принимаются в соответствии с указанными выше приближенными соотношениями. Здесь нельзя забывать, что по номограмме замы­ кания получаются характеристики для замкнутых систем с единич­ ной обратной связью. Поэтому для построения логарифмической амплитудной частотной характеристики замкнутого внутреннего контура с коэффициентом обратной связи К ^ Ф1 также необхо­

1.5.4. Временные и частотные характеристики типовых звеньев

• Усилительное звено. Уравнение усилительного звена:

у_ у у

Л вых iv y v ВХ ’

где К - коэффициент передачи звена. Временные характеристики

звена представляет собой ступенчатую функцию уровня К, а функ­ ция веса б - функцию площади К (рис. 1.39, а, б).

Частотные характеристики звена определятся по передаточной

Рис. 1.39. Частотные характеристики усилительного звена

Как видно из рис. 1.39, в, г, д, частотные характеристики уси­ лительного (безинерционного) звена не зависят от частоты входно­ го сигнала. Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала отсутствует.

• Интегрирующее звено. Дифференциальное уравнение звена:

где Т - постоянная времени звена.

Переходная характеристика интегрирующего звена (рис. 1.40, а):

Коэффициент передачи звена К = — имеет размерность 1/С.

Весовая функция звена (рис. 1.40, б):

JF(co)

ф (ю )

ЛАФЧХЦ(Ю)

ЛФЧХ

О

t®

lg®

-90°

Рис. 1.40. Частотные характеристики интегрирующего звена

Частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 1.40, в, г, д) определятся на основании операторной передаточной функции:

логарифмическая амплитудная частотная характеристика стро­ ится по зависимости

Гео Как видим, фаза интегрирующего звена имеет постоянное зна­

чение ср(со) = -90° а ЛАЧХ представляет прямую линию, Пересе-

кающую ось абсцисс (частот) в точке соср _1_ где Цш) = 0 и име­

Т

ющую отрицательный наклон - 20дБ/дек. Интегрирующее звено плохо пропускает высокочастотные колебания. При увеличении частоты входных колебаний относительная амплитуда выходных колебаний уменьшается, стремясь к нулю при со —» °°. Частоту (оср

называют частотой среза. Реальные интегрирующие звенья обычно обладают определенной инерционностью, вследствие чего их вы­ ходная величина не равна точно интегралу от входной величины.

• Дифференцирующее звено. Уравнение звена:

X ВЫХ = т х ВХ ’

где Т - постоянная времени звена (в сек.).

Рис. 1.41. Частотные характеристики дифференцирующего звена

Переходная характеристика дифференцирующего звена (рис. 1.41,а):

Частотные характеристики дифференцирующего звена (рис. 1.41, в, г, д, ё) при передаточных функциях W(p) = Tp ; У(©) = Гсо опре­ делятся по зависимостям:

АФЧХ: W(j(£>) = /Гео; АЧХ: А(ш) = 7со;

ЛАЧХ: L(co) = 201g7co,

где (/(©) = 0; V(co) = Гсо.

ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена обратны соот­ ветствующим характеристикам интегрирующего звена. Фаза диф­

Цш) = 0. Реальные дифференцирующие звенья обладают также

определенной инерционностью, вследствие чего осуществляемое ими дифференцирование не является точным.

• Апериодическое звено (инерционное звено первого порядка). Дифференциальное уравнение звена:

Т X вых+ АВых —К Авх.

Переходная характеристика звена, являющаяся решением уравнения при XBX(t) = l(t) и нулевых начальных условиях, пред­

ставляет собой экспоненту (рис. 1.42, а):

Постоянная времени Т характеризует инерционность звена: чем она больше, тем длительнее переходный процесс в звене. Тео­ ретически такой переходный процесс длится бесконечно долго. Практически за длительность переходного процесса принимают время, которое прошло от начала процесса до момента, когда вы­ ходная величина достигла 95 % ее конечного установившегося зна­ чения. Для инерционного звена это время равно - 3 Т.

Конечное установившееся значение переходной характеристики: hycT=h(oo) = K

Рис. 1.42. Частотные характеристики апериодического звена

Постоянная времени численно равна времени, по истечению которого переходная характеристика достигает значения

й(*) = 0 ,6 3 ^ = 0 ,6 3 *

Если переходная характеристика получена экспериментально, то по ней можно определить значения ТиК.

