Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн

Динамика движения кольца подчиняется известному из механики уравнению моментов

Q = Рт В

L

Осталось только найти величины рт и L. Так как масса кольца и его заряд сосредоточены на окружности радиу­ сом R, то

L = mR2(0, рт = InR2=

(здесь мы явно учли, что с о » Q , - только в этом случае век­ торы L и рт направлены вдоль вектора со).

Таким образом, окончательно получаем

Частоту Q называют частотой ларморовой прецессии или просто ларморовой частотой. Примечательно то, что ее значение не зависит ни от скорости вращения кольца, ни от

угла между векторами В и со (или рт). Полученный резуль­

тат имеет большое значение для объяснения диамагнитных свойств веществ.

3.23.Виток около прямого провода. Небольшой виток

стоком (контур) находится на расстоянии г от длинного пря­ мого проводника с током I . Магнитный момент витка равен рт . Найти модуль и направление силы, действующей на виток,

при различных его ориентациях относительно прямого тока. Значение силы, действующей на элементарный контур

с током в неоднородном магнитном поле, определяется вы­ ражением

ВдВ

Р~ Рт--- •

тдп

Здесь дВ/дп - производная вектора В по направлению нор­ мали п или по направлению вектора магнитного момен­ та рт . Несмотря на кажущуюся простоту этого выражения, его практическая реализация требует отчетливого понимания понятия «производная по направлению». Для ее расчета не­ обходимо вначале задать вектор небольшого перемеще­ ния 8г в заданном направлении неоднородного магнитного поля (8r ТТ рт| . Затем отобразить векторы В, и В2 в ис­

ходной и конечной точках перемещения и найти вектор при­ ращения ЬВ =В2 - В Х. Тогда модуль производной дВ/дп бу­ дет равен отношению 8В /8г, а направление силы, дейст­ вующей на магнитный диполь, будет совпадать с направлением вектора 8В .

Рассмотрим вначале ситуацию, когда вектор рт парал­ лелен прямому проводнику с током (рис. 3.23, а). В этом слу-

чае вектор малого перемещения 5г параллелен току. Так как индукция магнитного поля прямого тока зависит только от расстояния до заданной точки, то В1=В1 и 8В = В2 - Bt = 0. Отношение 8В/8г, очевидно, равно нулю, значит, и сила, действующая на магнитный диполь, также равна нулю.

В2

ра г . Зададим небольшое перемещение бг ТТ г (рис. 3.23, б,

Последний вариант - вектор рт совпадает по направле­ нию с вектором В в месте нахождения витка ^ ртТТ Вj . За-

дадим малое перемещение 8r ТТ рт , т.е. вдоль касательной

к линии вектора В (рис. 3.23, в, вектор рт параллелен век­ тору бг и на рисунке не отображен). Модуль бг = гбф. Тогда

8г |бв| = |в2-Я,|«Яб<р = — В.

Сейчас приращение ЬВ обусловлено изменением на­

правления вектора В , но не изменением его величины {В -

и направлена эта сила вдоль вектора бВ , т.е. контур притяги­ вается к прямому току.

3.2.4. Взаимодействие коротких катушек. Две неболь­ шие одинаковые катушки расположены так, что их оси лежат на одной прямой (рис. 3.24). Расстояние между катушками I значительно превышает их линейные размеры. Число витков каждой катушки N , площадь витков S . С какой силой взаимодействуют ка­ тушки, если по их обмоткам протекают

токи /, и /2?

Заложенное в условии задачи тре­ бование малости линейных размеров катушек по сравнению с расстоянием между ними позволяет нам считать их

элементарными витками (магнитными диполями). Их ди­ польные моменты

Таким образом, наша задача сводится к расчету взаимо­ действия двух магнитных диполей, когда их оси расположе­ ны на одной прямой, которую примем за ось X . Будем пола­ гать, что одна из этих катушек, например, первая является источником магнитного поля, а вторая находится в этом по­ ле. Тогда с учетом решения предыдущей задачи имеем

Здесь дВ/дх - производная от индукции магнитного поля, созданного первой катушкой в месте расположения второй катушки в направлении ее оси. В задаче 3.1.1 нами было по­ лучено выражение для индукции магнитного поля на оси ди­ поля на расстоянии х от него:

В(х) = VoPml 2пх3

Осталось только найти производную дВ/дх в точке х =1 и подставить ее в (2). Тогда с учетом выражений (1) по­ лучаем

„ _ з ц , /,/г(д а)!

причем, если токи одного направления, то катушки притяги­ ваются, если разных направлений, то отталкиваются.

3.2.5.Разрыв катушки в магнитном поле. Катушку

стоком / поместили в однородное магнитное поле так, что

ее ось совпала с направлением поля. Обмотка катушки одно­ слойная из медного провода диаметром d , радиус витков R .

