1464
.pdf§ 5. Неустановившееся радиальное движение газов по линейному закону фильтрации
До вскрытия пласта скважиной давление р во всей газовой зале жи одинаково и равно начальному пластовому давлению рн. Газовая залежь рассматривается нами как замкнутый резервуар, запасы газа в котором в процессе разработки не пополняются извне. В этих услови ях, в отличие от установившегося движения, с течением времени дав ление в пласте будет падать и газовая залежь будет истощаться.
Количество газа, извлеченного из пласта за некоторый промежу ток времени, равно изменению запасов газа в пласте за тот же проме жуток времени. Это условие материального баланса в дифференциаль ной форме можно записать следующим образом:
Qdt = —ftdp, |
(45, XII) |
где Q — приведенный к атмосферному давлению дебит газовой сква жины;
t — время;
Q— объем порового пространства пласта, принимаемый нами при решении рассматриваемых в настоящей главе задач постоян ным1;
р— средневзвешенное по объему давление, величина которого
определяется формулой (15, XII).
При рассмотрении неустановившейся фильтрации газов буквами р, р, рк и рс мы будем обозначать отношение соответствующего абсолют ного давления к атмосферному давлению (рат)- Следовательно, в от личие от предыдущих глав, величины р, р, рк и рс здесь являются без размерными, показывающими число атмосфер соответствующего абсо лютного давления.
Уравнение (45, XII) мы называем дифференциальным уравнением истощения газовой залежи.
При рассмотрении установившейся радиальной фильтрации га за мы доказали, что средневзвешенное по объему пласта давление р практически совпадает с контурным давлением рк. Произведенное Б.Б.Лапуком [91] сравнение распределения давления при установив шейся и неустановившейся фильтрации газов показало, что при одина ковых граничных условиях кривая распределения давления в пласте
Изменение объема порового пространства ft газовой залежи вследствие упру
гости горных пород, проявляющейся при падении давления р, не оказывает суще ственного влияния на движение газов в пористой среде, так как коэффициент сжи маемости пористой среды (см. главу XI) ничтожен по сравнению с коэффициентом сжимаемости газа, который приближенно можно принять равным единице.
вслучае неустановившейся фильтрации располагается несколько выше соответствующей кривой при установившейся фильтрации.
Рассмотрим, что происходит при вскрытии скважиной пласта, схе ма которого изображена на рис. 54. Начиная с момента вскрытия газо вой залежи, по мере отбора газа, падение давления распространяется от скважины к границам залежи аналогично тому, что имеет место
вслучае неустановившейся радиальной фильтрации сжимаемой жид кости (см. начало § 3 главы XI).
Смомента вскрытия пласта до достижения фронтом депрессии контура питания пройдет некоторое время. Общее количество газа, из влеченное из залежи в течение этого времени, равно «объему ворон ки депрессии», определяемому формулой (44, XII), в которую вместо величины рк надо подставить величину начального давления рн. По скольку этот объем воронки депрессии мал по сравнению с запасами газа, при решении многих практических задач периодом времени, в те чение которого происходит расширение фронта депрессии от скважины до контура, и величиной i?B можно пренебречь и принять, что после вскрытия пласта влияние скважины мгновенно достигает контура2.
Следовательно, при одинаковых граничных условиях среднее дав ление р при неустановившейся фильтрации газа будет еще меньше от личаться от контурного, чем при установившейся фильтрации, а зна
чения £ = ^ будут еще ближе к единице, чем величины £, указанные
в табл. 11. Исходя из этого, подставим вместо входящего в диффе ренциальное уравнение (45, XII) истощения газовой залежи среднего давления р контурное давление рк. Тогда вместо уравнения (45, ХП) получим:
Qdt = -Q d pK. |
(46, XII) |
Эксплуатация газовых месторождений производится в течение длительных промежутков времени, исчисляемых годами. Вследствие этого изменения во времени давления в пласте и дебита скважин про исходят относительно медленно. Это позволяет рассматривать неустановившуюся радиальную фильтрацию газов, как непрерывную после довательность стационарных состояний, т. е. приближенно считать, что в каждый момент времени дебит газа и распределение давления в пла сте такие же, как и при установившейся фильтрации при тех же гранич-71*
2Учет первой фазы неустановившейся фильтрации необходим при решении за дач, связанных с интерпретацией данных испытания газовых скважин. Исследо вание этих вопросов представляет большой интерес с точки зрения определения параметров пласта (проницаемости, пористости, мощности или их комбинации) по результатам испытания газовых скважин. Работы в этом направлении проводятся нами в Московском нефтяном институте.
