Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfпричём, как и в уравнениях (5.35), (5.40), оператор, стоящий в круглых скобках правой части, относится к множителю, стоящему
справа от |
него. |
|
|
|
|
|
Условие совместности деформаций (5.34) на основании |
(5.29) |
|||||
принимает |
вид: |
|
|
|
|
|
|
V i F — |
“2 ( a j / 5 “Ь дх * |
— 3 д х д у Х |
у ) |
(5.44) |
|
где функция напряжений F определена согласно формулам |
(5.38). |
|||||
Величина |
С, равная отношению |
толщины |
Лпл |
пластического слоя |
||
к толщине |
пластинки, входит в уравнения |
(5.43) и (5.44), поэтому |
||||
они оказываются |
совместными; |
эта величина |
выражается |
форму |
лой (5.27), причём функция <р, если воспользоваться обозначением (5.39), равна:
Ч— Ъ Г - |
( 5-45) |
Уравнения (5.43), (5.44) совпадают с соответствующими |
уравне |
ниями (5.35) и (5.40) на границе чисто пластической и упруго-пла
стической областей. |
В самом деле, на |
этой границе, |
кроме |
непрерыв |
ности величин сил |
8 Tv, 8SV, моментов |
8M v, ЬНн (где |
ЬН\ |
есть при |
ведённый крутящий момент согласно граничным условиям Кирхгофа),
прогиба w и наклона касательной |
плоскости, должно |
иметь |
место |
ещё условие |
|
|
|
АПЛ = А, |
С = 1. |
|
(5.46) |
Из (5.27) при этом условии имеем <р = — Хи t = — ^ |
%fl, |
после |
чего отмеченное совпадение уравнений нетрудно доказать. Гранич ными условиями для уравнений (5.43), (5.44) на части контура упруго-пластической области, совпадающей с контуром пластинки, являются обычное требование 8Г, = 85, = 0, а также два условия, налагаемые на прогиб w.
Условие (5.46) или
|
|
|
t = |
- V - £ )%h |
|
(5.47) |
|
представляет |
собой |
уравнение |
границы |
между чисто |
пластической |
||
и упруго-пластической областями. |
|
|
|
||||
Возможность возникновения наряду с упруго-пластической также |
|||||||
чисто пластической |
области |
вытекает |
из |
того, что |
величина С, |
||
согласно (5.27) и |
(5.45), |
может принимать |
значения, |
не лежащие |
|||
в интервале |
|
Ниже приводятся некоторые примеры точных |
|||||
решений задач устойчивости пластинок и, |
в частности, задачи о сжа |
||||||
тии свободно |
опёртой по |
двум |
сторонам |
пластинки; края пластинки |
вблизи свободных опор после потери устойчивости остаются в чирто пластическом состоянии.
Рассмотрим примеры точных решений |
задачи устойчивости |
пласти |
||||
нок. Интегрирование системы |
дифференциальных уравнений |
(5.43) |
||||
и (5.44) |
в |
упруго-пластической области и (5.35), |
(5.40) в пласти |
|||
ческой |
при |
неопределённой |
границе |
между ними, |
определяемой |
соотношением (5.46), связано со значительными математическими труд
ностями. |
Как было |
указано выше, |
задача |
устойчивости |
упрощается, |
||||
когда вариация сил, |
лежащих |
в серединной плоскости, |
всюду |
равна |
|||||
нулю. В этом случае относительная толщина |
пластического |
слоя С |
|||||||
оказывается известной функцией координат, так |
как, |
согласно |
(5.26), |
||||||
(р = 0 и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С = | ( 1 |
- / Г |
= Т |
) . |
|
|
|
(5.48) |
Если ещё напряжённое состояние пластинки |
перед |
потерей |
устой |
||||||
чивости является однородным, величина С будет |
постоянной, так как |
||||||||
в (5.29) |
^ будет |
одинаково |
для |
всей |
пластинки. Приближённым |
решением задачи устойчивости мы называли такое, при котором
вариации сил 87\, 8Г2, 85 тождественно равны |
