Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

После реализации того или иного плана Дрейпера —Лоуренса для четырехкомпонентных систем строят полиномы для трех независимых переменных zv z2 и z3 первого порядка (п}—1 при п2 = 2)

А

rst = Nms/180,

где т —длина стороны концентрационного тетраэдра.

Параметры планов (в долях от т) для четырехкомпонентных сме­ сей при /г, —2, л2*3, удовлетворяющих условию 18<N <24, при­

ведены в табл. 90.

Все приведенные планы построены в предположении, что существует только систематическое смещение. На практике обычно кроме систематической ошибки экспериментальные данные содержат также и случайную ошибку.

При минимизации общей ошибки можно сохранить основную форму планов и только умножить координаты точек плана на

ошибки и коэффициентов полинома и близок к единице, если случай­ ная ошибка не доминирует. Поскольку в каждой конкретной задаче

нентных систем и 1,2 для четырехкомпонентных. Трансформируем,

Рис. 82 Область исследования вязкости в системе (NH^aHPO* - К2СО3 - Н2О при 30°С (а) и план эксперимента (б)

Пример 6. Исследовалась зависимость вязкости при 30°С жидкого комплексного удобрения на основе диаммонийфосфата, поташа и воды от состава. В качестве области исследования была выбрана область ненасыщенных растворов по обеим солям при 30°С (рис. 82), сторона концентрационного треугольника при этом равна 0,5.

Р е ш е н и е . Был использован план Дрейпера —Лоуренса, содержащий 13 точек (см. табл. 88). Исследуемую подобласть удобно рассматривать как концентрационный треугольник в новой системе координат (xi! X2I х£)\

х\ “Ь *2 + *3 = 0*5.

Х3 = 1 — ж, — = I — 2*i — 2*2-

Учитывая соотношения (VI.159), получим также

План эксперимента и результаты измерения вязкости (у) по двум параллельным

опытам приведены в табл. 92.

По данцым табл. 92 методом наименьших квадратов на ЦВМ были определены коэффициенты уравнения регрессии вида (VI. 161)

1,54 — 0,94г, — 1,01 г, — 8 , 9 3 + 10,48г? + 0,76 .

Полученное уравнение адекватно эксперименту. В натуральном масштабе с учетом соотношений (VI. 168) уравнение регрессии имеет вид

l,54 + 2,l*1 + 0,22xi — 0,58;* + 1,18 л* + 21,81 — 18,93 Х& +

+ 4,14 —6,17 x,x3+ 0,25 .

Рис. 84. Область исследования состава исходного раствора силь­ винита и план эксперимента

процесс получения гидрокарбонатов натрия и калия из сильвинита. Показателем процесса

(у) был выбран коэффициент использования калия в процессе карбонизации. В качестве независимых переменных приняты процентные соотношения двух компонентов из числа трех, входящих в систему:

2, = [NaCIJ/lKCl] я z2= {HjOJ/ [NaCl].

Р е ш е н и е . Для получения уравнения регрессии был использован ортогональный план второго порядка для 2, N —9, а —1 (рис. 84). Область исследования незави­

симых факторов приведена в таблице

матрица планирования —в табл. 93.

Выборочные дисперсии однородны. Дисперсия воспроизводимости

9

где т —число параллельных опытов.

Коэффициенты уравнения регрессии и их ошибки определены по формулам (V.56) и (V.57):

Табличное значение критерия Стьюдента Го/)б(9) —2, 26. Коэффициенты Ь\2 и Ы2 незначимы.

Уравнение регрессии имеет вид

у = 41,14 — 24,95 *х — 8,55хг +3,1х?

Дисперсия адекватности определена по формуле

где / —число значимых коэффициентов.

Уравнение адекватна эксперименту, так как ^ад<5воспр • Из анализа последнего уравнения регрессии следует, что коэффициент использования калия в процессе полу­ чения КНСОз из сильвинита тем больше, чем выше в нем содержание КС1 и чем меньшее количество воды используется для растворения исходной смеси сухих NaCl

иКС1.