Весовая функция апериодического звена (рис. 1.42, б) опреде­ ляется выражением:

ЛАЧХ рассматриваемого звена может быть приближенно представлена ломаной линией, показанной на рис. 1.42, в. Эта ло­ маная приближенная характеристика называется асимптотической ЛАЧХ и состоит из двух асимптот, к которым стремится ЛАЧХ при со —> 0 и со —> °°.

Низкочастотная асимптота при со« ^ и Г2со2 « 1 будет

L,(co) = 201gX. Это последнее выражение - прямая, параллельная оси абсцисс (частот) и проходящая на уровне 201gX, к которой

L,(co)-201gX-201grco. Этому выражению соответствует прямая,

имеющая наклон - . Действительно, при увеличении частоты дек

со на декаду (в 10 раз),

(со) = 20 lg X - 20 lg Г • 1 Осо = 20 lg X - 20 lg Гео20 lg 10,

то есть уменьшилась на 20 lglO или на 20-----. К этой прямой стредек

мится ЛАЧХ при со —> °о.

Обе асимптоты пересекаются в точке, соответствующей часто­

те со = —, при которой будут сопрягаться левая и правая ветви точ­

ной ЛАЧХ. Поэтому для апериодического звена эта частота на­

зывается сопрягающей (сопряженной) частотой, то есть сосопр

Г* Наибольшее отклонение точной логарифмической амплитудной частотной характеристики от асимптотической имеет место при сопрягающей частоте и равно

AL(co) = —101g 2 ~ -З д Б .

Поэтому практически используют асимптотическую ЛАЧХ этого звена.

ФЧХ при изменении частоты со от нуля до бесконечности изме­

няется от 0 до — . При этом сопрягающей частоте соответствует

ф(со) = - (рис. 1.42, е). 4

• Колебательное звено (инерционное звено II порядка). Коле­ бательное звено характерно тем, что при подаче на его вход сиг­ нала выходной сигнал на переходном процессе совершает колеба­ тельное движение.

Дифференциальное уравнение колебательного звена имеет вид:

При определении переходных (временных) характеристик ко­ лебательного звена необходимо рассмотреть некоторые предвари­ тельные соотношения. Решение дифференциального уравнения звена складывается из общего решения однородного уравнения, характеризующего собственное движение системы Хс(/), и част­

ного решения, характеризующего возмущенное вынужденное дви­ жение X B(t): X BbK(t) = X c(t) + X B(t)

Общее решение уравнения (с нулевой правой частью) опреде­ ляется по формуле:

X c(t) = c / ' ' +c2eh '

где Ci и с2постоянные коэффициенты, зависящие от начальных

плексные, - при £=1 - корни вещественные.

В зависимости от вида корней решение X c (t) будет видоизме­

няться:

при ^=0 X c(t) = С(} sin at - резонансное звено;

звено.

Собственное движение - это движение под влиянием началь­ ных условий или при приложении импульсного воздействия 5(f),

решением дифференциального уравнения (при нулевых начальных условиях):

где а = —; ©

Т

Переходный процесс рассматриваемого звена носит характер затухающих по экспоненте колебаний (рис. 1.43, а). Он затухает тем быстрее, чем меньше постоянная времени Т и чем больше ко­ эффициент демпфирования С увеличением £ колебания переход­ ного процесса уменьшаются, исчезая совсем при £ > 1.

Если переходная характеристика получена экспериментом, то

ходной характеристики относительно установившегося ее значе­ ния, отстоящие друг от друга на время т/2.

»(')

Рис. 1.43. Частотные характеристики колебательного звена

Частотные характеристики колебательного звена (рис. 1.43, в, г, д) определяются из передаточной функции

ной частоты используются специальные графики поправок 5(со7’)

(рис. 1.44). Значения 5(соГ) прибавляются к асимптотическим ха­

рактеристикам или вычитаются из них в зависимости от знака по­ правки, при этом следует учитывать, что графики поправок даны в функции от безразмерной частоты соТ

Точное значение резонансной частоты, при котором ампли­ тудная частотная характеристика имеет максимум, определяется из условия минимума знаменателя функции Л(со) и равно

риментально, то по ним нетрудно определить параметры звена К, Т и исходя из рассмотренной выше связи между параметрами ко­ лебательного звена и частотными характеристиками.

