1464

§ 2. Плоское радиальное движение по линейному закону

Исследуем горизонтальный плоский радиальный поток несжимае­ мой жидкости в условиях водонапорного режима. Будем считать, что жидкость притекает к гидродинамически совершенной скважине по линейному закону фильтрации, пласт однороден и его мощность постоянна и равна Ь(см. рис. 45).

На рис. 54 приведено изобра­ жение в плане исследуемого пото­ ка: Ас — горизонтальное сечение сква­ жины (индекс с всегда будет соответ­ ствовать первой букве слова «сква­ жина»); Ак — сечение контура об­ ласти питания; Ас и Ак — концен­ тричные окружности, радиусы кото­ рых равны Rc и RK. Допустим, что первоначально во всем пласте и на за­ бое скважины приведенное давление одинаково и равно р£. Величину р* можем назвать начальным статиче­ ским приведенным пластовым давле­ нием. Пусть в какой-то момент вре­ мени из скважины начали отбирать жидкость, благодаря чему должно понизиться давление на забое скважины. Конечно, давление в пласте по­ низится и всюду вокруг скважины,

но мы будем считать, что на границе области питания все вре­ мя поддерживается постоянное начальное давление р*. Приведен­ ное давление на забое скважины обозначим через р* и будем назы­ вать его приведенным динамическим забойным давлением. Итак, при­ ток жидкости к скважине обеспечивается за счет перепада давления в пласте (р* —р*).

Заметим, что величину р* можно и не называть именно начальным статическим приведенным давлением, а называть просто статическим приведенным пластовым давлением. Действительно, по условиям за­ дачи жидкость считается несжимаемой, величина р* постоянна, а по­ тому после остановки скважины в ней самой и во всем пласте вновь восстанавливается давление р*.

Пусть круговые сечения Ак и Ас на рис. 54 проведены на уровне нижней горизонтальной границы (подошвы) пласта. Давления вдоль

окружностей Ас и Ак пусть также будут известными и равными соот­ ветственно рс и рк. Ясно, что

где через Ар обозначено понижение (перепад) давления в скважине. Из ранее сделанных замечаний вытекает, что вполне достаточно

изучить исследуемый поток лишь в одной плоскости, например в плос­ кости, изображенной на рис. 54.

Задача исследования потока состоит в том, чтобы определить дебит скважины, давление, градиент давления и скорость филь­ трации в любой точке пласта, а также установить закон движе­ ния частиц жидкости вдоль их траекторий. Все перечисленные неиз­ вестные должны быть выражены через заданные величины рК1 рс (или р*, р*), Ь, Дк, Дс, /*, А;, т .

Согласно линейному закону фильтрации в форме (9, VUE) и равен­

где р — давление в некоторой точке М пласта, радиус-вектор которой равен г, <2 — постоянный дебит скважины (расход жидкости через каж­ дую цилиндрическую поверхность, концентричную скважине, равен ее дебиту Q).

Для определения давления в точке М проинтегрируем уравнение (17, IX):

Так как в формулы типа (21, IX), (24, IX) входят разности дав­ лений, то под величинами рк и рс мы можем подразумевать и абсо­ лютные и избыточные (над атмосферным) давления. Соответственно с этим под величинами Нк и Нс следует понимать пьезометрические высоты, соответствующие либо абсолютным, либо избыточным стати­ ческому и динамическому давлениям на забое скважины; s — пониже­ ние пьезометрического уровня жидкости в скважине (s = Нк - Нс).

Если скважина насосная и жидкость в ней однородная с весом единицы объема 7 , то под Нк и Нс можно подразумевать фактические высоты динамического и статического уровней над забоем скважины, а под s — фактическое понижение динамического уровня под статиче­ ским.

Однако нефтяные скважины часто бывают обводнены, причем удельный вес минерализованной воды всегда больше удельного веса нефти и различен для различных пластов. Кроме этого, столбы неф­ ти в скважинах бывают газированы. Удельные же веса газированной и обводненной нефти в скважинах трудно определить. Поэтому часто предпочитают в формулах (25, IX) и (26, IX) считать величину 7 соот­ ветствующей химически чистой воде в нормальных условиях, т. е.

В таком случае величины Нк и Нс представляют собой высоты статического и динамического столбов жидкости в скважине, пересчи­ танные на воду.

Для точного определения пьзометрических высот статического и динамического уровней наиболее желательно определить глубинным манометром статическое и динамическое давления на забое скважины; тогда, подставляя величину 7 из уравнения (27, IX) в (25, IX) — (26, IX), легко подсчитать Нк, Яс, а значит, и 5 в сантиметрах водяного столба.

Последний метод одинаково применим для фонтанных, компрессо­ рах и насосных скважин.

Учитывая равенство (26, IX), формулу (21, IX) можно переписать

Используя формулу (28, IX), надо не забывать оговаривать, чему равен вес единицы объема жидкости 7 (как только что было упомянуто, он может отличаться от веса единицы объема жидкости в пластовых условиях), что и определяет физический смысл величин Як, # с,

Перейдем к анализу выведенных формул. Судя по формулам (21, IX) и (28, IX) дебит скважины оказывается прямо пропорциональ­ ным перепаду давления в ней или понижению пьезометрического уров­ ня.

График зависимости дебита сква­ жины от перепада давления (или от по­ нижения пьезометрического уровня) на­ зывается индикаторной диаграммой. Из сказанного ясно, что в рассматривае­ мом случае индикаторной линией будет прямая линия. Такая индикаторная диа­ грамма изображена на рис. 55, на оси абсцисс откладывается дебит скважи­ ны, а на оси ординат — перепад давле­ ния, или понижение пьезометрического уровня; ось ординат удобнее направлять вниз, ибо тогда понижению вдоль оси ординат наглядно соответствует пони­ жение уровня (снижение забойного дав­ ления) в скважине.

Пользуясь обычными в расчетах подземной гидравлики размерностями, т. е. измеряя к в д, р в сантипуазах, b в см, перепад давления Ар в am,

мы из формулы (21, IX) получим дебит скважины в см3/сек (поскольку в эту формулу входит отношение радиусов Дк и i?c, постольку радиусы могут иметь любую, но только одинаковую размерность).

Желая получить дебит в м3/сутки, измеряя мощность пласта в м и сохраняя для остальных величин прежние размерности, перепишем формулу (21, IX) так:

к

/•tig Rc

причем для удобства расчетов в последней формуле совершен переход к десятичным логарифмам.

Пример 1. Допустим, например, что к = 1 д,

р = 1 сп, Ар = 1 am, b = 10 м, RQ = 10 теле, Rc = 10 см

(диаметр скважины приблизительно равен 8 дюймам). Тогда из формулы (21, IX) найдем:

Q = 2 -3,14 -1000-1 1 = 546 см3/сек

1 In 105

скважины. Построенные на рис. 57 по формуле (23, IX) логарифми­ ческие кривые линии АВ и CD изображают пьезометрические линии; параллельно оси z откладываются отрезки, пропорциональные истин­ ному (удобнее избыточному, чем абсолютному) пластовому давлению3. Вращая линии АВ или CD вокруг оси скважины Oz, получим так на­ зываемую «пьезометрическую воронку депрессии». Точки А и С ле­ жат на стенке скважины, так что АС = 2Дс. Линия DEFB определя­ ет положение статического пьезометрического уровня в пласте, а ли­ ния СА — положение пьезометрического динамического уровня жид­ кости в скважине. Величина отрезка СЕ определяет понижение s пье­ зометрического уровня жидкости в скважине [см. формулу (26, IX}]. В условиях рассматриваемого потока пьезометрические (депрессионные) линии АВ и CD отнюдь не касаются линии D EFB , а пересекают ее в точках D и В под некоторым углом. Если бы в каких-либо точках пьезометрических линий касательные были горизонтальны, т. е. гради­ ент давления был бы равен нулю, то отсюда следовало бы, что в этих точках и скорость фильтрации была равна нулю. Однако в рассматри­ ваемых условиях такой случай невозможен, ибо при постоянном деби­ те скважины, при отсутствии инфильтрации в пласт через его кров­ лю и подошву и в предположении несжимаемости жидкости и самого пласта жидкости в любой точке пласта должна двигаться в направле­ нии к скважине; не может существовать никакой ограниченной зоны влияния (или зоны дренирования) скважины, вне которой жидкость якобы остается в покое, а внутри движется к скважине. В упомяну­ тых условиях предположение о существовании ограниченного «радиуса влияния» скважины является логически противоречивым и физически бессмысленным. Влияние скважины должно распространяться на весь пласт — до его естественных границ, т. е. в данном случае до границы области питания. Расстояние DB между точками пересечения пьезо­ метрических линий АВ и CD с линией DEFB равно удвоенному ра­ диусу контура области питания Дк. Пьезометрические линии (сечения пьезометрической воронки) имеют большой уклон около стенки сква­ жины и сильно выполаживаются по мере удаления от нее. На рис. 56 это не столь заметно, ибо Rc для наглядности взято непропорциональ­ но большим. Наличие уклона пьезометрических линий в точках D и В свидетельствует о притоке жидкости из области питания в пласт.

Радиусы Rc и Дк входят во все выведенные выше формулы под знаком логарифма, а потому в рассматриваемых условиях их величины

3Если ось абсцисс поместить на уровне опорной плоскости, то параллельно оси ординат можно откладывать отрезки, пропорциональные приведенному пластовому давлению, т. е. отрезки, пропорциональные или равные напорам в соответствующих точках пласта.

мало влияют на подсчеты дебита скважины, давлений в различных точках пласта и т.д.; об этом более подробно сказано в главе XIV.

Для определения семейства изо­ бар заметим, что, судя по форму­ ле (23, IX), давление одинаково в тех точках плоскости движения, в кото­ рых

Следовательно, уравнение (31, IX) представляет собой уравнение се­ мейства изобар; изобарами служат окружности, концентричные сече­ нию скважины Ас (рис. 58).

Ясно, что и здесь изобары орто­ гональны к траекториям, совпадаю­ щим с радиусами окружностей.

Указанное в § 2 главы VIII пра­ вило построения поля (карты) изо­ бар будет в данном случае выполне­

но, если величины радиусов следующих друг за другом изобар будут изменяться в геометрической профессии. Действительно, при измене­ нии входящей под знаком логарифма в формулу (23, IX) величины г

вгеометрической прогрессии величина давления р будет изменяться

варифметической прогрессии, что и требуется (см. дальше табл. 5). Для вычерченных на рис. 58 изобар отношение радиусов любых

двух соседних окружностей равно 1,5.

Удовлетворяя упомянутому правилу, изобары располагаются тем теснее, чем ближе они к скважине. Зная, что разность давлений меж­ ду двумя любыми соседними изобарами всюду одинакова, мы, глядя на рис. 58, сразу замечаем, что давление быстрее всего изменяется в бли­ жайшей окрестности к скважине. Итак, рис. 58 является правильно построенным гидродинамическим полем плоско-радиального потока.

Понятно, что поверхностями равных приведенных давлений или поверхностями равных напоров будут служить боковые поверхности цилиндров, соосных скважине; окружности на рис. 58 можно рассмат­ ривать как горизонтальные сечения поверхностей равных напоров.

В зависимости от того, на каком уровне проведены горизонтальные сечения цилиндрических поверхностей равных напоров, одни и те же изобары будут характеризовать распределение либо истинных, либо приведенных пластовых давлений.

Допустим, что на расстоянии г от работающей (возмущающей) скважины находится бездействующая (реагирующая) скважина M NT (рис. 57); последнюю скважину можно рассматривать как естествен­ ный пьезометр, облегчающий наблюдения за распределением пласто­ вого давления. С помощью формулы (23, IX) легко определить соот­ ношение между понижениями пьезометрического уровня S H S P B воз­ мущающей и реагирующей скважинах. Действительно, из упомянутой формулы и из формулы (26, IX) следует:

Подчеркнем, что sp = T N — понижение пьезометрического уровня в реагирующей скважине, вызванное отбором жидкости из единствен­ ной возмущающей скважины при тех условиях ее работы, какие были сформулированы в начале данного параграфа.

Для более ясного представления о распределении пластовых дав­ лений рассмотрим числовые примеры.

Пример 2. Пусть RK= 10 км = 106 см, Rc = 10 см. Тогда на осно­ вании формулы (32, IX) можно составить следующую табл. 5, в кото­ рой приведены значения относительного понижения пьезометрических уровней на разных расстояниях от возмущающей скважины (рис. 57).

Та б л и ц а 5

Относительные понижения пьезометрических уровней в пласте на разных расстояниях от возмущающей скважины; таблица рассчитана по формуле (32, IX)

Из табл. 5 видно, что при рассматриваемых условиях на расстоя­ нии 1 м от оси скважины теряется 20% перепада давления (т. е. потеря такая же, как на пути в 9 км от г = 10 км до г = 1 тш); на рассто­ янии 10 м теряется 40% и т.д. Таким образом, действительно, наи­ большие потери давления (а следовательно, и наибольшие градиенты

давления) имеют место вблизи скважины. Из той же таблицы видно,

5р что при изменении радиуса г в 10 раз величина отношения — меняется

в арифметической прогрессии с разностью 0,20.