17 Подземная гидравлика
ных условиях. Решая задачи о неустановившейся радиальной фильтра ции газов методом последовательной смены стационарных состояний, для определения дебита скважины и распределения давления в пласте можно воспользоваться формулами (31, XII) и (37, XII).
Чтобы найти интересующие нас изменения во времени дебита газа Q и пластового давления рк, нужно проинтегрировать уравне ние (46, XII), для чего должны быть известны начальные и граничные условия.
В качестве начального условия естественно принять постоянство давления в пласте в начальный момент времени, т. е.
при t = 0 р - рк.= р„. |
(47, ХП) |
Граничные условия на контуре скважины определяются условиями отбора газа и могут быть следующими.
1. Давление на скважине рс в процессе разработки газовой зале жи поддерживается постоянным, что может быть достигнуто соответ ствующим регулированием дебита скважины. Это условие выражается в виде:
рс = const. (48, XII)
Приближенно можно считать, что оно имеет место также тогда, когда газ из скважин направляется непосредственно (при полностью открытых задвижках) в газопровод, в котором поддерживается посто янное давление. При эксплуатации конденсатных месторождений под держание постоянного забойного давления необходимо, начиная с того момента времени, когда давление на забое становится близким к дав лению обратной конденсации.
2. Дебит скважины является заданной функцией времени, т. е.
Q = Q(t). (49, XII)
Это условие справедливо, когда количество добываемого газа опре деляется запросами потребителей, причем динамика потребления газа во времени известна. Частным случаем условия (49, XII) является экс плуатация скважины при постоянном дебите газа, т. е.
Q = const. |
(50, XII) |
Поскольку приведенный к атмосферному давлению дебит Q сква жины прямо пропорционален весовой скорости газа (7^), определяемой уравнением (27, XII), то условия отбора (49, XII) и (50, XII) означа ют эксплуатацию скважины при условиях, когда величина градиен
та квадрата давления |
^ или произведения давления на градиент |
давления — J является соответственно заданной функцией времени
или величиной постоянной. Следовательно, вместо уравнений (49, XII) и (50, XII) можно написать:
(f)\ / Г—Гс \ ¥)/ Г—Ге =/<‘> |
<48'-хп> |
(^)„„=5 (Pf)„, =const' |
(50''ХП) |
3. При эксплуатации скважины в ее призабойной зоне поддержи вается постоянная скорость vc фильтрации газа. Это условие означает постоянство приведенного к забойному давлению объемного расхода газа. Скорость фильтрации газа vc у входа в скважину равна:
ус = —^~г=г = const, |
(51, XII) |
Рс г с
где Fc — площадь сечения пласта, сквозь которую газ поступает в сква жину; Fc есть постоянная величина. Из уравнения (51, XII) следует, что
Q = ерс, (52, XII)
где с — постоянная.
Таким образом, условие поддержания в течение времени t посто янной скорости фильтрации выражается соотношением (52, ХП). По скольку, согласно линейному закону фильтрации, скорость фильтра
ции v пропорциональна градиенту давления аг |
условие (51, ХП) озна- |
|
чает также |
|
|
(Jj^j |
= const3. |
(52', ХП) |
На внешней границе, т. е. на контуре залежи, скорость фильтрации равна нулю, следовательно, и пропорциональный ей градиент давления
3Подробный анализ условий отбора газа (48, XII)-(52, XII) с точки зрения их практического значения дается в нашей работе [91].
