Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfИзложенное выше решение задачи устойчивости стержня за пре делом . упругости, по существу, принадлежит Энгессеру ДО и Кар ману ДО. Последний провёл также большое экспериментальное иссле дование устойчивости стержней за пределом упругости и обнаружил хорошее подтверждение данной выше теории. В частности, для мате риалов, имеющих ярко выраженную площадку текучести на диа грамме — elf им в хорошем согласии с формулами (3.17), (3.18) обнаружена полная потеря устойчивости даже весьма коротких стоек.
§ 19. Кручение стержня круглого сечения1)-
Решение задачи об упруго-пластическом кручении вала круглого поперечного сечения (рис. 47) можно найти, предполагая, что пло ские поперечные сечения не искажаются и остаются плоскими, т. е, перемещения выразить фор мулами:
и— — и0sin I
v= u0cos 0,
(3.19)
w = 0,
ив = |
~rz, |
|
|
где z — крутка (угол закру- |
|||
чиванйя на |
единицу длины) |
||
равна; |
|
|
|
„ __ д(1>г |
__ |
|
|
дг |
~ |
|
|
|
_1_ _д_ f dv |
ди \ |
|
|
2 |
д* |
Н у) ' |
Поскольку |
решение |
задачи |
|
мы ищем |
в |
перемещениях, |
|
необходимо |
удовлетворить только уравнениям равновесия (2.44) и |
||
граничным условиям (2.45). Согласно (3.19), все компоненты дефор
маций будут равны нулю |
кроме |
двух: |
e** = -§F + | |
j : = ~ |
t r s i n 6 , V = Tr cos6’ |
которые эквивалентны простому сдвигу в направлении перемещения щ
е 8г = еуг C O S 6 ------eaz S i n . 0 = Т Г . ( 3 . 2 0 )
Таким образом из (2.3) следует, что и все компоненты напряжений равны нулю, за исключением одного касательного напряжения
*) Решение задачи о кручении стержней некругового сечения дано Надаи в книге «Пластичность*.
которое направлено по окружности радиуса г. Связь между Sie и евв найдем из закона (2.6) о< = Ф (е{). Интенсивности напряжений и де формаций равны:
а< = |
^ |
^ |
6'& = |
5вг1/'3, |
|
|
|
. |
V2 |
л/ |
З |
а |
е9з |
ТГ |
(3.21) |
е* ~ |
3 |
V |
2 |
е®3 |
у $ |
У з |
|
at = 3Ge{ [1— m(e,)J.
Уравнения равновесия (2.44) при этом удовлетворяются тождественно и, поскольку касательное напряжение S0* направлено по окружности, на боковой поверхности оно также удовлетворяет условию отсутствия внешних сил. Напряжение Se* теперь может быть найдено по диа грамме <3{-е{, если только крутка т задана. Задача сводится к опре делению зависимости крутки т от крутящего момента М. Для этого выразим М через момент касательных напряжений:
а
М = J27ГГ2
|
|
|
о |
|
|
|
или на основании |
(3.21): |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6п |
V3 |
, |
(3.22) |
|
М |
= |
г а |
|||
|
|
J |
det. |
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
Если кривая |
задана |
графически, |
то |
графически же можно |
||
вычислить и интеграл |
(3.22) и таким образом получить связь между М |
|
и т. Если воспользоваться функцией а>, то формула |
(3.22) примет |
|
вид: |
т«0 |
|
|
|
|
|
/ ! * • * „ |
(3.22') |
где 1р — полярный момент инерции сечения, Ip = - j-» |
а е3— предел |
|
текучести на диаграмме ot-et. |
|
|
Если зависимость |
о(-е{ принять в виде ломаной, |
то, согласно |
(2 .11), получим: |
|
|
т
причём Sp — статический момент площади поперечного сечения:
|
|
|
|
|
2im8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sp — ■ 3 |
’ |
|
|
|
|
а |
г8— радиус упругой области при кручении. Если материал стержня |
||||||||
в |
области пластических деформаций не обладает упрочнением (Х = 1), |
||||||||
то |
связь |
между |
крутящим |
моментом |
и |
круткой |
упрощается |
||
(a, = 3Gee): |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
М |
|
2x8 |
|
|
(3.22"') |
Величина момента: |
|
У з |
|
|
|
||||
м |
__°» |
|
|
2на8 |
|
|
|||
|
|
|
s p = |
|
(3.23) |
||||
получается |
при т = |
оо |
и называется |
несущей |
способностью вала на |
||||
кручение. |
Практически |
она достигается при величине |
крутки т8^ > |
||||||
|
, |
т. е. уже |
при очень |
небольших |
углах закручивания. |
||||
Остаточная крутка, согласно теореме о разгрузке, будет
|
М |
w— |
GIP' |
