим скорость фильтрации в любой точке пласта с радиусомвектором г. Скорость фильтрации будет обратно пропорциональна ра­ диусу-вектору, а потому закон движения будет иметь тот же характер, что и в плоско-радиальном движении по линейному закону фильтра­ ции, изученном в § 2 данной главы. Вывод закона движения, ради крат­ кости, мы здесь пропускаем.

Перейдем к анализу формул дебита. Как видно из формулы (75, IX), индикаторная линия при 1 < по < 2 выпуклая (смотря со сто­ роны оси дебита) параболическая кривая с дробным показателем степе­ ни; в случае закона Краснопольского, как показывает формула (77, IX), индикаторная линия является обыкновенной параболой второго поряд­ ка (см. рис. 59).

Параболические кривые имеют вершину в точке О, касаются оси дебита и имеют своей осью ось понижений Ар.

На рис. 59 приведена для сравнения индикаторная линия (прямая), соответствующая линейному закону фильтрации.

При линейном законе фильтрации на каждую следующую атмо­ сферу увеличения перепада давления приходится один и тот же при­ рост дебита скважины; выпуклость же индикаторных линий при нели­ нейном законе фильтрации указывает на то, что на каждую следующую атмосферу перепада давления приходится все меньший и меньший при­ рост дебита. Интересно отметить, что в приближенную формулу деби­ та (77, IX) совсем не входит величина радиуса RK — контура области питания. О природе зависимости дебита скважины от ее радиуса даль­ ше сказано особо.

§ 6. Особенности притока жидкости к скважине при одновременном существовании двух режимов

Постановка задачи данного параграфа станет ясной после сопо­ ставления следующих трех положений, каждое из которых основано на результатах анализа решенных выше проблем.

I. При движении жидкости к скважине скорость фильтрации в ка­ кой-либо точке пласта тем больше, чем ближе рассматриваемая точка

кскважине.

И.С увеличением перепада давления, т. е. с увеличением пониже­ ния уровня жидкости в скважине, дебит скважины, а следовательно,

искорости фильтрации в различных точках потока возрастают.

III. Закон фильтрации может нарушиться, когда параметр Re пре­ взойдет критическое значение ReKp. При движении однородной жидко-

сти в однородном пласте (когда кинематическая вязкость жидкости I/, коэффициенты проницаемости и пористости пласта к и т постоян­ ны) линейный закон фильтрации нарушится только тогда, когда ско­ рость фильтрации достигнет некоторого критического значения vKp. Зная ReKp, га, fc, г/, можно определить величину vKp из соответствую­ щей формулы (см. § 2 главы VII); например,

Сопоставляя последнее положение с первыми двумя, приходим к следующему выводу: при малых понижениях пьезометрического уровня жидкости в скважине, т. е. вообще при малых дебитах, скоро­ сти фильтрации во всем пласте, вплоть до стенки скважины, могут быть столь малы, что линейный закон фильтрации не нарушается и на начальном участке индикаторная линия оказывается прямой.

Увеличивая дебит, достигнем сначала в самой ближайшей окрест­ ности скважины столь значительной величины скорости фильтрации, что закон окажется нарушенным. Конечно, нарушение закона распро­ странится только на ту малую призабойную область, внутри которой скорости фильтрации превзошли критическое значение.

щий упомянутому закону, и внутри об­ ласти кризиса — режим фильтрации, не следующий этому закону.

Строго говоря, в рассматриваемом случае нельзя говорить о сосу­ ществовании в пласте двух определенных режимов фильтрации: нельзя

считать режим фильтрации внутри области кризиса следующим еди­ ному закону, резко отличному от линейного закона фильтрации и отоб­ ражаемому, например, формулой типа (70, IX) с постоянным показате­ лем степени п. Скорее можно предполагать постепенно усиливающе­ еся отклонение от этого закона' по мере перехода от границы внутрь области кризиса. Это подтверждается анализом графиков рис. 40, хо­ тя специальных экспериментальных исследований по этому вопросу не проводилось. Отметим, что в результате исследования скважин полу­ чено большое количество индикаторных диаграмм, на которых линии оказываются прямыми на участках, соответствующих малым дебитам, и индикаторные линии постепенно искривляются при больших темпах отбора жидкости из скважин.

