Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4628 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн

.pdf
Скачиваний:
53
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
10.2 Mб
Скачать
☆

а интеграл берется по длине / -й стороны (они пронумерова­ ны цифрами 1, 2, 3 и 4 на рис. 3.2). Так как длина любой сто­ роны много меньше расстояния до точки Р , то приближенно можно записать

В, = И0

4к rf

Здесь 5, - вектор, имеющий направление тока на i -й стороне

с длиной, равной стороне квадрата а\ rt

-

радиус-вектор,

проведенный из середины г-й стороны

в

точку Р (см.

рис. 3.2).

 

 

Найдем сначала сумму В, и В3:

 

 

By + В3=iv [JMl+lMl

 

4 7 1 1

г,3

г /

'

Теперь учтем, что

- -а,

и ij=r3 * r

Тогда

By + В3

НоI

te O S - iQ ]

 

 

471

 

г 3

 

Кроме того, на рис. 3.2 видно, что г, - г3 = а2 и [а,й2] =

= а'п . Таким образом, получаем

 

 

В, +В3

Ц0/Д П _ НрРт

 

 

4т1г3

4яг3

 

(мы учли, что 1а2п равно магнитному моменту рт).

Займемся теперь оставшейся суммой В2 и В4:

В2+В4 =M /IMI+IMJ

(1)

4я { г23

г43

 

 

 

 

 

а

. -

 

а . п

 

 

 

 

Гл~г +—sm0,

г, ~ г --- sin 8.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В->+ Вл = Но7

 

•

[a2hl

у

+ 'г

[“S A]

 

 

 

4яг

 

„

 

\3

 

 

 

 

 

1 - — sin© |

 

1 + — sin0

 

 

 

 

 

.

2г

J

1

2г

J

>

Или

с

 

 

ТОГО,

ч т о

 

#4 —~&2»

 

и гл+ г2 ~2 г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б _

Ию7

г ~ ~ 1

ЗЦр/а

,

 

(2)

 

 

 

 

 

 

4да4 sin0-[n4r]

(при

этом

мы учли

приближенные

формулы

(1+ JC)3 «

«1 + Зх, —-— ~ 1 - х

для д:«: 1). Так как произведение [54а, ]

 

1+ *

 

 

 

 

 

 

 

 

равно а2п , то первое

слагаемое

в

(2)

будет равно

VoPml4nr'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

__

р

 

 

Введем теперь единичный вектор

 

~~

т, касательный к окружности радиуса

 

 

 

 

 

 

г с

центром в точке О

и проходящей

 

 

\

через векторы

рт и г

Направление

 

 

 

этого вектора привяжем к направлению

 

 

 

отсчета угла 0 (рис. 3.3). С использо­

 

Рис. 3.3

ванием данного вектора второе слагае­

 

мое в (2) можно записать как

 

 

 

 

 

 

 

Зр0/а2г

. Q _

3йо|[л,г]|-

 

 

 

 

■

—s m 8 x = ----- ------- LT .

 

 

 

 

4яг4

 

 

г4

 

 

 

а

+ л

. л ц ь + 2 : I I M LX.

(3)

2

4

4пг3 /'и '

4пг4

 

И в итоге, складывая (1) и (3), получаем

 

В = В „ + В = - ^ г рт+-

т,

(4)

 

"

т 2яг3 Ит

4яг4

 

где векторы

и Вт

представлены на рис. 3.4. Здесь же

представлена картина линий вектора В . Не правда ли, очень напоминает картину линий вектора Е поля электрического диполя? На самом деле эти картины аб­

солютно идентичны. Для того чтобы

 

убедиться в этом перепишем выражение

 

(4) через составляющие поля вдоль на­

 

правлений векторов

рт и г После не­

 

сложных преобразований приходим к

 

следующему выражению

 

д _ ЗЦ0 (pmr)r \10рп

 

4пг

(5)

 

4пг

 

А это полностью совпадает с полу­

Рис. 3.4

ченным нами ранее

выражением для

 

вектора Е поля точечного электрического диполя (форму­ ла (5) в задаче 1.1.5).

И в заключение найдем модуль вектора В. Приме­ нив теорему косинусов к выражению (4) или (5), нетрудно получить

fi= i % V T 7 w 0 ,

(6)

4лг

 

что также полностью совпадает с выражением для модуля

вектора Ё поля точечного электрического диполя. Вот по­ чему элементарный контур с током называют магнитным ди­ полем (по аналогии с электрическим'диполем).