Распределение напряжений |
по радиусу изображено во втором |
квадранте (рис. 47); в третьем изображено распределение остаточных напряжений:
2 ег = Я - т - л
Формула (3.22) позволяет на основании опыта на кручение сплош ного стержня круглого сечения строить диаграмму зависимости а{-е+ материала стержня. В самом деле, пусть на основании опыта построен график зависимости крутящего момента М от крутки т. Из него можно построить зависимость т8Л4 (т), от т после чего, согласно (3.22), получаем:
|
2_ |
У з d |
(т8Л4). |
|
(3.24) |
|
|
6па dx |
|
||
Здесь о< и et относятся к наружному |
волокну, для которого |
||||
|
|
У з |
|
|
|
Следовательно, |
в результате |
графического дифференцирования по т |
|||
функции т8Л1, умножая её на |
1f 3 |
|
2 |
мы получим |
|
и деля на |
*<=»— |
||||
зависимость о< |
от т, а значит, |
и от |
|
|
|
|
|
ах |
|
|
|
*‘ “ 7 Г
§ 20. Деформация полого шара под действием |
|
||||
|
внутреннего |
и наружного давления. |
|
||
Полый |
шар наружного |
радиуса Ь и внутреннего а находится под |
|||
действием |
на^ж ного |
р ъ и |
внутреннего |
ра равномерного |
давления |
(рис. 48). |
Главными |
осями |
напряжений |
и деформаций, по |
условию |
симметрии, будет направление центрального радиуса г и два любых,
перпендикулярных к нему направления на сфере |
г = |
const. Послед |
|
ним двум направлениям придадим индексы «1», |
«2 », |
а |
радиальному |
направлению |
индекс |
«3». Тогда |
|
радиальные напряжения и дефор мации можно обозначить о5 и eQ, а тангенциальные соответственно
|
|
|
|
|
|
а2 = о1 |
и е2 = |
е1. Радиальное |
пе |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ремещение точки А на сфере ра |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
диуса г обозначим w(r), танген |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
циальное |
её |
перемещение |
будет |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
равно нулю вследствие симметрии. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Формулы |
Коши в данном |
|
случае |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
дают |
следующие |
выражения |
для |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
деформаций |
|
в точке |
А: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
е3= |
dw |
|
|
|
|
|
|
w |
у |
/Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-jp > |
|
е2 — ei — ~ |
(3.25) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
и потому |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 — Зе — 2е1-J- £3, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ei = |
2 |
|
|
|
*») si£n w - |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
"3 (*i “ |
(3 -26) |
|||||||||||
Постоянная |
величина |
sign w |
есть единица |
со |
|
знаком |
величины |
w, |
|||||||||||
т. |
е. |
|
|
|
|
w |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
причём знак |
её совпадает со |
знаком |
разности |
|
(et— е3), |
и |
потому |
е{, |
|||||||||||
согласно |
(3.26), действительно |
положительная |
|
величина. |
За |
незави |
|||||||||||||
симые величины напряжений возьмём теперь |
|
ot |
и |
Oj = |
оа; |
|
имеем, |
||||||||||||
очевидно, |
|
°< — (®i — 0$) sten w» |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.27) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
так |
как |
знак разности |
о1— о„, |
согласно |
(2.3), |
совпадает |
со |
|
знаком |
||||||||||
ех— е3, |
т. е. с sign да. Таким |
образом получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
03 = |
0! — о, sign да, |
) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
5 = y ( o i + o9 -}-o8) = |
oI — y o ^ i g n w . |
| |
|
|
|
(3.28) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Поскольку, согласно (2.1) и (2.6),
о =КЪ, а( — Ф (е{),
то, согласно (3.28), все три напряжения: = оа, о3 являются функ циями одного только перемещения w, и потому для решения задачи необходимо составить только одно уравнение равновесия и соблюсти граничные условия при г = а и г = Ь. Но мы дадим другое решение.
