Методы оптимизации эксперимента в химической технологии

Условия минимума функции S определяются так же, как для зависимости от одной переменной:

6S

(IV.97)

дах

и система нормальных уравнений имеет вид

согласно (IV 95) выборочный коэффициент корреляции г*. Принимая во внимание, что

получаем систему нормальных уравнений в виде

a l “ b a * rx ix a ~ Ь Ч " * • • Ч " a k rx t x Ji = r y x t »

В системе уравнений (IV99) rxlXm= г*тХГ Для многопараметрических процессов система (IV 99) оказывается высокого порядка и для ее решения необходимо использовать вычислительную машину. Решив систему (IV 99), рассчитывают коэффициент множественной корреля­ ции R:

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи для множественной регрессии:

Для выборок небольшого объема в величину R необходимо внести коррекцию на систематическую ошибку. Чем меньше число степеней свободы выборки / = л—/, тем больше завышается сила связи, оце­

Из уравнения (IV 108) матрица-столбец коэффициентов В опреде­ ляется следующим образом:

Для существования обратной матрицы РСТХ) должна быть не­ вырожденной. В связи с этим при использовании рассматриваемого вычислительного метода необходимо, чтобы переменные х и были линейно независимы. Тогда в матрице независимых перемен­

ных элементы одного столбца не будут линейной комбинацией соответствующих элементов других столбцов.

Для определения остаточной дисперсии определяют матрицустолбец У:

Л

U / n _

Числитель остаточной дисперсии получается умножением матриц:

COVЬкЬ0 COVbkbi

где 0*2 —генеральная дисперсия коэффициента bj\ cov^u —ковариация, или корреляционный момент, между коэффициентами bj и Ьи.

Таким образом, диагональные члены матрицы представляют собой дисперсии коэффициентов, необходимые для проверки гипотезы

значимости, а недиагональные —ковариации соответствующих коэффи­ циентов регрессии, определяющие статистическую зависимость между коэффициентами. Выразим матрицу М [ ( В - Ъ )(В - й)т] через результаты наблюдений, имея в виду, что В = ( X T X ) ~ 'X T Y. В результате получим

М [(Д— Р) (Д— р)г ] = М {(ЛГГ Jf)'1 ХтГ>[(ХтЛГ)"1 х тг>]т) ,

где F0—случайный нормальный вектор с независимыми компонента­ ми, имеющими дисперсии о*:

У1 —т(ух)

У*- m Ы

К° = Y — M (У) =

^Уп—т(уп)_

Матрица коэффициентов нормальных уравнений симметрична и, следовательно,

[(хг дО-1]г = и г лг)~1.

Полагая aft =а£ =...=aftn =-о| и учитывая статистическую неза­ висимость ошибок, получаем

*о

Матрица (ХТХ)~] называется матрицей ошибок или ковариацион­ ной матрицей. Так как ковариационная матрица недиагональна и, следовательно, все коэффициенты регрессии взаимно связаны, нельзя проверить значимость каждого коэффициента в отдельности. Поэтому отношения

можно рассматривать только как средство ранжировки факторов. Используется процедура последовательного исключения незначимых факторов: фактор, для которого tj оказывается наименьшим, исключает­ ся, и расчет повторяется. Исключение факторов производится до тех пор, пока уменьшается остаточная дисперсия. При этом улучшаются интерполяционные свойства уравнения регрессии, однако полученные коэффициенты оказываются смещенными оценками для соответствую­ щих генеральных коэффициентов. При большом числе факторов для расчета множественной регрессии необходимо использовать ЦВМ.

При решении линейных алгебраических систем часто приходите#

тивном случае система обусловлена хорошо. Погрешности в опреде" лении экспериментальных величин х и у сказываются на определяем мых величинах коэффициентов и при плохой обусловленности влекут за собой сильные вариации в значении коэффициентов и, следовав тельно, малую достоверность полученных результатов расчета.

Хорошая или плохая обусловленность тесно связана с величинами определителя матрицы (ХТХ) и ее элементов. Введено большое число различных критериев, определяющих обусловленность.

Для плохо обусловленных систем возникает проблема выбора алгоритма решения. При проведении расчетов по рассмотренному алгоритму на каждом шаге будет возникать некоторая ошибка, на­

В конечном итоге это может привести к достаточно сильному иска­ жению решения. Для таких систем требуются так называемые устой­ чивые алгоритмы, позволяющие исключить появление нежелательных ошибок, связанных, в частности, с плохой обусловленностью. Наибо­ лее общим и наиболее часто используемым подходом является метод

уменьшает вычислительные трудности, возникающие при применении метода наименьших квадратов в задачах большой размерности. МГУА дает возможность решение исходной многофакторной задачи свести к решению большого числа сравнительно простых задач аппроксимации экспериментальных данных функциями двух перемен­ ных —полиномами обычно невысокого порядка. Метод Ивахненко состоит в выборе иерархии частных моделей вместо одной общей модели. На каждой из стадий этого процесса производится отбор наилучших, в некотором смысле, полиномов, которые используются на следующей стадии в качестве фиктивных аргументов новых полиномов.

На рис. 27 приведена схема применения МГУА. Каждая частная модель имеет два входа и один выход. Параметры частных моде­ лей (коэффициенты частных полиномов) подбираются так, чтобы