Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

Рис. 91.

т. е. разрывность или непрерывность напряжений может быть уста­ новлена после того, как задача об устойчивости оболочки будет решена. Отсюда ясно, что степень точности решения задачи устой­ чивости оболочек, понимая под точностью степень соответствия математического решения опытным данным, будет вполне достаточ­ ной, если величины скачков вариаций напряжений на границе z = z0 будут малы сравнительно с вариациями напряжений на поверхности

оболочки , в противном случае необходима эксперимен­

тальная проверка решений. Трудность, с которой мы здесь сталки­ ваемся, является неизбежной не только в рамках теории малых упруго-пластических деформаций, но и с точки зрения любой другой теории пластичности, поскольку, как уже отмечалось в главе I, законы пластичности при сложном нагружении ещё не установлены. Отметим, что скачкообразное изменение вариаций напряжений при переходе через границу z = z 0 есть неизбежное следствие непрерывности деформаций, их интенсивности и интенсивности напряжений, ввиду

маций и механических характеристик материала оболочки, но и от действующих перед потерей устойчивости напряжений, а следова­ тельно, и от сил. В этом состоит специфическая особенность явления потери устойчивости оболочки за пределом упругости.

Для того чтобы иметь возможность написать дифференциальные уравнения устойчивости, необходимо найти выражения вариаций сил и моментов, действующих на элемент оболочки, поскольку они выте­ кают из уравнений равновесия элемента. По определению сил и моментов имеем:

Для вычисления этих интегралов прежде всего необходимо разбить оболочку на следующие три зоны: в первой зоне (рис. 91) предпо­ лагается упругое состояние оболочки1), и потому согласно (5.16), (5.17) для этой зоны имеем:

После вычисления второй группы интегралов находим формулы для вариаций моментов:

В третьей зоне оболочки пластическая до потери устойчивости деформация оболочки остаётся пластической и после потери устой­ чивости, т. е. область разгрузки отсутствует. Поэтому выражения вариаций сил и моментов получаются из (5.17) согласно форму­ лам (5.15):

Формулы (5.18), (5.23), (5.24) для 1-й и 3-й зон устанавливаютлинейные однородные зависимости между вариациями сил и момен­ тов, с одной стороны, и деформаций серединной поверхности и её искривлений, с другой. Однако в зоне упруго-пластических дефор­ маций (2-й) эти зависимости не являются линейными, оставаясь одно­ родными. Это видно из формул (5.21), (5.22), в которые входит величина г 0, являющаяся дробнолинейной функцией нулевой степени относительно вп и хя :

Очень существенно, что в этом выражении г 0 можно исключитьдеформации ея, выразив их через вариации сил 87\, 8Га, bS. Умно­

Таким образом в формулах (5.21), (5.22) под г0 мы можем под­ разумевать либо выражение этой величины (5.14') через деформации, либо выражение её через вариации сил и искривлений (5.28).

Выражения сил и моментов в зоне упруго-пластических дефор­ маций оболочки несколько упрощаются, если перед потерей устой­ чивости пластическая деформация мала сравнительно с упругой. Отбрасывая в (5.21), (5.22) малые порядка ш сравнительно с 1 и заменяя z0 по формуле (5.28), получим:

зоне, может считаться известной функцией координат точки поверх­ ности. Действительно при этом указанные соотношения, как и соот­ ношения (5.23), (5.24), становятся линейными и однородными отно­ сительно силовых факторов деформаций и искривлений, и потому задача об устойчивости оболочек за пределом упругости в матема­ тическом отношении будет немного сложнее соответствующей упру­ гой задачи.

Мы не будем выписывать здесь дифференциальные уравнения равновесия элемента оболочки произвольной формы, поскольку они ничем не отличаются от уравнений, принятых в теории упругой устойчивости оболочек, и ограничимся лишь некоторыми замечаниями. В общем случае это система пяти дифференциальных уравнений пер­

ничные условия сводятся к тому, что вариации внешних сил на гра­ нице оболочки равны нулю, поскольку потеря устойчивости оболочки должна происходить при неизменных внешних силах. Другая поста­ новка задачи устойчивости сводится к тому, что на основании соот­ ношенийтипа (5.21), (5.22) и выражений еп, хя через tf, vf w составляются дифференциальные уравнения совместности деформаций,

исходя из предположения, что перед потерей устойчивости пласти­

ческая деформация пластинки всюду мала по сравнению с упругой; При этом в формулах (5.23), (5.24) можно положить ю = 0 и вместо формул (5.21Л (5.22) пользоваться формулами (5.29), (5.30).

Обозначая w (.х, у) прогиб пластинки при потере устойчивости, а проекции перемещения точки серединной плоскости в результате потери устойчивости на направление осей х и у соответственно и(.х,у), v(x,y)> имеем выражения для кривизн х1э ха, х3 и дефор­ маций ех, еа, е8:

Силы, действующие в серединной плоскости пластинки перед потерей устойчивости, можно записать в следующем виде:

7\ = hotX a, Г2 = hotYy, S = hotXy%

а их проекцию на ось г после потери устойчивости в виде:

Условия равновесия сил, лежащих в серединной плоскости, после потери устойчивости будут:

Наконец, условие совместности деформаций имеет вид:

Совокупность дифференциальных уравнений (5.32), (5.33) и (5.34) необходима и достаточна для решения задач устойчивости, если поставить соответствующие граничные условия. В самом деле, со­ гласно (5.23) или (5.30) и (5.28) деформации е1} еа, е8 можно выра­ зить через силы 87^, 8Г2, и кривизны хя (прогиб «в), после чего моменты 8Afj, 8Жа, 8Я стшут функциями тех же четырёх аргумен­ тов. Таким образом задач! сводится к четырём дифференциальным уравнениям с четырьмя неизвестными функциями, причём (5.32) —

типа уравнения Брайана, а (5.33) и (5.34) — типа уравнений плоской задачи.

Для области чисто пластических деформаций (т. е. такой, где пластическое по всей толщине состояние до потери устойчивости переходит также в пластическое после потери устойчивости) система дифференциальных уравнений разбивается на две независимые. Для простоты рассмотрим лишь случай начала текучести. Внося значе­ ния 8Aflf 8Жа, Ш согласно (5.24) в (5.32), получим дифференциаль­ ное уравнение типа Брайана для прогиба w:

где в соответствии с (5.13) и (5.31):

(5.36)

Два граничных условия, налагаемых на прогиб w , совпадают с обычными граничными условиями для уравнения Брайана. Разрешая уравнения (5.23) относительно деформаций, получим:

+ SybГ2+ 3 ^ 8 5 ) ,

+ SybT2 + ZXybS),

Уравнениям (5.33) удовлетворим, вводя функцию напряжений F:

после чего, обозначая через t выражение, аналогичное (5.36):

(5.39)

получим условие 1овместности деформаций в виде:

(5.40)