3.1.2. Поле плоских контуров. На практике часто при ходится иметь дело с проводниками, находящимися в одной плоскости с заданной точкой поля. В этом случае закон БиоСавара приобретает особенно простой вид. Так как точка на­

блюдения находится в плоскости проводника, то вектор dB

от любого линейного элемента тока Idl перпендикулярен

плоскости проводника, и тогда интеграл jdB сводится к ин­

тегралу от модуля dB :

р.0/ (гЯвтф

где <р - угол между направлением элемента тока и направле­

нием на данную точку пространства Р (рис. 3.5). Очевидно, dl sin ф = rd<p. И тогда для В получаем

B = b L

О)

4п 1г(ф) ’

 

/где интегрирование производится по

/

dl

всем

углам,

под которыми распола­

гаются выбранные элементы тока по

 

 

 

 

отношению

к некоторому фиксиро­

 

 

ванному направлению. Рассмотрим

 

 

теперь некоторые

приложения

фор­

 

 

мулы (1).

 

 

 

Р

 

 

1.

Поле кругового тока в центре.

 

Для

всех

углов

г(ф) = R,

где

Рис. 3.5

 

 

 

 

 

R - радиус окружности. Тогда

2. Поле в фокусе эллипса, большая и малая полуоси ко­ торого равны соответственно а и b . Известно, что уравне­

ние эллипса в полярной системе координат имеет вид

 

 

' V4v

lл+ ecoscp »

 

где р =Ь2 /а - фокальный параметр; е = л/а2 - b 21а >1 - экс­

центриситет. Тогда

 

 

 

 

 

в _ М

2г 0 + ecos<p)rf(p _ ц0/

р0д/

 

4я

о

Р

2р

2Ь2

3.

Поле прямолинейного тока на расстоянии Ъ от него

(рис. 3.6). В данном случае удобно зависимость г(ф) пере­

вести в зависимость r(a) = fc/cosa. Тогда

 

 

В =М 7

cosa^a _ р0/

 

 

 

4я J /2 b

~2пЬ

 

Рис. 3.6

4.Поле в центре правильного и-угольника, вписанного

вокружность радиуса R (рис. 3.7). Понятно, что нам доста­ точно найти поле Вх от одной стороны п -угольника и затем

помножить на число сторон. Каждая сторона видна из центра под углом а 0 = 2л / п , причем b = /?cosa0 / 2. Тогда восполь­

зовавшись решением предыдущей задачи, получаем

В =2M T c o s a r f a =- ^ t g ^ - =i^ - t g - .

1

4лЬ

0J

 

 

2nR 6 2

2nR

л

 

И полное поле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В =пВ1

iV ^ t

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2nR

л '

 

 

 

Очевидно, при

л —»«> это выражение переходит в вы­

ражение для поля кругового тока ( 1йпл_>оо(л • tg л In) = я ).

 

—X

 

5. Поле плоской спирали. Тонкий изолиро-

( и [ ) ] \ \

ванный

провод образует плоскую

спираль

из

i I \У f S / J

N

плотно расположенных витков, по которым

---- '

протекает ток /

Радиусы внутреннего и внеш-

J I

него

витков

равны

соответственно

а

 

и b (рис. 3.8). Найти индукцию

В в центре

Рис. 3.8 спирали и магнитный момент.

 

 

 

Уравнение спирали можно представить в виде

 

 

г(ф) = а + Ъ -а

 

0<<р<2яУ

 

 

 

 

 

 

2лЫ Ф.

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J - M 7

f — - f t g L h i .

 

 

 

 

4я

о

а +—

 

Ф 2(Ь~ а)

а

 

 

 

 

 

 

2nN

 

 

 

 

Разбивая

спираль на

 

малые

секторы

площадью

dS = -^г2^ф , ее полный магнитный момент можно записать

в виде

 

 

/ , 2 . / 2п?

Ь - а

ЛN1 ! 2

л .J_____ /г\

 

3.1.3. Поле полусферы. Деревянный шар радиусом R обмотан тонкой проволокой так, что все витки параллельны между собой. Витки плотно уложены и покрывают половину поверхности шара в один слой (рис. 3.9). По проволоке течет ток / . Найти магнитное поле в центре

шара. Общее число витков N Витки

 

можно считать кольцами, находящими­

 

ся на равном расстоянии по дуге боль­

 

шого круга, плоскость которого пер­

 

пендикулярна плоскости колец.

 

Разумно задавать положение л-го

 

витка через угол ф„, под которым ви­

 

ден край витка из центра сферы относи-

Рис. 3.9

тельно оси симметрии: фп =nn/2N . Опираясь на закон БиоСавара, нетрудно получить значение индукции магнитного

поля в центре

сферы

от

одиночного

витка с радиусом

Гп = RsinФ„:

 

 

 

 

 

В

=

\dlsin ф

= -^ -sin 2 ф .