нулю. При |
этом |
|
удовлетворяются уравнения равновесия (5.33) |
и |
граничные |
усло |
вия (5.42), но, за исключением частных случаев, |
не удовлетворяется |
условие совместности (2.34). Исключительная простота такого реше
ния |
объясняется |
тем, |
что |
в |
основном |
уравнении (5.43) |
величина С |
|||||||
известна |
и |
выражается формулой |
(5.48), вследствие чего |
это |
урав |
|||||||||
нение становится линейным с постоянными или переменными |
коэф |
|||||||||||||
фициентами. |
В |
развёрнутом |
виде |
оно |
очень напоминает уравнение |
|||||||||
упругой устойчивости |
анизотропных |
пластинок. |
|
|
||||||||||
Точные решения системы (5.43), (5.44) представляют несомнен |
||||||||||||||
ный |
самостоятельный |
интерес, |
но |
для |
нас |
они существенны ещё |
||||||||
и потому, |
что |
позволяют |
оценить |
степень |
точности приближённых |
|||||||||
решений. Мы укажем некоторый класс точных решений |
задачи |
|||||||||||||
устойчивости для равномерно сжатых |
пластинок произвольной |
формы |
||||||||||||
и решения для прямоугольных пластинок в тех случаях, |
когда |
|||||||||||||
возможна цилиндрическая форма потери устойчивости. |
|
|
||||||||||||
|
1. Устойчивость равномерно сжатых пластинок произвольной |
|||||||||||||
формы в |
плане |
(рис. |
92). |
В |
этом случае |
напряжённое состояние |
пластинок перед потерей устойчивости является однородным и опре деляется формулами:
X a,= Yy = - o i9 Ху = 0, |
(5.49) |
где о*— сжимающее напряжение по контуру и одновременно интен сивность напряжений в любой точке пластинки. Приведённые напря жения, согласно (5.10) и (5.1), будут:
(5,50)
Величины х и t согласно (5.36) и (5.39) имеют выражения:
х = |
—V2te>, |
/ = — l v 2F. |
(5.51) |
Уравнение (5.44) принимает вид: |
|
|
|
|
V9(<— ^•С ах) = °. |
(552) |
|
Опуская гармоническую |
функцию, получаемкласс точных |
решений: |
|
|
*= |
СЧ |
(5.53) |
вследствие чего величина <р (5.45) выражается через С, и |
из (5.27) |
||
находим: |
|
|
|
|
|
• |
<5 И > |
Основное дифференциальное уравнение устойчивости (5.43) теперь
становится линейным с постоянными коэффициентами |
и имеет |
простой |
вид: |
|
|
[ l — 7 C a ( 3 - 2 C ) ] v <® + ^ V2w = |
0. |
(5.55) |
Его решение хорошо изучено для различных видов контура и раз личных граничных условий, хотя бы в связи с изучением упругой устойчивости равномерно сжатых пластин. Значение С (5.54) мало отличается от приближённого (5.48) и характеризует степень откло нения точных решений от приближённых. В общем случае (5.52) имеем
^ ^ ( х Р + Г Д |
(5.56) |
г д е 1 \— произвольная гармоническая функция. Для сплошной круглой пластинки, например, Гх — постоянная величина. Согласно (5.45) и (5.27) теперь получаем выражение С через х:
< = |
l - l + W ) ' |
<5'57) |
после чего уравнение (5.43), имеющее в данном случае вид:
V2 [ l - | c 2( 3 - 2 C ) ] x + ^ x = 0, |
(5.58) |
содержит уже одну только искомую функцию х. Учитывая соотно шения (5.51), его можно ещё раз проинтегрировать:
где Г2— новая гармоническая функция для сплошной круглой пла: стинки, представляющая собой также постоянную величину, поскольку в центре прогиб w и Va<o/ должны быть конечны. Учитывая (5.57), уравнение (5.59) может быть разрешено относительно V2®/, после чего задача сводится к интегрированию только одного линейного относительно производных дифференциального уравнения второго порядка (для круглых пластинок):
V2w = Ф (w, Г1э Га).
