Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

§ 34. Несущая способность цилиндрической оболочки.

Если материал оболочки деформируется достаточно сильно и перестаёт упрочняться или не обладает упрочнением, то существует максимальное значение внешних сил, при которых ещё возможно равновесие. Как и прежде, такое значение внешних сил мы называем

Таким образом конечное соотношение (4.74) можем записать в виде:

или согласно (4.74") в виде:

(4.351)

Сохраним обозначение (4.325) для безразмерной координаты х, а также (4.333) для безразмерной нагрузки р и обозначим безразмер­ ную перерезывающую силу в сечении х :

Теперь уравнение равновесия (4.324) можно переписать в виде:

изгибающие моменты

MQ= NiaftlQу

а по'поверхности равномерная нагрузка р. Если М0= 0, то из (4.355) получаем уже известный результат, полученный по безмоментной

р____ 3JV„

— 8 •

Как видно из графика (рис. 85), при А= 1 и при изменении а от 1 до 3 величина Р имеет среднее значение:

Pop = j ( 0 , 950 4 -1 ,1 0 7 + 1,262) = 1,106.

форма изогнутой поверхности оболочки невозможна без точки пере­ гиба, и сила Г2— отрицательна, на эллипсе (рис. 86) нашей задаче соответствует нижняя половина (ADC). На некотором расстоянии х = I от силы прогиб оболочки обратится в нуль, и перерезывающая сила также будет равна нулю. Таким образом:

х — 1, х = х г, t = О, N = 0

и, следовательно:

х = 1, тх:

Как видим, эта величина отличается от среднего значения, найденного по методу упругих решений, всего на 5% , откуда вытекает достаточная точность третьего приближения в § 33 даже для значения А = 1.

Найдём ещё расстояние, на которое в обе стороны от силы Р распространяется деформация оболочки. Формула (4.356) принимает вид:

т0

dm

Уз Г __ ____________

4 J Y F (ть mo) — F(m, т0)

Для вычисления этого интеграла положим:

Эта величина также мало отличается даже от первого приближённого

и потому максимальное значение перерезывающей силы будет:

4 У п

(4.362)

у Т у ! '

Такая перерезывающая сила с обратным знаком действует в точке перегиба деформированной поверхности бесконечно длинной трубы, которая была рассмотрена выше. Если воспользоваться преобразова­ ниями (4.359) и заметить, что значению т = т0 соответствует

Формула (4.356) даёт следующий размер * г(при х = 1) области дефор­ маций :

Если, наоборот, на краю действует только изгибающий момент Л10,

причём, поскольку tQ= 0, деформация заканчивается в бесконечно узкой зоне, примыкающей к краю х = 0. Заметим, что и упругое ре­ шение задачи в этом случае даёт очень узкую зону заметной дефор­

выше нагрузок находятся оболочки, длины которых конечны, но

длинными, поскольку за предел размера / деформация не распростра­

няется. Если же длина оболочки L порядка Y или меньше, то несущая способность её будет меньше, чем у длинной оболочки.

(рис. 86), если Р — сжимающая сила, или — возле точки В, если Р — растягивающая сила. В этом случае несущую способность найдём

m = N = О, a t всюду приблизительно равно — 1:

Если длина оболочки порядка / найденного выше, то решение раз­ личных задач даётся формулами (4.354) и (4.356), поскольку крае­

вые значения N и т известны.

Как и в задачах о несущей способности пластинок, в задачах о несущей способности цилиндрических оболочек можно применить

определить максимальные нагрузки. Однако в этом нет необходимости, ввиду общности и простоты указанного выше точного решения, представленного формулами (4.354) и (4.356).

Г Л А В А V.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК (l- 2

§ 35. Выражения сил и моментов через деформации серединной поверхности при потере устойчивости.

Пусть под действием заданной системы сил оболочка или пластинка

деформациями имеют место соотношения (4.2) § 23, которые мы выпишем снова:

Интенсивность напряжений

(5.2)

Поскольку состояние равновесия элемента оболочки является безмоментным, все выписанные величины постоянны по толщине оболочки и являются вполне определёнными функциями криволинейных коорди­ нат точки по поверхности (а, (3) и заданных внешних сил.

стояние оболочки, Характеризуемое у д л и н е н и я м и 8eaaieyv-\-beyy

виртуальных, как в вариационном уравнении равновесия, необходимо различать два возможных случая: случай нагружения и случай раз­ грузки, поскольку формулы, связывающие напряжённое и деформи­ рованное состояние, при этом различны.

Область нагружения характеризуется тем, что в ней за счёт ва­ риаций Ъехх, . . . , &Ха , .. . интенсивности деформаций и напряжений возрастают; в области же разгрузки эти величины убывают. Поверх­ ность, пересекающая толщу оболочки и разделяющая области нагру­ жения и разгрузки, определяется, следовательно, из условия равенства нулю вариации интенсивности деформаций или интенсивности напря­ жений. Ввиду того, что вариация работы внутренних сил в единичном объёме оболочки,* согласно (2.31), равна

т. е. пропорциональна Seif то уравнение указанной поверхности будет

Оно может быть получено непосредственно путём варьирования фор­ мулы (5.3) и простых преобразований согласно (5.1) и (5.2).

В области нагружения вариации напряжений можно найти путём дифференцирования формул (5.1), так как они имеют место как

в основном, так и в близком состоянии оболочки:

причём о* и ei связаны диаграммой растяжения а* = Ф (е{), так что

(5.7)

В области разгрузки вариации напряжений и деформаций подчи­ няются закону Гука, и связь между ними находится из (5.6), если положить а{ — Ее4:

Как и в общеЧ теории оболочек, будем исходить из основной гипотезы Кирхгоффа, а именно предполагать, что вариации дефор­ мации слоя оболочки АВС (рис. 90) выражаются линейными зависи­ мостями через вариации деформаций серединной поверхности и через её искривления:

Эти величины являются известными; вместо искривлений и ординаты г введём безразмерные величины: