Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

причём

поскольку

равенство Рх = 0

возможно

только при xj = х9 =

=

х1а =

0 , то изгибающие моменты

все равны

нулю:

M l = M9 = Mli = 0,

а

силы

находятся

из простых соотношений:

Г9 - 1 г ,

= S s = A ^ Sa)

(4.41)

т __ 2 л

_L 2Of

*12— 3-^12 — л з ^ е1а*

Легко видеть, что формулы (4.41) получаются простым

умножением

Tt = hXx,

T2 = hYyy Г1а =

hXy.

(4.42)

Соотношения (4.23'),

(4.24') или (4.26),

(4.27) дают

выражения

ратичные формы

Р „

Р х, Ршх:

Рш=

e

j

- | - 62-з[-е?2э

Рх = Xi-j- XJXJ -J- X2 -j- X?2,

(4.43)

p *x=

®i*i +

®a*a+ ^ eix2 +

J 8axi + xi2si2

® i i е з> 8 13э * 1 » * а> * i a >

а следовательно,

через три

компонента вектора перемещения w

точки серединной

поверхности

w =

t e + / p + ftw,

через

силы

Г,

М или

5, Я . Для этого необходимо подставить (4.46)

в (4.38) и выразить Ju

J2>Js через Psy Р кУPSH>после чего решить

уравнения (4.23')»

(4 .24')

относительно

е, х. Например,

ej/j — Xj/g — Sly

откуда

2 — xi^s =

Hi >

SjJa — Я1/3

SjJj — Hjjj

1

h h — A. ’

1

h h — j\

Таким

образом

получим

окончательные

формулы:

e i — д - ( ^ i ^ 8

Нi^ a ) *

Х 1 = д - ( ^ У г — ^ V i ) »

®а =

J

( V

B —

а

д

,

х 2 —

C

^ S ----- ^ 2 ^ l ) *

(4.47)

1 2 “

д

^

1 2

^

а

) >

5ti 3 = =

Х ^

1 2 ^9 — ^ 1 2 ^ 1 )

= У X

l —

Xн-x4Y +y з х 1

умножением на — | — заменить,

согласно (4.44), на ] /Я 5:

Тогда найдём:

чае

несжимаемого

материала работа внутренних сил, приходящаяся

на

единицу объёма

тела, равна

8С7= T fa +

Га8еа +

2Г1а8е1а— Af^X! — AfaBxa — 2М 198х12. (4.49)

Если вариацию

8U подсчитать по формуле

Ь/2

Ш =

( 0{be{ dz,

(4.50)

-hj2

причём ei взять по формуле

(4.19), то мы

получим новый

способ

выражения сил и моментов через деформации

и искривления:

„

d U

_

d U

1 d U

(4.51)

Т 1 = д Г , '

Т 12 — 2 дгп

’

d U

..

d U

iWia =

___ 1

д Ц

м ‘ =

- д й '

Л*а —

д ъ '

2 <hcj2

р

Р

1 ■«

* *1

2 ,

_ дЦ

4^ . _

дЦ

2 .

dU

(4.53)

3 Ji ~

дР, ’

3 J* — дР„ ’

3 J*

"" дРх

Если

вычислить

вариации

8

8Я,Х 8РХ, согласно

выражениям

(4.43),

и заметить, что:

ЪР, = 2Р„и,

8Я.Х=

Р«М +

Р Ь*Х,

8РХ= 2 / \ )3>)

(4.54)

то,

собирая коэффициенты при

вариациях одних

и тех

же деформа­

ций

и искривлений

в (4.52), получим, например,

при Sex:

3 ^ =

4 yi( ei + У

е* ) ~ Т Уа(х1 + Т Х>)’

что, согласно (4.26), совпадает с Тх; аналогично

убеждаемся в спра­

ведливости всех

остальных формул (4.51).

Возможны три основные постановки задачи о равновесии пла­

стинок.

1) Постановка

задачи

в усилиях и моментах; для этого

необ­

будет, вообще

говоря,

пять: три уравнения равновесия проекций

сил Tlf

Г2, Г12,

Nv ДГ2 на оси х, у,

г и два уравнения равновесия

моментов

М1У Мъ, М^

и моментов

сил Nly N2 около осей х и у;

величин е1, е2,

е12, хг х2,

х12

(4.47),

которые выражаются

через

три компонента

перемещений

я,

v 9 w.

2) Постановка задачи в

пере­

резывающие силы

N u N2, а

остальные усилия и моменты выразить

согласно (4.26), (4.27) через

три компонента перемещения. 3)

На­

конец,

возможна

постановка

задачи без

уравнений

равновесия

эле­

мента

в виде вариационного

уравнения

равновесия

оболочки.