Функция напряжений F определяется теперь согласно (5.56) и (5.51) дифференциальным уравнением Пуассона:
V * F = — (хСа -f- Г\). |
(5.60) |
Как видим, задача устойчивости для круглых пластинок сравнительно просто может быть решена до конца. Детали подобного расчёта будут выяснены ниже на примере прямоугольной пластинки, сжатой в одном
направлении.
2. Устойчивость пря |
|||
моугольной |
пластинки |
||
при условии |
плоской де |
||
формации (рис. 93). Та |
|||
кой |
случай |
имеет |
место, |
если |
прямоугольная пла |
||
стинка ширины / сжимает* |
|||
ся в |
направлении |
оси х , |
|
причём перемещения краёв |
|||
её в направлении |
оси у |
||
исключены вследствие на |
|||
личия ограничивающих стенок, расположенных |
в плоскостях у = 0 |
||
и у — Ъ. Плоскость х = 0, изображённая на |
рис. 93, |
будет, оче |
видно, плоскостью симметрии деформаций. Форма потери устой чивости предполагается цилиндрической. В таком случае по условию
задачи |
имеем |
напряжения |
перед потерей устойчивости: |
||||||
|
* с = — р, |
у |
-- у |
|
Ху = о, |
= |
|
||
|
|
У — 2 Л х * |
|
(5.61) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ii |
Y = - - L = , s х ^ - — у S „ = 0. |
||||||
|
|
|
у |
Y |
з |
* |
2 |
v |
|
После |
потери |
устойчивости: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ip = |
w ( х \ |
|
е3 — е3— 0. |
|
|
Из |
уравнений |
(5.30) имеем: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
85 = |
0, |
8Га= - 1 8 Г 1. |
|
|
|
Так |
как, |
согласно |
уравнениям |
равновесия, |
87^ = const, а |
87\ = 0 |
|||
из |
условия на |
краю |
лг = -^ , |
то |
мы имеем случай, |
когда |
87\ = |
||
= 8 fg = |
8S = |
0. Приближённое |
решение, |
отмеченное |
выше, |
в дан |
ном случае, следовательно, является точным. Относительная толщина
пластического слоя С |
постоянна и |
определяется формулой (5.48). |
||
Уравнение устойчивости (5.43) принимает вид: |
|
|||
d*w . |
hp |
d?w__п |
(5.62) |
|
dx* |
D [1 —X£a(3 —2C>] d x * ~ |
|||
|
Если ввести в рассмотрение относительный модуль Кармана, обоб щённое выражение которого есть
_______ 4________dcj |
4(1 — X) |
(.5.63) |
|
|
то из (5.48) получим: |
|
|
4(1 - У Т ) |
(5.64) |
|
(2 - У Т )* ’ |
||
|
после чего можем упростить выражение параметра в уравнении (5.62):
|
з __ |
hp |
__hp |
|
(5.65) |
||
|
7 |
~ |
D [ l — хс*(3 — 2 С)1 |
— Dk' |
|||
|
|
||||||
Так как |
до предела |
упругости |
k = 1, а |
на |
площадке текучести |
||
материала |
k — О и так |
как характеристические |
значения параметра ^ |
в упругой и пластической задачах одинаковы, то из (5.65) вытекает, что критическое напряжение, соответствующее площадке текучести, равно нулю.
