1464

Гл а в а V

Теоретические формулы, описывающие законы фильтрации жидкости и их обобщение

§ 1. Законы фильтрации через фиктивный грунт

Чтобы применить теорию движения жидкостей по трубам к дви­ жению ее в фиктивном грунте, Слихтер [159] предложил следующий метод перехода от фиктивного грунта к идеальному.

При рассмотрении явления фильтрации в фиктивном грунте нужно заменить действительный поровый канал весьма сложного стро­ ения идеальным цилиндрическим поровым каналом, площадь попереч­ ного сечения которого равна сечению действительного порового канала в самом узком месте его, а длина равна длине ребра основного ромбоэд­ ра (рис. 36). Для определения величины потери напора при движении жидкости в таком цилиндрическом поровом канале можно применить формулу Пуазейля для ламинарного движения вязкой жидкости по трубам

,32pLw

(1, V)

где h — потеря напора на трение;

/1 — абсолютная вязкость жидкости; L — длина трубы;

w — скорость движения жидкости; 7 — удельный вес жидкости;

D —диаметр трубы.

Обозначим через f площадь поперечного сечения трубы и Лр — пе­ репад давления на длине ЛЬ. Тогда

D2

4 /

7Г *

Подставляя это значение D2 в формулу (1, V) и умножая обе части

При выводе этих формул был сделан ряд допущений. В частности, сечения поровых каналов рассматривались как криволинейные тре­ угольники, за площадь этих сечений принималась половина площади проходов и др.

Очень сильное измерение поперечного сечения поровых каналов весьма затрудняло замену их эквивалентными цилиндрическими ка­ налами. Кроме того, как показали более поздние исследования, про­ странственные соотношения в фиктивном грунте гораздо сложнее, чем принимается по этой формуле.

Даже при самой плотной укладке шаров существуют две различ­ ные формы порового пространства вместо одной по Слихтеру. Нельзя исследуя элемент, составленный из 8 шаров, считать, что расположе­ ние всех остальных шаров является таким же. Рассмотрение большей числа шаров, составляющих несколько слоев, показало, что вследстви< различного расположения их изменяется путь прохождения жидкости а, следовательно, изменяется и величина сопротивления, оказываемое фиктивным грунтом фильтрующейся жидкости2.

В свете вышеизложенного неудивительно, что сравнение резуль татов вычислений по формуле (5, V) с экспериментальными данным обнаружило значительные расхождения.

Был предложен и другой способ перехода от фиктивного rpyi та к идеальному (см. Лейбензон [107]). По этому способу фиктивны грунт заменяется идеальным с таким расчетом, чтобы были одинак вы объемы поровых пространств и поверхности поровых каналов. П тем применения к подобранным таким образом идеальным поровь каналам формулы Пуазейля был получен закон фильтрации жидк сти, приводимый к виду:

2Изложение последних результатов см. в книге В. Зигель [61).

На основании гипотезы о том, что главное влияние на скорость фильтрации оказывает величина удельной поверхности, т.е. суммар­ ная величина S поверхности частиц, заключенных в единице объема фиктивного грунта, ибо на этой поверхности происходит трение жид­ кости о грунт, был получен закон фильтрации жидкости в виде:

Величина суммарной поверхности песчинок, заключенных в еди­ нице объема пористой среды, как было показано в § 1 главы IV, состав­ ляет:

с 3(1 — т) 6(1 —т)

=? = d

После внесения этого значения S в уравнение (8, V) была получена формула:

cPmF Др

(9.V)

2(1 —т)2(л L

К.Терцаги в известном труде «Механика грунтов» [166], рассмат­ ривая фильтрацию как протекание жидкости через ряд поставленных параллельно друг другу сит, получил следующий закон фильтрации:

Коэффициент С зависит от состояния поверхности песчинок. Для песка с гладкой поверхностью песчинок С = 10,5, при угловатой поверхности песчинок С = 6, 0.

Можно было бы увеличить перечень полученных различными ав­ торами формул, описывающих закон фильтрации жидкости. Вывод большинства из них дается в книгах акад. Л. С. Лейбензона [100] и [107], к которым мы отсылали интересующегося читателя.

Формулы (5, V), (6, V), (7, V) и (9, V) описывают фильтрацию в фиктивном грунте. Для применения их к движению жидкостей в ре­ альной пористой среде следует вместо диаметра частиц d подставить эффективный диаметр частиц d'э .

7 Подземная гидравлика

§ 2. Обобщенное выражение различных теоретических формул, описывающих закон

фильтрации

Обилие формул, описывающих законы движения жидкостей и газов в пористой среде, приводит некоторых авторов к весьма пессими­ стической оценке возможностей «Подземной гидравлики». Так, напри­ мер, указывается [53], что «в этих формулах особенно большие затруд­ нения вызывает определение различного рода коэффициентов и пара­ метров, характеризующих условия и закономерности движения жид­ костей и газов в пористой среде. По мере углубления наших знаний и стремлений приблизиться к действительным условиям, имеющим ме­ сто в пластах, полученные соотношения усложняются, а количество по­ являющихся параметров увеличивается».

Однако более глубокое рассмотрение всех формул показывает, что все они по существу одинаковы.

Обозначим

Л. С. Лейбензоном и названа им числом Слихтпера1.

При фильтрации жидкости в реальном грунте число S1 является функцией не только пористости, но и зависит от структуры порового пространства, определяющейся формой частиц и степенью шерохова­

где £ — некоторый параметр, характеризующий структуру порового пространства пласта.

Разделив в формулах Терцаги и других величину расхода Q на площадь F, сквозь которую происходит фильтрация, получим фор­ мулы, описывающие скорость фильтрации жидкостей. В этих фор­ мулах через ЛЬ обозначим длину элемента пористой среды, на кото­ рой падение давления при фильтрации жидкости составляет величи­ ну Лр и вместо диаметра d частиц фиктивного грунта введем эффек­ тивный диаметр dэ.

1 Более справедливым было бы назвать число S1 числом Лейбензона.