Уравнения равновесия (2.44) в данной задаче сводятся только к одному, получающемуся из проектирования всех напряжений, дей ствующих на элемент, на направление радиуса. Оно имеет вид:
|
|
|
|
(3 .29') |
На основании тождества |
|
|
|
|
|
38 = |
03 — |
°1 + °1 |
|
и пользуясь (3.27), |
перепишем его |
в |
виде: |
|
|
|
|
|
(3.29) |
Мы дадим решение |
задачи в |
напряжениях, и потому к уравнению |
||
(3.29) необходимо |
добавить |
условие |
совместности деформаций типа |
|
(2.46), выраженное через напряжения. Для получения его отметим тождество:
и |
напишем закон Гука для объёмных деформаций a = |
f(Q) принимая |
||
во |
внимание выражение |
о через Oj и о< (3.28): |
|
|
|
1 |
w |
3 |
(3.30) |
|
— *у |
Sign W = ZK-J |
— у K ei sign w. |
|
Дифференцируй последнее равенство по г и замечая, что
получаем:
(3.31)
Исключая |
из уравнений (3.31) и (3.29), получаем: |
Но |
это |
уравнение |
имеет интегрирующий множитель; умножая его |
на |
г3 и |
интегрируя, |
получим: |
<з -з2>
Произвольная постоянная с может быть выражена через размер сферы,
давление и |
перемещение |
поверхности. |
Для |
этого вычтем из |
обеих |
|||||||
|
|
|
|
2 |
о4 sign w |
и, учитывая (3.28) и |
(3.32), |
пе |
||||
частей равенства (3.30)у |
||||||||||||
репишем его |
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
— ?а+ |
ЗАГ-у = |
3- |
sign w. |
|
|
|
(а) |
||
При |
г = а |
давление |
задано равным |
о3 = — /?9; |
тоже |
при |
г = |
6, |
||||
о3 = |
— рь; поэтому |
из |
(а) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с — Т Г |
{Ра+ |
ЪК^ f ) sign w = § b8(/>ь + |
3 |
-1 Г-) sis n |
(3 • 33) |
||||||
|
|
|
|
|
«L |
|
|
|
|
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
К(ЬЧиь— a2wa) = cfipa— b*pb. |
|
(3.34) |
|||||||
Последнее равенство, впрочем, может быть просто выведено из ин
тегрирования по объёму тела формулы |
о = # 0, если принять во вни |
|||||
мание, что на |
основании (3.29'), (3.25) и (3.26): |
|
||||
|
|
3ог8 |
4? (г8°в)’ |
г Ч = |
|
|
Соотношение |
(3.32) вместе с законом |
|
|
|||
|
|
|
о< = |
Ф (е{) |
|
(б) |
позволяет |
выразить о{ и е{ через -£■. В |
самом деле, имеем уравнение |
||||
для е,: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (*<) ~\~ |
Ке( — -^з > |
|
||
и потому |
(б) определяет |
а{. Уравнение |
равновесия (3.29) |
мы можем |
||
переписать |
в |
виде: |
|
|
|
|
ипроинтегрировать: |
г* dr |
|
siSn w |
|
||
|
|
|
(г) |
|||
|
|
°1 =(°<+2Jг -^+c1)si'TnW. |
||||
|
|
|
я |
|
|
|
На основании (3.28) |
теперь находим: |
|
|
||
|
о8 = (2 J |
+ |
с,) sign w. |
(Д) |
|
|
|
а |
|
|
|
При г = |
а имеем о8= — ра, и потому: |
|
|||
|
|
° з+ Р в = |
2JГ —signw. |
(3.35) |
|
|
|
|
а |
|
|
Полагая |
ещё г = Ь, |
о8 = — рь, |
получаем: |
|
|
|
|
Pa— pb — 2 j -— |
slgaw. |
(3.36) |
|
Это уравнение определяет постоянную с, которая на основании (б)
и (в) входит в выражение а{ = о{ , и потому задача может счи
таться решённой. Напряжение а3 при любом г определяется по фор