Интересно отметить, что задача Кармана может рассматриваться как предельный случай устойчивости сжатой в одном направлении прямоугольной пластинки, размер Ь которой весьма мал, причём параметр т будет иметь выражение
-2 _ МР_ 7 — 3*0 ’
и, следовательно, на площадке текучести материала критическое напряжение будет равно нулю. Как видно из предыдущего и сле дующих примеров точных решений, полная потеря несущей способ ности пластинок, получающаяся в задаче Кармана, вообще говоря, не имеет места,
3. Устойчивость прямоугольной пластинки, сжатой в одном на правлении (рис. 93). Буден рассматривать цилиндрические формы потери устойчивости прямоугольной пластинки, достаточно длинной в напра
влении оси у, |
предполагая, |
что сжимающее напряжение |
приложено |
||||||||||||||
только вдоль оси х. В этом случае: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Х » = - ° 'и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.66) |
|||
|
s x = |
- 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По условию задачи, всякое поперечное |
сечение пластинки |
плоскостью |
|||||||||||||||
у = const |
после |
потери устойчивости остаётся плоским, и потому |
|||||||||||||||
имеем: |
|
|
|
|
е8 = |
|
|
е9 = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0, |
const, |
|
|
|
(5.67) |
||||||
на |
основании |
чего из (5.30) получаем |
85 = 0. |
Кроме того, |
из гра |
||||||||||||
ничного условия |
87^ = |
0 на |
краях |
х — — |
I |
и, |
следовательно, из |
||||||||||
уравнения (5.33) следует, что |
87\ = |
0 повсюду.-Так как |
никаких |
||||||||||||||
сил |
вдоль |
оси у |
не приложено, |
то |
должно |
выполняться условие |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.68) |
Из |
второго уравнения |
системы |
(5.44) имеем: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
<PF |
8 7 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.69) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так |
как |
х = |
— хг |
Нетрудно |
|
убедиться, |
что |
(5.69) есть |
интеграл |
||||||||
уравнения |
(5.44). |
Функция 9, |
с |
помощью |
которой согласно |
(5.27) |
|||||||||||
определяется величина С, в данном случае имеет вид: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
<Р== — (1— l)EhHt e |
|
— (1 — X) А*! + |
4 (1 — X) |
|
( 5,7°) |
||||||||||
Изгибающий момент в произвольном сечении равен: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
8Л*1 = |
— D [ 1 — | - хса(3 — г с )^ !, |
|
|
|
(5.71) |
||||||||
и потому |
граничные |
условия |
на сторонах х = |
d r |
— I суть |
xj = 0 . |
|||||||||||
Из формулы (5.70) |
ясно, что |
|
|
не может равняться нулю в упруго |
|||||||||||||
пластической |
области, |
так как |
|
е9 ф 0 |
(последнее |
вытекает |
из |
того, |
|||||||||
что |
величина |
|
|
знакопостоянна, |
а |
именно — положительна |
вдоль |
||||||||||
всей пластинки, поэтому условие (3.68) требует е3 ф |
0). Таким образом |
В чисто пластической области, согласно полученным выше резуль татам и (5.66), имеем для силы 8Г2 и для момента 8Л4Х выражения:
ХГ2__4(1 —X)
(5.80)
Eh 4 —ЗХ ’
Основное дифференциальное уравнение становится таким:
|
V-2 |
= |
0. |
(5.81) |
|
" г 4 —ЗХ |
|||
|
|
|
|
|
Решение |
последнего уравнения, удовлетворяющее |
условию х1 = 0 |
||
на конце |
С = 1, запишем в виде: |
|
|
|
|
*1 — е2сз sin |
|
» |
(5-82) |
причём, вследствие симметрии прогиба относительно |
плоскости л: = 0, |
в дальнейшем будем рассматривать лишь правую половину пластинки
(лг>^0). Для определения пяти неопределённых постоянных, а |
именно |
||||||
трёх |