"

4nR2 1

"

2R

Тл

Иполное поле N витков

Я=2 Х = — £ s in2— •

^" 2 R t \ 2N

Входящая сюда сумма является известной:

N

1

N

cos(N + l)jc-sin№t

.

£

sin HJC=

----------2

-------7-----------

fiS

 

2sin JC

 

Внашем случае х = п/ 2N Тогда окончательно получаем

Д, И./(№ + 1)

4R

3.1.4. Поле треугольной пластины. Определить индук­ цию магнитного поля в центре однородной металлической пластинки, имеющей форму равностороннего треугольника

со стороной I , если ток I подводится по проводам, присое­ диненным к двум вершинам треугольника. Магнитным полем подводящих проводов пренебречь.

Понятно, что прямой аналитический расчет представля­ ет большую проблему. Во-первых, необходимо рассчитать распределение токов по пластине и, во-вторых, по найденно­ му и, скорей всего, не простому распределению токов опре­ делить создаваемое ими поле. Нас могут спасти только сооб­ ражения симметрии. Треугольник - довольно симметричная фигура, и точка О , в которой ищем поле, является центром симметрии. Для того чтобы воспользоваться соображениями симметрии добавим еще один проводник к третьей вершине треугольника. Подведем теперь к точкам А и В одинаковые токи 1/3 (рис. 3.10, а). Тогда из точки С должен выйти ток 2//3.

В силу симметрии картина распределения поверхност­ ных токов (отображена пунктирными линиями) внутри пла­ стины должна быть симметричной относительно биссектри­ сы СС' А это означает, что индукция магнитного поля на

линии СС' обращается в нуль. Подведем теперь к точке А ток 2//3 (рис. 3.10, б). В этом случае через точки В и С должны выйти одинаковые токи 1/3. Опять же в силу сим­ метрии картина распределения поверхностных токов будет симметричной относительно биссектрисы АА' , и во всех точ­ ках на ней магнитное поле равно нулю. При наложении обе­ их рассмотренных картин складываются как токи, так и их поля. При сложении токов к узлу А будет подводиться сум­ марный ток / , и этот же ток отводится через узел С (именно это и было заложено в условии задачи). К узлу В ничего не поступает и не отводится, т.е. введенный нами искусст­ венно третий проводник не играет никакой роли. Но при на­ ложении полей в центре треугольника, который принадлежит одновременно прямым АА' и СС' , складываются поля, рав­ ные нулю. Значит, в точке О индукция магнитного поля бу­ дет равна нулю (это касается только центра симметрии!).

3.1.5. Поле токов, распределенных по поверхности. На практике часто встречаются задачи, в которых требуется рассчитать магнитное поле, созданное каким-либо участком плоской поверхности, по которой протекают поверхностные токи. В такой ситуации удобно ввести понятие вектора ли­ нейной плотности тока i Это вектор, направленный вдоль линий тока, и его модуль равен силе тока, приходящегося на единицу длины, перпендикулярной току (она играет роль «поперечного сечения»). Тогда составляющая вектора маг­ нитной индукции, параллельная поверхности и перпендику­ лярная вектору линейной плотности тока i , определяется формулой Вц =р0/£2/4я. Здесь Q - телесный угол, под ко­

торым виден участок поверхности из рассматриваемой точки (аналогичное соотношение рассматривалось нами ранее и для электрического поля - см. задачу 1.1.12).

Для доказательства выделим на рассматриваемой по­ верхности бесконечно малый прямоугольный участок пло­

щадью 6S =6а-6b (рис. 3.11). Расстояние от него до рас­ сматриваемой точки - г , а угол, под которым виден участок 6S по отношению к нормали к поверхности, - 0. По закону Био-Савара участок 6S создает магнитное поле с индукцией

 

p05fc[6af,F]

р055[Гг]

 

ОВ = ----------:----------------- г

 

 

4пг

 

4пг

 

 

 

Выберем систему координат

2

^ ё

так,

чтобы ось X совпала с на-

“ 5Вц

правлением тока, а ось Z совпада­

 

 

ла с нормалью к элементу 6S (см.

 

 

рис. 3.11). В этом случае нас будет

 

Y

интересовать проекция вектора 6В

 

 

на ось Y (именно это направление

 

 

параллельно плоскости протекания

рис_з. 11

тока

и

перпендикулярно вектору

I )

65

4тгг3

В соответствии с правилом раскрытия векторного про­

изведения нетрудно показать, что [*т]у =i-z =ir cos0. Тогда

5в p0i 65 cos 9

у4п г2

Входящий сюда множитель 5Scos9/r2 представляет собой по определению телесный угол 5£2, под которым ви­ ден элемент 6S из рассматриваемой точки пространства. Та­ ким образом,

6 B = ^ 6 Q .

'471

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности