Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн
.pdfВ(йcos (о>Г - cp + nl 2) |
R |
U |
+ B—cos(ш - <p)= —^-costot (3) |
||
|
L |
В |
Один из эффективных методов решения подобных урав нений сводится к применению векторной диаграммы. На помним, что выражению вида A C O S ( CL)? + а) можно сопоста
вить вектор с длиной А, со |
|
||||
ставляющий |
угол |
а |
с вы |
_________ Ось внешнего |
|
бранной осью X |
В нашем |
||||
случае в качестве оси X |
|(jj U I L / напряжения |
||||
BRIL |
|||||
удобно взять |
ось |
внешнего |
|||
напряжения. |
Тогда |
каждый |
Рис. 4.15 |
||
|
|
|
|
член в уравнении (3) можно отобразить с помощью векторной диаграммы, представлен ной на рис. 4.15. Из нее сразу следует
|
|
и„ |
|
|
5 = |
|
|
|
|
J R 2 +((0L)2 ’ |
|
|
|
tg(p = .toL |
(4 ) |
|
|
R |
|
Таким образом, полное решение уравнения (1) имеет вид |
|||
/(/) = A e x p f N +- 7= Um - - cos(tot-cp). |
|||
V |
L |
) yjR2+{GiLf |
|
Осталось только найти постоянную А. Из условия |
|||
/(0) = 0 находим |
|
|
|
А = - |
-cos(p. |
|
|
|
|
\JR 2 + ((HL)' |
|
И окончательно |
|
|
|
/(0 =- . |
— |
cos((o/-<p)-exp |
R , |
~—t |cos<p |
yjR2+ ((0L fl
где значение ср определяется условием (4).
|
|
|
|
Качественно поведение то |
|||
|
|
|
ка отображено на рис. 4.16. |
||||
|
|
|
Время установления колебаний |
||||
|
|
|
т порядка R/ L. При достаточ |
||||
|
|
|
но 'больших |
временах |
второе |
||
|
|
|
слагаемое в (5) становится пре |
||||
|
|
|
небрежимо малым, и мы прихо |
||||
|
|
|
дим |
к установившимся колеба |
|||
|
|
|
ниям /(/) ос cos((or-<p). |
|
|||
4.2.7. |
Сглаживающий |
фильтр. На рис. 4.17 показана |
|||||
простейшая схема сглаживающего фильтра. На вход подается |
|||||||
напряжение |
U = C/0(l + costof). Найти выходное напряже |
||||||
ние U'(t) . |
|
|
|
|
|
|
|
Для участка цепи 1UR2 закон Ома запишется как |
|
||||||
|
|
RI =U - 1 , |
|
(1) |
|||
|
|
|
где q - мгновенное значение за |
||||
|
|
|
ряда |
конденсатора. Отношение |
|||
U=UQ(1+ cosco/)) - - U' |
q/C |
как раз |
и является |
иско |
|||
мым сглаженным напряжением. |
|||||||
|
|
|
|||||
Рис. 4.17 |
|
С учетом l =dq/dt перепишем |
|||||
|
уравнение (1): |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
q +RCq - C£/0(l + cosow). |
|
(2) |
Как и в предыдущей задаче, решение данного неодно родного дифференциального уравнения состоит из двух сла гаемых. Очевидно, общее решение однородного уравнения имеет экспоненциально затухающий вид и им можно пренеб речь при достаточно больших временах. Поэтому будем ис кать только частное решение уравнения (2). Разумно его взять в виде
где ACU0 - амплитуда гармонической части заряда (величи на А нам пока неизвестна); ф - сдвиг фазы колебаний заряда относительно внешнего напряжения. Наличие постоянной части в (3) очевидно, так как при постоянном входном на пряжении оно все «сядет» на конденсаторе. Подставляя (3) в (2), приходим к тригонометрическому равенству
Acos(ю/ - ф) - RCAcasm(сот—<р)= cosш .
Представим на рис. 4.18 для него векторную диаграмму, заменив sin (ом-ф) на С05(аи-ф + я/2). Из данной диа граммы находим
yjl + (wRC)2 ’
1§ф = 0)ЛС.
Таким образом, напря жение на конденсаторе будет иметь вид
V ' = t - V , 1+ |
rcos(co/—ф) |
yll+((oRC)'
Отсюда следует, что увеличение значения RC приводит к уменьшению амплитуды переменной составляющей на пряжения на выходе по сравнению с постоянной составляю щей напряжения на входе.
4.2.8. Правила Кирхгофа для переменных синусои дальных токов. При протекании переменных токов по раз ветвленным цепям, содержащим индуктивности, емкости и сопротивления, бывает удобно вместо закона Ома приме-
нять правила Кирхгофа аналогично тому, как это делается для постоянных токов.
