Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн
.pdfВоспользуемся теперь связью векторов D и Е :
D = ег0Е . Отсюда следует: |
|
|
|
|
Ei(r<a) |
А _ |
Я |
|
|
е0е, |
4яе0е,г2 ’ |
|
||
|
|
|||
Е2(г> а) |
|
Я |
( 1) |
|
е0£2 |
4пе0е2г2 |
|||
|
|
Эти формулы свидетельствуют о том, что если однород ный диэлектрик целиком заполняет пространство между эк випотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов, то напряженность электрического поля внутри диэлектрика уменьшается в е раз по сравнению с полем в отсутствие ди электрика. Кроме того, на границе диэлектриков напряжен ность электрического поля испытывает разрыв.
Для определения поверхностной плотности связанных зарядов на границе раздела диэлектриков а' воспользуемся граничным условием для вектора поляризации
^2п ~Pin=~а »
которое можно переписать через значения напряженности электрического поля в первом и втором диэлектрике вблизи границы раздела:
( ®2е0 ^ 2 —* 1е0 Е 1)| г=а = ”
( ж, и ж2 - диэлектрические восприимчивости диэлектриков). После подстановки сюда значений Ех и Е2 из (1) с уче
том связи ж и 8 находим
& = г1~ е ^ _ я и
е,е2 4па
Отсюда видно, что знак а' зависит от соотношения ди электрических проницаемостей е, и е2.
1.43. Объемно заряженный диэлектрический шар. Находящийся в вакууме шар радиусом R из однородного ди электрика с диэлектрической проницаемостью е содержит равномерно распределенные по объему сторонние заряды с объемной плотностью р. Найти модули векторов Е и D
как функцию расстояния г до центра шара, а также поверх ностную и объемную плотности связанных зарядов.
Так как нам задано распределение сторонних зарядов, то воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D с учетом его симметрии (этот вектор, как и вектор Е , должен иметь только радиальную составляющую). Тогда при r< R полу
чаем 4кг2D = р —яг3. Откуда находим
|
D = |
|
е = |
- = |
- £ - Г |
||
|
|
|
|
86Q |
3B£Q |
||
При r> R |
4кг |
2 |
|
4 |
3 |
и тогда с учетом того, что |
|
|
D = р—яЛ |
|
|||||
е = 1, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
D = р £ |
|
|
Зе„г.2 • |
|||
|
|
|
3г2 |
|
|
||
Заметим, |
что |
на |
границе диэлектрика с вакуумом |
||||
( г = Л ) происходит |
скачок напряженности электрического |
||||||
поля Е , чего нет для индукции D . |
|
||||||
Поверхностная |
плотность |
|
поляризационного заряда |
||||
ст' связана с поляризованностью Р соотношением |
|||||||
|
|
|
|
с' = Рп = же0£ . |
|||
Здесь Е - |
напряженность электрического поля внутри |
||||||
диэлектрика при г = R , равная pR / Зее0. Тогда
3ee0 e 3
Для определения объемной плотности связанных за рядов р' обратимся к уравнению
divP = -р '
С учетом связи Р = же0Ё получаем
р' = —aee0divE.
По теореме Гаусса div£ определяется полной плотно стью заряда в данной точке, т.е. div£ = (p + p')/e0. Это при водит нас к уравнению
р' = -а580Р+Р'
Откуда
8 - 1
р = ------- Р- 8
Этот результат говорит о том, что в однородном диэлек трике не существует объемной плотности связанных зарядов, если внутри его нет сторонних зарядов.
1.4.4. Шар из диэлектрика в электрическом поле. Шар радиусом R из однородного и изотропного диэлектрика находится в однородном электрическом поле напряженно стью Е0. Найти напряженность электрического поля внутри и вне шара.
До поляризации такой шар можно представить как од нородную смесь положительного и отрицательного электричеств с объемными плотностями +р' и -р ' (модель диэлек трика как совокупности положительной и отрицательной
«жидкостей»). При наложении внешнего ©поля все положительные заряды сдвига ются относительно отрицательных на не которое малое расстояние 61 (рис. 1.39).
При этом возникает однородная поляриза ция шара. Выделим внутри диэлектрика
Рис 1 39 малый объем ДV . При возникно ляризации входящий в этот объем поло
жительный заряд p'AV сместится относительно отрицатель ного заряда на величину 61 Это приводит к тому, что дан ный объем приобретает дипольный момент 6p = p'AV6l
Разделив обе части этого равенства на ДV , получаем выра жение для дипольного момента единицы объема, т.е. вектор поляризации Р :
Р = р'бГ |
(1) |
Ранее (см. задачу 1.2.7) мы выяснили, что в области пе ресечения двух шаров, равномерно заряженных разноимен ными зарядами с плотностями +р и -р , появляется одно родное поле с напряженностью
£ = - р61 |
(2) |
Зе0 |
|
В дальнейшем все величины, относящиеся к шару, бу дем снабжать индексом 1, а к пространству вне шара - ин дексом 2. Из сопоставления формул (1) и (2) следует, что собственное поле Щ (поле зарядов поляризации) внутри равномерно поляризованного шара связано с его поляризованностью Р соотношением
Р
Зе0
Полное поле внутри шара Ёу скла
дывается из двух частей: внешнего поля
Ё0 и собственного поля зарядов поля
ризации Ё[ (рис. 1.40):
Е1=Ёй+Ё1= Ё0 , Зе0
или с учетом связи Р = зее0Ё1
Ё1=Е0 - ^ Ё 1.
Откуда сразу находим напряжен ность электрического поля внутри шара:
Ё .= - ^ - Ё 0. |
(3) |
‘ е + 2 0 |
|
Поляризованность такого однородно поляризованного шара
- |
_ |
£“ 1 - |
(4) |
Р —3£Е0Е1= Зе0 |
—£*0, |
||
|
|
8 + 2 |
|
а его дипольный момент |
|
|
|
p =V -Р =4TES0/?3 ——-Ё 0. |
(5) |
||
|
0 |
е + 2 0 |
|
Опираясь на выражение (4), нетрудно найти и поверхно стную плотность зарядов поляризации:
п' = ' >" = 38» 7 7 ? £«-' е + 2
где Е0п - проекция вектора Е0 на нормаль к шару, равная
Е0п =Е0cos 8 , 0 - угол между нормалью к шару в данной
точке и вектором Ё0. Тогда для ст' получаем
/£—1
o' = Зе0------ |
E0cos0. |
0 e + 2 |
0 |
Полное поле вне шара Ё2 также складывается из двух
частей: внешнего поля Е0 и собственного поля диполя вне
шара Ё2 (см. рис. 1.40):
Ё2 = Ё0 + Ё'2. |
(6) |
В задаче 1.1.5 нами было получено выражение для на пряженности электрического поля диполя через его диполь ный момент р :
Е т п |
4 я е „ |
3(pr)i Р_
3
Это выражение можно использовать для расчета собст венного поля вне шара, если выразить дипольный момент че рез вектор поляризации
p =V P =- n R 3P
и3
Таким образом, собственное поле зарядов поляризации вне поляризованного шара
Для точек, лежащих на поверхности шара ( г - R )t
« - з У Х * ) * - '
где Я - единичный вектор внешней нормали к поверхности шара.
Ограничимся для простоты расчетом полного поля вблизи «полюсов» поляризованного шара (т.е. в точках А и В). Для них
Е' |
|
|
или с учетом выражения (4) |
|
|
Ё2 =2— |
Ё0. |
|
2 |
е + 2 |
0 |
Подставляя это выражение в (6), найдем напряженность
электрического поля вне шара вблизи его «полюсов»: |
|
Ё2 = |
(7) |
Из сопоставления выражений (7) и (3) |
следует |
Е2/ £, = е , что и следовало ожидать. Кроме того, из выраже ния (7) видно, что происходит сгущение внешнего поля вбли зи «полюсов» однородно поляризованного шара. При доста точно больших е происходит увеличение поля почти в 3 ра за. Этот вывод хорошо согласуется с результатом задачи 1.3.5 о поведении проводящего шарика в однородном элек трическом поле, так как формально проводник можно пред ставить как диэлектрик с бесконечно большой диэлектриче ской проницаемостью ( е — Попробуйте доказать, что во всех точках поверхности шара выполняются граничные усло вия для векторов Е и D : Dln = D2n, Eu —Е2т.