муле |
(3.35), a |
o1 = ot — по |
формуле |
(3.28). Как следует из (3.36), |
|
знак |
величины |
w совпадает |
со |
знаком |
разности ра— р ь: |
|
|
sign w = |
sign (ра— р ь). |
||
Для определения радиального перемещения различных точек тела воспользуемся формулой (а):
ю |
9ICra |
|
(3.37) |
|
|
|
|
В частности, перемещение юа внутренней поверхности (г = |
д) нахо |
||
дим по формуле: |
|
|
|
|
3Jfo3wa = |
с sign to— расР. |
(3.38) |
Рассмотрим сначала случай чисто упругой деформации, причём всем искомым величинам в этом случае припишем штрих наверху. Уравнение (б) имеет при этом вид:
о< = ЗОе<, |
(б') |
поэтому из формулы (в) находим:
Значение постоянной |
с' находим из соотношения |
(3.36): |
||
|
|
з (о + ^ к )(Р а -Р ь )^ Ь 3 |
(3.36') |
|
с |
------1------ Z— L.------,---------- С |
|
||
= |
2G(63—а3) |
sign w, |
||
|
|
|
|
|
и потому распределение упругих напряжений, согласно (3.35) и (3.28)^ определяется формулами Ляме:
< _ _ f c + W ( . + * ) | * - ' >
Если давление внутри и снаружи шара снято, то возникающие в нём остаточные напряжения определяются разностями
0 1 = O j ------ O j , |
Од ----- Од ------ Од , |
|
|
и остаточное перемещение внутренней поверхности будет |
|
||
г** |
2 |
|
(3.38') |
3Ka?wa = |
-jj (с — с') sign w. |
||
Рассмотрим теперь случай, когда полый шар, материал которого удовлетворяет соотношению (2. 11), целиком переходит в пластическое состояние. Во всей его толще закон (б) будет выражаться так:
о, = 3G [(1 — X) et + Х<у, |
(б") |
и согласно (в) находим:
0 |
(1 -X ) |
(3.39) |
|
= — - |
— |
т ~ - ^ + |
|
0 (1 — X) + |
Af |
G(l-X ) + i.*- |
|
Постоянная с, согласно (3.36), теперь приобретает следующее выра жение :
3 [ G (1 — X ) - Н Д Г ] (ра - р ь)аЧ3
2G (1 — X) (А* — а3) |
sign w — |
|
QkKogcPIfl |
||
|
||
|
' 40 (1 — X)(*s—a3) ,n Т ■ (3•40) |
Дальнейшее определение напряжений не представляет!никакого труда. Найдём одно только перемещение wa, т. е. увеличение внутреннего радиуса шара. Из (3.38) и (3.40) имеем:
4G(l — X)(J® —а8) \? а р ъ 2Хоя1п —signw j -f- |
|
||
(°гРа— ьвРь) а |
|
(3.41) |
|
3К(Ь3— а3) |
• |
||
|
|||
Для того чтобы вся толща |
шара перешла |
за предел |
упругости, не |
|||
обходимо, |
чтобы |
наименьшее значение |
интенсивности |
напряжений |
||
при г = Ь |
было |
больше о8. Из (3.39) |
и |
(3.40) находим следующее |
||
условие: |
|
|
|
|
|
|
\ра— Р ъ \> |
|
|
|
|
|
|
|
ЗХ/fIn — |
2 ( 1 - Х ) ( о + |
-| к )(*в- « |
3) ‘ |
||
> |
|
а |
+ |
|
|
(3.42) |
2 [ G (1-X ) + - | AT] |
з [ 0 ( 1- Х ) + 1 /с], |
|
||||
Если материал шара не обладает упрочнением (X = 1), то несу щая его способность или наибольшая разность внутреннего* и наруж ного давления, которую он способен удержать, находится из условия
конечности wa или равенства (3.42): |
|
\Р а ~ Р ь 1ш*х= 2о81п- | |
(3.43) |
Решение задачи о деформации полого шара является совершенно элементарным в том случае, если материал его считать несжимаемым.