Первое правило Кирхгофа применимо без всяких изме нений. Это следует из того, что точки схождения проводов (узлы) обладают пренебрежимо малыми емкостями и в них не накапливаются заряды. Поэтому в любой момент времени сумма токов, подходящих к узлу, должна быть равна сумме токов, отходящих от узла.
Для того чтобы понять, как будет работать второе пра вило Кирхгофа, рассмотрим метод, отличающийся от метода векторных диаграмм только по форме. В этом методе колеб лющаяся величина представляется уже не вектором, а комплексным числом. Пусть, например, колеблющаяся ве личина х изменяется по закону х = Лcos (см + а ). Тогда, ис
пользуя |
известную формулу Эйлера exp(icp) = cos(p + /sin<p |
(i= V = i |
- мнимая единица), величину х можно представить |
как вещественную часть выражения
Re£Ae'(<0,+a)J = Acos(cor + a) = х.
Условимся опускать знак взятия вещественной части Re и писать просто
х = Ае‘(ш+а)
Это символическое равенство не следует понимать бук вально. Его понимают в том смысле, что величина х равна вещественной части выражения, стоящего в этом равенстве справа. Модуль этого комплексного выражения А равен ам плитуде колебания, а его аргумент ш + a —фазе.
Рассмотрим теперь в разветвленной цепи какой-либо замкнутый контур (рис. 4.19). Применим к этому контуру теорему о циркуляции напряженности электрического поля при наличии переменного магнитного поля
теорема запишется в виде
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
X ' Л |
Ск |
У |
к |
( 1) |
|
|
|
* V |
|
at |
|||
|
Пусть электродвижущие си |
|
|
||||
лы |
|
меняются |
во |
времени |
|
|
|
по |
синусоидальному |
закону, |
|
|
|||
т.е. |
в |
комплексном |
|
виде |
|
|
|
%к |
exp(icof). Тогда при |
уста |
|
|
|||
новившихся процессах токи 1к |
|
|
|||||
будут меняться во времени ана |
|
|
|||||
логично |
с некоторым |
сдвигом |
|
|
|||
фазы 1к «с ехр[/ (со/ + а ) ] . В этом |
|
Рис. 4.19 |
|||||
случае с учетом соотношений |
|
|
|||||
|
|
dt |
= ico/t , |
<7* = \lkdt = ~ |
l k |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение (1) примет вид |
|
|
|
||||
|
|
к |
i?*+icoZ*- |
к |
(2) |
||
|
|
|
|
соС,к J |
|
||
|
В сокращенном виде равенство (2) можно записать как |
||||||
|
|
|
X Z ,/ . = ! * • ,, |
|
(3) |
||
где |
величины Z* |
называются комплексными сопротивле |
ниями (импедансами). Для чисто омического сопротивления Z = R - активное сопротивление; для катушки индуктивно сти Z = iwL - индуктивное сопротивление; для конденсатора Z = -i/coC - емкостное сопротивление. Равенство (3) и есть
второе правило Кирхгофа для переменных синусоидальных токов.
Все результаты, полученные формальным применением правил Кирхгофа к постоянным токам, в комплексной форме сохраняются и для установившихся синусоидальных токов. В частности, при параллельном соединении комплексных со противлений Zt результирующее сопротивление Z опреде ляется как
Применение комплексной формы позволяет часто избе жать громоздких формул и делает сами формулы более об щими и обозримыми. Следует только помнить, что в полу ченных окончательных выражениях должна быть оставлена только вещественная часть.
Рассмотрим для примера подключенные к генератору переменного напряжения с ЭДС % =%’0cosa>t, соединенные
параллельно индуктивность и конденсатор (рис. 4.20). По первому правилу Кирхгофа
|
/ + /2 = V |
(5) |
L |
По второму правилу для |
контура |
|
LC получаем |
|
|
t'coZ,• / , — —/2 =0, |
(6) |
|
©С |
|
|
а для контура JTZ, |
|
|
ё ’= icoL• /,. |
(7) |
|
Из системы уравнений (5)-(7) не |
|
|
трудно найти как значение тока |
I , под |
питывающего колебательный |
контур |
LC, так и токи /, |
||
и /2. В частности, |
|
|
|
|
|
/ = g |
|
(8) |
|
|
|
mL |
|
|
где = 1/VZC . Найдем вещественную часть выражения (8). |
||||
С помощью формулы Эйлера получаем |
441sin со/ |
|||
/ = Re |
g 0exp(i(Df)i(0L |
[‘-411 aL |
||
|
|
“ о |
J. |
l <% J |
При (0= % ток / обращается в нуль и, следовательно,
/, = /2. Это означает, что колебания в контуре становятся со вершенно независимыми от внешнего генератора, т.е. для поддержания колебаний генератор фактически не нужен. Причина здесь в том, что при со = ц, (т.е. при coL = l/coC) комплексное сопротивление контура Z обращается в беско нечность и колебания в нем носят резонансный характер. Это сразу следует из формулы (4). В этом случае колебательный контур становится для тока генератора абсолютно непрони цаемым! Возникает законный вопрос, как в колебательном контуре могли появиться токи /, = /2, если его сопротивле ние переменному току бесконечно велико? Дело здесь в том, что соотношения, которыми мы пользовались, относятся только к установившимся состояниям. Эти состояния уста навливаются в результате переходных процессов, во время которых ток во внешней цепи не равен нулю. В это время в колебательный контур поступают заряды и токи, идет на копление электромагнитной энергии. Это происходит до тех пор, пока в любой момент времени напряжения на конденса торе и катушке индуктивности не уравновесятся внешним приложенным напряжением. Тогда дальнейшее поступление
новых зарядов и токов в колебательный контур прекратится и начнут совершаться свободные колебания, как если бы кон тур был автономной колебательной системой. Разумеется, незатухающие колебания в колебательном контуре без по ступления энергии извне возможны только при отсутствии омического (активного) сопротивления контура.
4.2.9.Колебания в двухпроводной линии. Рассмотрим
теперь задачу о распространении электрических зарядов в длинной двухпроводной линии, в которой с помощью гене ратора могут возбуждаться переменные токи высокой часто ты (система Лехера). Связь проводов с генератором может быть либо емкостной, либо индуктивной. Примем, что по от ношению к поперечным размерам системы условие квазиста ционарности выполнено, а по отношению к продольным раз мерам - нет (для частот около сотни мегагерц длина линии составляет несколько метров). Поэтому электрические токи в проводах не квазистационарны, сила тока I , а также ли нейная плотность заряда q существенно изменяются вдоль проводов.
Пусть для конкретности данная двухпроводная линия является коаксиальным кабелем, не обладающим активным сопротивлением (рис. 4.21).
1{х) + + + 1(х+Ах)
х+Ах
Рис. 4.21 |
Рис. 4.22 |
Схематично данная линия отображена на рис. 4.22. При выполнении условия квазистационарности по отношению к поперечным размерам можно ввести емкость и индуктив ность единицы длины - С0 и Так как ток / изменяется
со временем, то наличие индуктивности вызовет падение на
пряжения между |
проводами, |
различное |
вдоль |
оси X |
Для расчета U(x) |
выделим |
небольшой |
контур |
ABCD |
(см. рис. 4.22) и применим к нему основной закон электро магнитной индукции <^Etdl =-d<bldt. Интеграл по контуру
равен U(x +Ax)-U(x) (напомним, что сами провода не об
ладают активным сопротивлением). Производная же dФ/dt
будет равна l^Ax |
dl Id t. Таким образом, |
|
|||
|
U(x + Ax)-U(x) ~ -L,Ax^~ . |
|
|||
|
|
|
|
dt |
|
С |
учетом |
приближенного |
равенства |
U(x + Ах) - |
|
„ , Л dU . |
|
|
|
|
|
-U (х) |
= — Ах последнее соотношение принимает вид |
||||
|
дх |
|
|
|
|
|
|
a t/ |
Э/ |
( 1) |
|
|
|
дх ~ |
^ d t |
|
|
|
|
|
|
||
Так как 1(х) Ф 1(х + Дх), то на участке Дх |
появляется |
||||
заряд q = C0AxU |
Скорость изменения этого заряда dq/dt = |
||||
= С0Дх • dU / dt |
должна быть |
равна разности токов |
|||
1{х) - I(x +Ах) ~ -d l /dx-Ax. Таким образом, |
|
||||
|
|
К - - Г |
Ш . |
(2) |
|
|
|
дх |
0 dt |
' |
|
В уравнениях (1) и (2) мы поставили знаки частных про изводных, подчеркивая, что значения тока и напряжения за висят от двух переменных х и /. Эти уравнения называются основными уравнениями двухпроводной линии передачи.
Объединяя их, нетрудно получить уравнения, описывающие процессы распространения тока и напряжения вдоль проводов
Э2/ _ 1 Э2/
Э/2 CQLQ дх2’
(3)
d2U _ 1 Э2{/ Э/2 ” С0^ Эх2 '
Уравнения (3) являются типично волновыми уравне ниями, т.е. в однородной цередающей линии напряжения и токи распространяются вдоль линии как волна со скоростью
1
Ас о
Если линия бесконечна, то вдоль нее распространяется бегущая волна. Из механики волновых процессов известно, что в бегущей волне выполняется равенство плотностей ки нетической и потенциальной энергии. Здесь же выполняется равенство
из которого следует
Это соотношение похоже на закон Ома, но аналогия чисто внешняя, так как здесь U - напряжение между прово дами, т.е. вдоль прямой, перпендикулярной току. В законе же Ома речь идет о напряжении вдоль провода, по которому те чет ток. Величина
называется волновым сопротивлением линии.