Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

ния и близкие к простому нагружению, подтверждают соотношение (1.134): главные оси напряжений и деформаций совпадают, и напра­ вляющие тензоры напряжений и деформаций равны между собой. Кроме того, имеет место закон упрочнения материала: интенсив­

которое из соображений независимости деформаций от среднего нормального напряжения и некоторых теорем тензорного анализа должно иметь вид:

теории, основанной на соотношении (1.134). Учитывая малость ошибки последнего, его можно считать главной частью истинного закона. Поэтому уточнение результатов с помощью указанных соот­ ношений Прагера возможно после того, как задача пластичности

х) Уравнение (1.127) является линейным тензорным уравнением, хотя связь между компонентами тензоров, благодаря входящим в него инвариан­ там. является, конечно, нелинейной.

произвольного по форме тела деформация будет простой при любом значении параметра А, если произвольные внешние силы от начала их приложения возрастают пропорционально одной из них, которая, например, и может быть выбрана в качестве параметра А. Тем самым полностью устанавливается область применения излагаемой теории пластичности. Поскольку она применима и при состояниях, близких к простому, круг вопросов, решаемых этой теорией, оказы­ вается очень большим.

Кривая о4-е4может быть получена как из опыта на растяжение образца, так и из опыта на кручение тонкостенной трубы или на чистый сдвиг. В последнем случае, пользуясь диаграммой кручения, имеем:

В. дальнейшем мы часто будем иметь дело с отношением ^ , кото­

рое, согласно (2 .6), можно мыслить себе уже выраженным либо только через eif либо только через о*, поскольку неравенство (2.8) гарантирует возможность решения уравнения о*=Ф (е*) относительно е4\

стью зависимость между напряжениями и деформациями. Для того чтобы написать их в форме, аналогичной закону Гука, перенесём величину о = 3Ке в правую часть. Тогда получим формулы:

(2.12)

х__q< р

~ Зе4

Если е4< е8У то эти соотношения совпадают с обычным законом Гука в форме Ляме.

Можно выразить также и деформации через напряжения; для этого

заменим £ = —, и разрешим (2.3) относительно деформаций:

конечно, только в том случае, если материал обладает упрочнением. Общая деформация элемента тела состоит из упругой и пла­ стической (остаточной). Припишем компонентам упругой деформации

*) Такое разложение предложено Генки и имеется, например, в работах Надан I3], Беляева М и др.

Компоненты упругой деформации выражаются через напряжения по закону Гука:

С2.15)

е[ху —

Здесь v— обычный упругий коэффициент Пуассона и Е — модуль Юнга. Компоненты пластической деформации найдём как разности компонентов полной и упругой деформаций:

Е9К Е * 9/С 3G*

Следовательно, формулы для пластических деформаций принимают вид:

где функция 9, аналогичная функции <о, имеет выражение:

Как видно из (2.16), тензор пластических деформаций есть девиатор:

сивность деформаций ei (2.5), можно составить"интенсивность упру­ гих и интенсивность пластических деформаций. Если в формулу

Аналогично для пластических деформаций будем иметь согласно (2.16):

е<^ = З О а<= 3G(1—Ш) °«* ^2,20>

Складывая (2.19) и (2.20) и принимая во внимание (2.6'), получаем интерес­ ный результат:

т. е. сумма интенсивностей упругих и пластических деформаций равна интен­ сивности полной деформации.

Поскольку интенсивности общих, упругих и пластических деформаций обладают такими же аддитивными свой­ ствами, как и сами деформации.(2.14), мы имеем право считать диаграмму аг е4

эквивалентной диаграмме растяжения образца (рис. 1) не только при активной пластической деформации, но и при разгрузке (рис. 42); если, начиная с некоторого значения Ъ4 в точке М диаграммы о4-е4 интенсивность напряжений начинает убывать и принимать значение

of < Of, то разгрузка следует прямой МО’ параллельной первоначаль­ ному прямолинейному участку ОС и

Чтобы получить все необходимые законы разгрузки, к этому необхо­ димо добавить условие пропорциональности девиаторов напряже-

ний — (D J и упругих деформаций (D |):

и закон упругости объёмных деформаций:

Волной наверху обозначены напряжения и деформации, соответствую­

щие точке- М в стадии пассивной деформации. Как видим, закон Гука в стадии разгрузки записывается так же, как при первоначальных упругих деформациях на участке ОА с той только разницей, что деформации отсчитываются от нового начала О' и предел пропор­ циональности является повышенным. В дальнейшем для нас будет более удобной следующая форма закона Гука при разгрузке, экви­ валентная указанным выше соотношениям:

Здесь через А и О обозначены обычные упругие постоянные Ляме, причём:

Полагая в этих соотношениях

мы можем найти остаточные' деформации полностью разгруженного элемента:

§ 11. Работа напряжений и потенциальная энергия; потенциалы.

Работа напряжений, совершаемая при переходе элемента тела единичного объёма из недеформированного состояния О в деформи­ рованное М определяется, как сумма элементарных работ в проме­ жуточных состояниях:

м

о