Для

8 У = / / 8 С Ю Е ,

(4.55)

^ 1

— ° в (е<ш e4i)i

в

In

« + У < - 4

(4.59")

С, = -7 Г

------ U -Bt.

В обоих

случаях величины eit, еи, еи

выражаются формулами (4.34).

тичных форм Рх, Р „ , Р „

перепишем их

в виде:

Р . +

ЛР,х + £ - Р х =

.1 ^ ,

Решение

их

относительно квадратичных форм

весьма несложно и

приводит

к

следующим результатам:

*р..=4<«,’-*у.

л = | п - К ) - т р.

(4.60)

— 2 - £ р х< А Р . х< 2 .

Легко проверить,

что

это

неравенство

будет

иметь

место,

если

в формуле (4.60)

для

Рх в

скобках

взять знак ( + ). Аналогичным

образом убедимся,

что

неравенство

(4.36) будет

иметь

место,

если

для Рх в скобках взять знак ( — ).

Ниже во

всех

формулах,

имеющих два знака, верхний знак будет

относиться к

случаю доминирующего

изгиба оболочки,

а нижний —

к случаю доминирующего растяжения-сжатия её.

Введём два основных параметра \

и ji

следующим образом:

Эти

параметры

удовлетворяют

условиям:

0 < Х > р < 1 ,

(4.61')

поскольку еи — есть

минимальное

значение интенсивности деформа­

ций

в

данной

точке

оболочки.

Тогда

формулы

(4.60)

можно пере-

писать

в виде:

р

2

Р

=

^ д д

и

И%— 4Д2 ui>

8h

(4.62)

Р , — ^ Ч 4 ,.> + 4 » ) ,

где

и Д обозначают следующие функции:

*1

/ 1 — |а2±:]Л* — |*9 ,

Д =

(4.63)

Вид

формулы

(4.62)

для Р%станет вполне понятным,

если принять

во внимание тождество:

4р»+ Д * =

1 +

X a-f 2 p * + 2 V (1 -

р») (Л» -

^ ) .

Пользуясь обозначениями

X, р

и установленным

правилом примене­

ций А,

В, С (4.59)

в

виде:

4 =

*0.

Я =

сгвф(Х,

р),

(4.64)

с =

\

V®, 17.(*. Н^) — I4®Ф (*, Р)].

причем

функции ф, ф и х

определяются

так:

<Р =

X — 1,

In

1 + y f l — Р *

+

1 п

Х +

т/~Х» — fi»

(4.65)

11/*1 — р8 ± Х / Х 8 — р*

Пользуясь

формулами

(4.62)

и (4.64),

теперь

мы можем убедиться

в том,

что квадратичные формы Рд, Рц

и Рдв,

согласно

формулам

(4.45)

и

(4.38),

не

зависят

от величины

eti и

являются

функциями

только

параметров

X

и р.

В

самом

деле,

слагаемые

(4.45')

имеют

общий

множитель о* А®, но не зависят

от

e't, так как

обратно про­

порционально е8,

а Рщ прямо

пропорционально

е^, и потому

У8 Р,

не зависит от etl.

Аналогично убедимся, что слагаемые (4 .45")

имеют

общий

множитель

о*

A4,

a

е{

в

них сокращается и,

наконец, что

слагаемые

(4.45'")

не зависят от

и имеют общий множитель

А8.

Qm, Qtm) *= 0»

(4.70)

называется

конечным соотношением между силами и моментами,

действующими

в

оболочках. Конечное

соотношение было получено

из

гипотезы

Мизеса о{ =

о8 и потому оно является обобщением усло­

вия

Мизеса1) I1!.

Существование конечного соотношения между силами Т и момен­

тами М в случае

идеальной пластичности, т. е. при условии

Мизеса

и при малости упругих деформаций, вытекает и

непосредственно из

формул

(4.23')

и

(4.24'),

поскольку при этом

они являются

одно­

родными

нулевой

степени

относительно

шести

величин elf

е2, е12,

xi>

*12*

Отношение

любой

деформации к

е{9 согласно

(4.19),

может быть выражено через пять независимых параметров. В

самом

деле, пусть,

например,

ф

0;

обозначая пять соотношений

будут

зависеть только

от

них. Но

если шесть

величин

Su

S2, S12,

Hv / /2, Hi2 являются

функциями

только

пяти

параметров,

значит,

между

ними существует

одно конечное

соотношение,

и оно пред­

х =

1.