Вглаве описаны методы планирования эксперимента для систем, являющихся смесями q различных компонентов. Факторное простран­ ство при этом представляет собой (q - 1)-мерный симплекс.

Целью исследования сложных многокомпонентных систем являют­ ся построение графиков зависимости свойств от состава и решение задачи оптимизации.

Если порядок аппроксимирующего полинома неизвестен, в общем случае целесообразно применение планов Дрейпера —Лоуренса, минимизирующих систематическое смещение.

При отсутствии априорной информации о поверхности отклика применение композиционных планов даст возможность подобрать адекватную модель.

Если порядок полинома задан, применение D-оптимальных планов позволит построить полином с минимальными ошибками оценок коэффициентов.

Упражнения

1.Каковы преимущества аналитического представления зависимостей состав — свой­ ство для многокомпонентных смесей?

2.Составить симплекс-решетчатые планы для построения моделей третьей и чет­ вертой степени для четырехкомпонентной системы.

3.Построить симплекс-центроидный план для пятикомпонентной системы.

4.Построить D-оптимальный план четвертого порядка для трехкомпонентной системы.

5. Записать координаты точек плана Дрейпера и Лоуренса (1, 2), содержащего 7 точек (табл. 87), для построения полинома второго порядка в трехкомпонентной системе.

6. Изучалась зависимость pH растворов в системе (NH4)2 НРО4 - К2СО - Н2О от

состава. Планирование эксперимента проводилось на локальном участке концентрацион­ ного треугольника (см. рис. 75, а), ограниченного линией насыщения при 0°С. Локаль­ ный участок представлял собой треугольник с вершинами zi (42, 0, 58), Z2 (0, 30, 70),

ках 11, 12, 13 проверить адекватность уравнения регрессии третьего порядка экспери­ менту; ошибка воспроизводимости j Bocnp ""0,45, число степеней свободы / воспр —13.

ЛИТЕРАТУРА

Кафаров В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. —М.: Химия, 1976.

Налимов В. В., Чернова Н. А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. —М.: Наука, 1965.

Налимов В. В. Теория эксперимента. —М.: Наука, 1971.

Налимов В. В., Голикова Т. И. Логические основания планирования эксперимента. — М.: Наука, 1971.

Ахназарова С. Л., Кафаров В. В. Статистические методы планирования и обработки экспериментов. —М.: Изд-во МХТИ, 1972.

Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. —М.: Мир, 1973. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. —М.: Стастистика, 1973. Налимов В. В. Применение математической статистики при анализе вещества. —М.:

Физматгиз, 1960.

Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. —М.: Наука, 1976.

Адлер Ю. П., Грановский Ю. В., Маркова Е. В. Теория эксперимента: прошлое, настоящее, будущее. —М.: Знание, 1982.

Хикс Ч. Основные принципы планирования эксперимента. —М.: Мир, 1967.

Рузинов Л. П. Статистические методы оптимизации химических процессов. —М.: Химия, 1972.

Маркова Е. В., Лисенков А. Н. Планирование эксперимента в условиях неоднород­ ностей. —М.: Наука, 1973.

Горский В. Г., Адлер Ю. П. Планирование промышленных экспериментов (модели статики). —М.: Металлургия, 1974.

Маркова Е. В., Лисенков А. Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. —М.: Наука, 1979.

Хьютсон А. Дисперсионный анализ. —М.: Статистика, 1971.

Балакирев В. С., Володин В. М., Цирлин А. М. Оптимальное управление процес­ сами химической технологии. —М.: Химия, 1978.

Дубров А. М. Обработка статистических данных методом главных компонент. —М.: Статистика, 1978.

Рузинов Л. П., Слободчикова Р. И. Планирование эксперимента в химии и хими­ ческой технологии. —М.: Химия, 1980.

Хартман К., Лецкий Э., Шефер В. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. —М.: Мир, 1977.

Писаренко В. Н., Погорелов А. Г. Планирование кинетических исследований. —М.: Наука, 1969.

Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. —М.: Наука, 1971.

ПРИЛОЖЕНИЕ