Указание. Учесть определение вектора D: D =е0Е + Р Если диэлектрический шарик находится во внешнем не
однородном поле, то кроме поляризации появляется еще и сила, втягивающая шарик в область усиления поля. Найдем ее. Так как поляризованный шарик представляет собой то чечный диполь, то со стороны неоднородного поля Е0(х)
появляется сила (см. задачу 1.1.8):
„дЕо
F = P 1 7 '
или с учетом выражения (5)
С Е гЛ
F = 4яе0/?3 ——
0 е +2дх \
Именно эта сила обусловливает притяжение легких на электризованных тел.
1.4.5. Поле в полости внутри диэлектрика. Найти на
пряженность электрического поля Ё' в сферической полос ти, вырезанной внутри бесконечного равномерно поляризо ванного диэлектрика. Напряженность электрического поля
в диэлектрике равна Е Если полость заполнить тем же равномерно поляризо
ванным диэлектриком, то к полю полости Е добавится поле
равномерно поляризованного шара Щ, которое было найде
но в предыдущей задаче1
1 |
Зе0 ’ |
где Р - поляризованность шара. В результате должно полу
читься поле Ё , т.е.
Откуда
Ё'
или с учетом связи Р = зее0Е :
Ё'= £ + 2 Ё.
1.4.6. Диэлектрическая пластина в «косом» поле.
Пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемо стью е помещена в однородное электрическое поле так, что
ее нормаль составляет угол а 0 с напряженностью Ё0
(рис. 1.41). Найти напряженность электрического поля внут ри пластины.
Будем полагать, что пластина достаточно длинная и искажением поля вблизи ее краев можно пре небречь. В силу заданной симмет рии электрическое поле внутри пластины останется однородным, происходит только преломление силовых линий вектора Ё . Вос пользуемся граничным условием для вектора Ё :
Е, = Е0х, где Ех и Е0х - касательные составляющие полей внутри пла
стины и вне ее вблизи поверхности. Из рис. 1.41 следует |
|
£T= E0sina0. |
(1) |
Используем теперь граничные условия для вектора D :
Dn = Дол»
где Dn и D0n - нормальные составляющие вектора D внутри и вне пластины вблизи ее поверхности. Это условие можно переписать через проекции Еп и Е0п:
|
£%Еп = £QE0II . |
|
|
Откуда находим |
|
|
|
Е |
_ Еоп = g0cosa0 |
(2) |
|
" |
е |
е |
|
Соотношения (1) и (2) позволяют найти модуль вектора напряженности электрического поля внутри пластины:
Е =у]Ех2 + Епг = E0Jsin2 а0+ |
< е 0. |
Кроме того, из этих соотношений можно найти и угол преломления а линий вектора Е
Ет
—L = tga = e t g a 0.
Ьп
Таким образом, линии вектора Ё входят в диэлектрик под большим углом, т.е. происходит их преломление, но само поле уменьшается, как это показано на рис. 1.41.
1.4.7. Точечный заряд над плоской границей диэлек трика. Точечный заряд q находится в вакууме на расстоя
нии Л от плоской границы однородного диэлектрика, запол няющего все полупространство. Проницаемость диэлектри ка е . Найти напряженность электрического поля во всем пространстве и распределение поверхностной плотности свя занных зарядов.
Точечный заряд вызовет поляризацию диэлектрика и на его поверхности появится связанный заряд с некоторой плот ностью o' (рис. 1.42). В некотором смысле эта ситуация очень похожа на поведение точечного заряда вблизи прово дящей плоскости. Вспомним, что одним из методов расчета электрического поля точечного заряда над проводящей по верхностью является метод изображе ний. В связи с этим возникает вопрос:
а нельзя ли воспользоваться этим мето дом (или подобным ему) и найти рас пределение поля в нашей задаче? Для