Частным случаем вышеописанного колебательного звена явля­ ется консервативное звено. У него £ = 0 и, следовательно, уравне­ ние имеет вид:

Переходная характеристика такого звена представляет собой

незатухающие колебания с частотой со = — и амплитудой равной К

(рис. 1.43, а).

Еще одним частным случаем колебательного звена является апериодическое звено второго порядка ( ^ > 1). В этом случае диф­ ференциальное уравнение второго порядка может быть заменено двумя дифференциальными уравнениями первого порядка, а пере­ даточная функция представлена в виде произведения передаточных

(TiP + l ) (T 2p + l)

• Форсирующее (дифференцирующее) звено первого порядка.

Уравнение звена имеет вид:

X Bblx(t) = K [ T X BbVi(t) + X BX(t)l,

где К - коэффициент передачи звена;

Т- постоянная времени, характеризующая степень влияния скорости изменения величины входного сигнала на вы­ ходную величину.

Наличие форсирующего звена первого порядка в основном контуре САР означает введение производной в закон управления, что обычно делается в целях улучшения качества управления.

Переходная характеристика форсирующего звена первого по­

где А(г) состоит из ступеньки уровня К плюс 8-функция площади Т.

Передаточная функция звена в операторном виде:

W(p) = K(Tp + \).

Передаточные функции АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ (рис. 1.45, в, г, д) определяются выражениями:

W(joi) = К( 1+ уГш); (/(со) = X; У(со) = КТсо;

А(со) = Хл/1 + 7’2со2;

(1.53)

<р(со) =+arctgrco;

L(co) = 20lg К + 101g(l + Г V ) .

При изменении частоты входного сигнала от 0 до оо сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала изменяется от О до +90° (рис. 1.45, д). Логарифмические частотные характеристики форсирующего звена первого порядка обратны соответствующим характеристикам инерционного звена первого порядка. С увеличе­ нием частоты входного сигнала относительная амплитуда выход­ ного сигнала увеличивается в области высоких частот.

Следует отметить, что реальные форсирующие звенья первого порядка имеют более сложные передаточные функции. Так, например, реальное форсирующее звено первого порядка в виде цепочки RC (рис. 1.18) имеет передаточную функцию:

TiP + 1 ’

где К = Rl ; Т = R.C ; Т, =КТ.

/?. + Я 2

По динамическим свойствам это звено эквивалентно после­ довательному соединению форсирующего звена первого порядка и инерционного звена. Переходная характеристика показана на рис. 1.45, е. Логарифмические частотные характеристики этого зве­ на представлены на рис. 1.45, ж. Видно, что реальное форсирующее

звено первого порядка лишь в интервале частот 0 < со < — обладает ■^1

свойствами форсирующего звена, в области высоких частот

( со > — ) его свойства близки к свойствам безинерционного звена с

Т\

коэффициентом передачи, равным 1.

• Форсирующее (дифференцирующее) звено второго порядка.

Уравнение звена имеет вид:

*вых (0 = К\Т2 X вх (0 + 2Ф X вх (0 + Хвх ог)] .

Передаточная функция звена:

Частотные характеристики форсирующего звена второго по­ рядка определяются выражениями:

на второго порядка представлены на рис. 1.46, а, 6. Реальные фор­ сирующие звенья второго порядка имеют более сложные переда­ точные функции,например:

к Т2р 2 +2^Тр +

Т 2р 2 + 2 ^ р +

• Звено с чистым запаздыванием.

Уравнение звена:

X BbK(t) = KXBX( t - т).

Это звено аналогично безынерционному звену воспроизводит на выходе входной сигнал без изменения формы, но с некоторым запаздыванием на величину т (рис. 1.47, а).

Примером такого звена является линия радиосвязи (рис. 1.47, б). Здесь время запаздывания т определяется временем прохожде­ ния сигнала от передатчика до приемника. Уравнение звена в опе­ раторной форме при нулевых начальных условйях имеет вид:

X вых(Р )= Ке~хрХ вх (р) ,

откуда передаточная функция W(p) = Ке~'р

Частотные характеристики звена определяются выражениями:

А(ю) = К ; ф(со) = -тсо.

Следовательно, амплитуда выходных колебаний звена зависит от частоты, а сдвиг фазы выходного сигнала - отрицательный и за­ висит от частоты входного сигнала (рис. 1.47, в, г).

Рис. 1.47. Частотные характе­ ристики звена с чистым запаз­ дыванием