1. Неустановившаяся радиальная фильтрация газа в случае эксплуатации скважин при поддержании постоянного забойного
давления (рс = const)
Из уравнения (46, XII) дебит скважины равен:
(53, XII)
С другой стороны, формулу дебита газа Q на основании уравне ния (31, XII) можно представить в виде:
Q = A(p2K- p 2c), |
(54, |
XII) |
где |
|
|
А = |
(55, |
XII) |
Приравнивая уравнения (54, XII) и (53, XII), имеем:
откуда
Фк
(Рк -Р сУ
Интегрируя полученное уравнение в пределах от 0 до t и от рн до рк, находим:
П 1п (Рн - Рс)(Рк + Рс)
2Арс П (р„ + Рс)(Рк - Рс)
или, обозначая постоянные |
|
|
|
Ni |
J ] _ b *L ± lL |
||
и |
2Арс |
Рн - Рс |
|
N2 = |
П |
||
|
|||
|
2Арс |
||
получим:
Рк +Рс Рк - Рс
(56, ХП)
(57, XII)
Введем переменную
£ = |
Рс |
|
|
Рк' |
|
Тогда уравнение (58, XII) приводится к виду: |
|
|
t = N2l n \ ± j - N 1. |
(59, ХП) |
|
Время Т разработки (истощения) газовой залежи в условиях рс = |
||
= const найдем, положив при t = Т |
рк = рк0„ (что соответствует е = |
|
= £кон = Рс где ркон — некоторое конечное значение величины кон
турного давления рк к моменту окончания эксплуатации газовой зале жи.
ft (Рн ~ Рс)(Ркон + Рс)
(60, ХП)
2Арс (р„ + р с)(ркон - Р с )
или
Г = ЛГ21п^ '1~екон - N v 1 ” ^кон
Обозначим через т — безразмерное время, связанное со временем t условием
t ~Ь N\ I 1 Е |
( |
YTH |
T = - / v T |
(61|ХП) |
|
Тогда формула (59, XII) приводится к виду: |
|
|
t = N2r - N i. |
(62, |
ХП) |
В табл. 12 приведены значения т для различных е, а на рис. 78 показана кривая т = т(е). Из формулы (61, XII) и рис. 78 видно, что при приближении е к 1 (что соответствует приближению рк к рс) вре мя т стремится к бесконечности. Это указывает, что истощение газовой залежи к концу ее разработки происходит крайне медленно.
Из формулы (61, ХП) легко найти величину е
1 + g = £
1 - Е
откуда
£т - 1 £г + Г
Т а б л и ц.а 12
Значение безразмерного времени т = In 1 4 - £
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
£ |
|
X* |
е = ? А |
т |
Q* = 1 - £2 |
JV« , |
е = Hi |
т |
|
Q* = |
1 |
|
п/п |
Рк |
|
4 |
е2 |
п/п |
Рк |
|
|
4 |
Е2 |
1 |
0,05 |
0,09981 |
|
399,0 |
11 |
0,55 |
1,2363 |
2,3507 |
||
2 |
0,10 |
0,20043 |
|
99,000 |
12 |
0,60 |
1,3859 |
1,7777 |
||
3 |
0,15 |
0,3022 |
|
43,400 |
13 |
0,65 |
1,5501 |
1,3668 |
||
4 |
0,20 |
0,4054 |
|
24,000 |
14 |
0,70 |
1,7340 |
1,0408 |
||
5 |
0,25 |
0,5102 |
|
15,00 |
15 |
0,75 |
1,9454 |
0,7777 |
||
6 |
0,30 |
0,6038 |
|
10,111 |
16 |
0,80 |
2,1966 |
0,5625 |
||
7 |
0,35 |
0,7307 |
|
7,1632 |
17 |
0,85 |
2,512 |
|
0,3840 |
|
8 |
0,40 |
0,8468 |
|
5,2500 |
18 |
0,90 |
2,9436 |
0,2345 |
||
9 |
0,45 |
0,9692 |
|
3,9382 |
19 |
0,95 |
3,6626 |
0,1083 |
||
10 |
0,50 |
1,0983 |
|
3,0000 |
20 |
1,00 |
оо |
|
|
0 |
Из значения е = |
^ |
контурное давление рк = |
, что в соответ |
|||||||
ствии с формулой (63, XII) дает зависимость контурного давления от времени в виде:
P K = P c p 4 r f |
(64, ХП) |
В частном случае, когда давление рс на скважине равно нулю, де бит газовой скважины Q = А р Подставляя это значение расхода Q в уравнение (53, ХП), имеем:
Apl = - Q ФРкdt ’
отсюда
dp| |
_ A |
J . |
к |
|
|
Рк |
~ ~ n dt• |
|
Интегрируя полученное уравнение в пределах от рн до рк и от О до £, получим:
t = п ( |
_ i \ |
(65, ХП) |
А \Рк |
Рн ) |
|
Решая уравнение (65, XII) относительно рк, имеем:
г
3,0
O.t 0,70,3 0,Ь0,50,6OJOfi0,9 ft0 8
Рис. 78. Зависимость безразмер
ного времени |
т = - |
--У 1 = |
Л 1+ £ |
|
N2 |
величины |
Рс |
|
= in ------- от |
е — £- |
|
1 - е |
|
Рк |
при неустановившейся радиаль ной фильтрации газа по линейно му закону фильтрации и условии отбора газа рс = const.
Рис. 79. Зависимость безразмер ного дебита Q* от безразмерного времени т при неустановившей ся радиальной фильтрации газа по линейному закону фильтрации и условии отбора рс = const.
Введение переменной е = ~ позволяет написать формулу (54, XII)
дебита газа в виде:
Q = А р с |
= Ар2° |
(67’ ХП ) |
Обозначим через Q* — безразмерный дебит, связанный с деби том Q условием:
(68, XII)
о ' - т з о
Тогда из формулы (67, XII) имеем:
(70, XII)
Подстановка в формулу (70, ХП) вместо е его значения из уравне ния (63, XII) дает зависимость между безразмерным дебитом Q* и без размерным временем т в виде:
(71, XII)
Задаваясь различными значениями т, получим приведенные в табл. 12 значения Q *, вычисленные по формуле (71, XII). На рис. 79 показана кривая зависимости безразмерного дебита Q* от безразмер ного времени т.
Как видно из рис. 79, с течением времени дебит газа сначала резко падает, а затем кривая Q* = Q*(T) выполаживается и далее асимпто тически приближается к нулю.
При решении конкретных задач, задаваясь различными значени ями контурного давления рк < рн, находим отвечающие им величины
е = ; далее по табл. 12 или по графикам, приведенным на рис. 78 и 79,
определяем соответствующие этим е значения безразмерных времени т и дебита Q* и по формулам (59, XII) и (69, ХП) находим интересующие нас значения времени t и дебита Q.
2.Неустановившаяся радиальная фильтрация газа в условиях, когда дебит газа является заданной функцией времени
Рассмотрим сначала случай постоянства дебита: Q = const,
= const.
Исходя из дифференциального уравнения истощения газовой за лежи (45, ХП), при этом условии отбора имеем
О
Интегрируя это уравнение в пределах от начального давления р„ при t = 0 до давления р в момент времени £, находим закон изменения
среднего давления р во времени:
Р = |
(72, ХП) |
Общее время Т извлечения газа найдем, положив р = ркон при t = = Т (причем Ркон близко к 1 атпа):
Т = — — |
. |
(73, ХП) |
Поскольку, как отмечалось выше, в условиях радиальной неустановившейся фильтрации величина среднего давления весьма близка контурному давлению, то, подставляя в уравнение (72, ХП) вместо р контурное давление рк, получим
pK= p H- ^ t . |
(74, ХП) |
||
Решая уравнение (54, ХП) относительно величины забойного дав |
|||
ления рс, имеем: |
_______ |
|
|
Рс = |
Рк |
9. |
(75, XII) |
|
|
А ' |
|
Подставляя в уравнение (75, XII) вместо контурного давления рк его значение из формулы (74, XII), получим уравнение, показывающее изменение во времени давления рс4:
Рс = |
Q |
(76, ХП) |
|
А ‘ |
|||
|
|
Если дебит скважины является заданной функцией времени
Q = Q(t), |
(49, XII) |
то из уравнения (45, ХП) имеем:
-d p = ±Q (t)d t.
4Уравнением (76, XII) нельзя пользоваться при слишком большом понижении давления.