Полагая в (3.26) |
0 = 0» находим: |
|
|
w = w |
а* |
|
--- |
|
|
|
а г2 > |
и потому |
Л |
А |
|
||
закон <*i — Ф (*<) |
позволяет сразу в квадратурах писать выражение <з1 |
|
и о8 из уравнения равновесия (3.29), после чего из граничных усло
вий находится' постоянная |
wa и другая |
константа интегрирования. |
В формуле (3.41) второе |
слагаемое как |
раз представляет поправку |
к такому простому решению за счет сжимаемости материала. Условие полного перехода тела в область пластических деформаций (3.42) тоже зависит от сжимаемости, поскольку в него входит модуль объемного сжатия К. Однако влияние сжимаемости оказывается достаточно малым.
Рассмотрим следующий пример: стальной полый шар с отношением
радиусов |
= |
2, |
с |
параметром |
Я = 0,95 |
и пределом |
текучести |
|
з8 = 4000 |
кг/см8 |
находится под действием |
внутреннего |
давления |
||||
ра — Р* |
(рь = |
0). |
И3 (3.42) находим, что вся толща его выходит за |
|||||
предел |
упругости |
при |
К = 2G: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
р > |
1,65о8, |
|
|
а при |
|
оо, |
т. е. при условии |
несжимаемости: |
|
|||
|
|
|
|
|
р > |
1,55о8. |
|
|
Разница в |
условиях, как видим, весьма незначительна. Найдём дефор- |
|
мацию —Д |
на внутренней поверхности |
при р = 1,7о8 = 6800 кг(см*; |
имеем при |
G = 0,8 • 10е кг(см2: |
|
|
-2^ = 0,01092 + |
0,00020, |
причём второе слагаемое, происходящее за счёт сжимаемости мате риала, в 55 раз меньше основного, получающегося из условия К = оо. Роль сжимаемости повышается, если брать меньшие давления. Возь мём минимальное значение, при котором на наружной поверхности тела впервые возникает пластическая деформация, p = l,65ofi = = 6600 кг/см2; получим:
|
= 0,00950 + |
0,000194. |
|
|
|
|
|
Влияние сжимаемости остаётся попрежнему малым. |
О |
влиянии |
сжи |
||||
маемости, впрочем, можно легко судить на основании |
соотношения |
||||||
(3.34), которое имеет место для любой диаграммы |
о* = |
Ф (^ ) |
и лю |
||||
бого |
отношения радиусов. При условии К = оо |
из |
него имеем: |
|
|||
|
b2w b — a 2w a = |
0 |
|
|
|
|
|
и, следовательно, сжимаемостью можно пренебрегать всегда, если |
|||||||
мало |
сравнительно с перемещением |
wa |
сферы |
радиуса R; |
здесь |
||
р — характерное значение давления на |
тело. |
|
|
|
|
||
§ 21. Симметричная деформация толстостенной трубы.
Напряжения и деформации толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего и наружного давлений, а также под действием осевой силы Р для простоты рассмотрим, исходя из условия несжи маемости материала. Сохраняя обозначения предыдущего параграфа, осевое направление будем отмечать индексом «1». Формулы Коши для выражения деформаций через перемещение w дают:
. |
w |
dw |
/п л |
*i — const, |
е2 = — , |
eQ= — , |
(3*44) |
причём постоянство осевой деформации вытекает из того, что давления рф ръ и осевая сила Р постоянны по длине. Условие несжимае мости:
dw |
,_w |
*i |
dr |
* г |
даёт такое выражение для перемещения w:
1 . 1 с
” * 7 « ! Г + Г