Этот факт с несомненностью свидетельствует о том, что при ма­ лых дебитах линейный закон фильтрации оказывается справедливым всюду вплоть до стенки скважины, а при больших дебитах этот закон нарушается1.

Из изложенного выше ясно, что этот закон не может нарушаться сразу по всему пласту, а будет нарушаться сначала лишь в призабойной зоне.

Следовательно, задача о радиальном притоке жидкости к сква­ жине в условиях сосуществования различных режимов фильтрации в пласте приобретает особенно большое значение, ибо отвечает реаль­ но существующим условиям в пласте. Наоборот, можно утверждать, что постановка задачи в § 5 данной главы была далека от реально­ сти — нельзя считать, что во всем пласте, вплоть до границы области питания, справедлив единый закон фильтрации, отличный от линейно­ го закона фильтрации.

Истинные особенности радиального притока жидкости к скважине при одновременном существовании различных режимов фильтрации пласте должны определяться «промежуточными закономерностями» по сравнению с теми, какие были установлены в § 2 и 5 данной главы.

С целью уточнения этого вопроса В. Н. Щелкачевым была решена следующая задача, также упрощающая действительные условия и рас­ сматривающая максимально возможные нарушения линейного закона фильтрации в призабойной зоне: вне зоны кризиса справедлив линей­ ный закон фильтрации, а внутри — закон Краснопольского,

Прежде чем проанализировать итоги решения упомянутой задачи, рассмотрим пример подсчета значения параметра Re.

1Мы здесь упомянули об индикаторных диаграммах таких скважин, которые эксплуатировали пласт в условиях водонапорного режима, когда даже при больших дебитах весь газ в пласте был заведомо растворен в нефти.

Несмотря на довольно грубые приближения, которые были сде­ ланы нами [209, 212] при решении более сложной задачи о притоке жидкости к скважине, гидродинамически несовершенной по характе­ ру вскрытия при сосуществовании двух режимов фильтрации в пласте, приведем числовой пример, рассчитанный на основании этого решения; анализ примера позволяет сделать правильные качественные и даже

пропластка прострелено 10 дыр, а радиус каждого из простреленных отверстий 0,5 см; радиус контура области питания 10 км\ критическое значение параметра ReKp = 4. Режим пласта считаем водонапорным.

При этих данных и при выбранных разных перепадах давления Ар (причем Ар = рк —Рс, где рс —динамическое давление на забое скважи­ ны) подсчитаны дебит скважины Q, давление ркр на границе области кризиса Акр и радиус гкр этой границы (см. рис. 60); давление ркр так­ же отнесено к высотной отметке забоя скважины.

Результаты подсчетов сведены в табл. 7; на основании табл. 7 по­ строена индикаторная линия 1 на рис. 61.

Таблица 7 Результаты подсчетов дебита скважины <2, давления ркр на границе области кризиса и радиуса гкр этой границы при

различных значениях перепада давления А р в скважине

Как видно из табл. 7, гкр = 0, 1 м = Rc при Ар = 0,43 am. Это значит, что параметр Re достиг своего критического значения лишь на стенке скважины, а потому при Ар ^ 0,43 am всюду в пласте спра­ ведлив линейный закон фильтрации; соответствующий участок ОА ин­ дикаторной кривой строго прямолинеен. Наоборот, при Ар >0,43 am область кризиса растет, гкр > Rc и индикаторная линия все больше

и больше искривляется.

Полученные из табл. 7 выводы хорошо совпадают с выводами, сде­ ланными в начале данного параграфа на основании логического ана­ лиза постановки задачи об особенностях работы скважин при уело-