При каком значении индукции внешнего магнитного поля обмотка катушки может быть разорвана?

Попробуем вначале разобраться, откуда появляется си­ ла, разрывающая обмотку катушки. Для этого рассмотрим один из ее витков. Из рис. 3.25 видно, что для появления си­ лы разрыва направление внешнего магнитного поля должно составлять с направлением тока правовинтовую систему В противном случае катушка будет сжиматься.

В

элемента с внешним магнитным полем dF. Из условия рав­ новесия элемента dl следует

где da - угол, под которым виден этот элемент из центра ка­ тушки. В соответствии с рис. 3.26

Т > о т — >а =Т /(nd2/4) > стт .

Таким образом, разрыв произойдет при значении

B>ixd2am/4RI

3.2.6. Давление внутри соленоида. По длинному соле­ ноиду, имеющему п витков на единицу длины, течет ток / Найти давление, действующее на боковую поверхность соле­ ноида.

Так как собственное поле внутри соленоида образует с током правовинтовую систему, то в соответствии с решени­ ем предыдущей задачи давление на витки соленоида направ­ лено изнутри. Для определения этого давления выделим мысленно небольшой элемент поверхности соленоида d S , на который изнутри действует сила dF Тогда давление

Нетрудно показать, что сила Ампера dF , действующая на поверхностный элемент тока соленоида,

dF = idS ■В' = IndS ■В'

Здесь / - линейная плотность тока (ток, приходящийся на единицу длины вдоль соленоида); В' - индукция магнитного поля, созданного в месте нахождения данного элемента тока

к рис. 3.27, на котором отражен участок поверхности со­

элемента d S , а близкая к ней точка 2 - внутри соленоида. Значение поля & в точках 1 и 2 должно быть одинаковым, так как между ними нет никаких токов (следствие теоремы о циркуляции вектора В). Пусть индукция магнитного поля самого элемента dS вблизи него равна В3

(рис. 3.28, сверху и снизу элемента векто­

хххры В3 имеют противоположное направле­

леноид с током I и числом витков на единицу длины п на­ ходится в аксиально-симметричном магнитном поле, ось симметрии которого совпадает с осью соленоида. Найти мо­ дуль силы, действующей на соленоид, если магнитные пото­ ки, входящий и выходящий через торцы соленоида, равны Ф, и Ф2.

Выделим на соленоиде узкий кольцевой слой шири­ ной dz (рис. 3.29). На любой элемент такого слоя длиной dl будет действовать сила

dF =i- dzdl ■В ,

где i - линейная плотность тока. Эта сила имеет две проек­

ции: радиальную - dFr и осевую - dF.. В силу аксиальной

симметрии поля сумма всех радиальных составляющих сил dFr, очевидно, обратится в нуль. Сумма же осевых состав­

dFz =ШФ

Интегрируя это выражение по всем элементам боковой поверхности соленоида (только там протекает ток), получаем

F = i<Рбок ’

где Фбок - магнитный поток через всю боковую поверхность соленоида. Этот поток в силу теоремы Гаусса для магнитного поля (jBdS = 0 будет равен модулю разности магнитных по­ токов через торцы соленоида

- ^ 1 Таким образом, окончательно получаем

F = /|<J>1-<t>2| = //i|01-<I>2|. (1)

Воспользовавшись этим результатом, найдем силу, с ко­ торой одна половина бесконечно длинного соленоида дейст­ вует на другую половину. Радиус соленоида R .

Разделим мысленно беско­ нечно длинный соленоид на две полубесконечные половинки (рис. 130). Пусть левая поло­ винка является источником ак­ сиально-симметричного поля, а правая находится в этом поле. Токи в обеих половинках имеют одинаковое направление, по­

этому они притягиваются с силой, даваемой выражением (1). Пусть Ф, - магнитный поток, входящий через левый торец правой половинки соленоида. Так как правый край этой по­ ловинки соленоида уходит в бесконечность, то, очевидно, магнитный поток через него равен нулю (Ф2 = 0). В задаче 3.1.9 мы уже находили значение поля на торце полубесконечного соленоида: В = p0i/ 2. Поэтому

Ф, = |Л0/я/?2 / 2 = \L0nlnR2 / 2. Для силы взаимодействия получаем

'2

3.2.8.Проводник в электролите. Внутри длинного ци­ линдрического сосуда радиусом а параллельно его оси распо­ ложен проводящий стержень радиусом b с тонкой изоляцией. Расстояние между осями стержня и сосуда равно /. Сосуд за­ полнили электролитом и пустили вдоль оси ток I , возвра­ щающийся обратно по стержню. Найти модуль и направление магнитной силы, действующей на единицу длины стержня.

Данная задача является прекрасной иллюстрацией того, насколько отличаются по трудоемкости различные подходы к решению. У нас есть два варианта. В первом случае вначале необходимо разбить каждый проводник на тонкие линейные