произвольных постоянных |
интегрирования |
сх~ с2, с39 коорди |
||||
наты |
границы областей а |
и критического числа |
jx мы можем, |
кроме |
|||
уравнения (5.68), написать ещё четыре условия: |
|
|
|||||
условие |
симметрии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? = 0, |
| = |
0; |
|
(5.83) |
условие |
наличия границы |
областей: |
|
|
|
||
|
|
|
Е= а, |
С = |
1. |
|
(5.84) |
Два условия непрерывности: момента и перерезывающей силы, которые
согласно (5.72) и (5.82) |
принимают вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
- s i n ^ O — « ) _ |
|
4 |
■ |
|
|
|
|
|||
|
C3SU1y 4= 3 r — |
й(4 -З Х ) |
’ |
|
|
|
|
||||
|
гпч |
Iх (1 |
а) _ |
AF (1) ( di \ |
|
|
(5.85) |
||||
|
У4 —ЗХ |
у 4 — ЗХ— |
ЙР* |
\<п)а |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
Постоянная |
е2 несущественна |
и в |
указанные |
|
условия |
не входит, |
|||||
поскольку |
от неё не зависят |
отношения |
|
ьт |
и |
% |
Выполняя |
пе- |
|||
— |
— |
||||||||||
речисленные условия и вводя |
|
|
|
Ч |
|
е2 |
|
|
|
||
новую неизвестную CQ— относительную |
|||||||||||
толщину пластического слоя в сечении |
л: = |
0, |
получим |
для вели |
|||||||
чин 1 — а |
(относительной длины чисто |
пластического |
участка) |
и ц |
|||||||
следующие формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш |
1 — а |
|
(4 — 3l)L |
|
(5.86) |
|||||
|
|
|
|
Ш |
|
|
|||||
|
( 1 - Х ) У 7 ’ |
|
|
|
|
|
|
где |
L и М суть |
интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Я (Со) |
Y R ( Z о>—ЖО |
|
Я |
(Со) |
|
|
|
|
|
|
L |
- |
Г |
М = |
f |
J |
J |
" , |
(5.87) |
||
|
|
|
J |
|
|
J |
/Л(С«)-Л(С) |
' |
|||
|
|
В(1) |
|
|
й(1) |
|
|
|
|
||
причём величина |
Со определяется соотношением: |
|
|
|
|||||||
|
|
сtg2 ( о - 4а7 Y2 ^ ) = |
2 (4 ~ |
ЗХИЖ Со) - |
Я (1)] • |
(5-88) |
|||||
Как |
уже |
установлено, величина |
1 — а |
положительна, |
поэтому |
инте |
|||||
грал |
L должен быть положителен, а для этого необходимо 1 — 2С04 - |
||||||||||
+ ^ 0 > ° > |
Т- |
е - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с 0< т ( |
1 - / 1 - ^ ) - |
|
|
|
(5.89) |
Учитывая оценку (5.83), справедливую и для CQ, в и д и м , ч то эта величина заключена в узких пределах и близка к приближённому значению (5.48). Отсюда вытекает, что и критическая сила будет мало отличаться от приближённого её значения.
§ 37. Приближённое решение задачи устойчивости пластинок.
Тимошенко 141, Блейх1б1, Геккелер 161 и другие авторы предло жили приближённый приём решения задач об устойчивости пласти нок и оболочек за пределом упругости, основанный на допущениях, которые мы рассмотрим применительно к частной задаче устойчи вости прямоугольной пластинки, сжатой в одном направлении равно мерным давлением интенсивности Р . В пределах упругости эта задача
приводится к |
интегрированию |
известного |
уравнения |
Брайана: |
||||||||
|
|
" ( £ ? |
+ * |
j J |
& |
+ |
£ ) + ' S |
- |
* |
|
(5.90) |
|
Поскольку сжатие происходит в направлении |
оси |
х , и |
поскольку |
|||||||||
при |
сжатии |
стержня |
в направлении |
оси х прогиб его за |
пределами |
|||||||
упругости удовлетворяет |
уравнению |
Кармана П1: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
п ь |
d*w |
, |
р |
d*w |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dk Ч * + Р ~ ш ~ 0’ |
|
|
|
|
|||||
где |
k — отношение |
модуля Кармана к |
модулю |
Юнга, |
в уравне |
ние (5.90) вносят поправку, умножая первое слагаемое в круглых скобках на k\ поскольку в направлении оси у сила не действует,
т. е. материал пластинки как бы остаётся упругим, слагаемое