Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн

3.3.4. Парамагнитная жидкость в капилляре. Длин­ ный соленоид, намотанный на тонкостенный капилляр, по­ гружен одним концом в парамагнитную жидкость на глуби­ ну, значительно превышающую его диаметр (рис. 3.45). Плотность жидкости р, магнитная проницаемость р . На­

сколько поднимется уровень жидкости в капилляре, если по соленоиду пропустить ток / ? Число витков на единицу дли­ ны соленоида равно п .

соленоида вблизи конца, находящего­ ся в парамагнетике. Понятно, что, прежде всего, нам необходимо рас­ считать эту силу взаимодействия. Для этого выделим вертикальный столбик жидкости с площадью сечения, рав­ ной площади сечения соленоида S

(выделен пунктирной линией). На каждый малый элемент этого столбика толщиной dx действует сила

,г , dB

dF=dPm~ Г ’ dx

где dpm - магнитный момент выделенного элемента столби­

ка; dB/dx - вертикальный градиент индукции магнитного поля в месте нахождения данного элемента. Правда, здесь возникает вопрос, о каком поле идет речь? Это индукция маг­ нитного поля в присутствии магнетика или собственное поле

соленоида без магнетика? Полное поле в магнетике В скла­

дывается из двух полей: внешнего поля В0, созданного тока­

ми проводимости, и собственного поля В' , созданного тока­

Под действием данной силы жидкость будет поднимать­ ся до тех пор, пока эта сила не уравновесится силой тяжести выступающего над первоначальным уровнем на высоту h столбика жидкости (пренебрегаятсолебаниями)

Приравнивая (1) и (2), получаем

/1_ Ц0(Ц~1 )п2! 2

2рg

3.3.5. Провод над сверхпроводящей плоскостью. Над плоской поверхностью сверхпроводника параллельно этой поверхности подвешен тонкий прямолинейный провод на расстоянии h от плоскости. По проводу течет постоянный ток / Найти распределение линейной плотности сверхпро­ водящих токов по поверхности сверхпроводника и силу, дей­ ствующую на единицу длины проводника.

Как отмечалось во введении к данному параграфу, внут­ ри сверхпроводника нет магнитного поля и нет объемнораспределенных токов. Вытеснение магнитного поля обу­ словлено появлением поверхностных индукционных токов, которые согласно правилу Ленца препятствуют всякому из­ менению магнитного потока внутри сверхпроводника. Эти поверхностные токи возбуждают такое магнитное поле, ко­ торое компенсирует внутри сверхпроводника внешнее маг­ нитное поле. Данная ситуация очень напоминает поведение проводника в электрическом поле. Компенсация внешнего электрического поля внутри проводника происходит из-за появления индуцированных зарядов на поверхности провод­ ника. И при наличии определенной симметрии формы про­ водников для расчета полей мы использовали так называе­ мый метод электрических изображений. Посмотрим, нельзя ли воспользоваться аналогичным приемом и для расчета маг­ нитного поля.

Метод изображений в электростатике основан на под­ гонке потенциала под граничные условия. Мы находим дру­

гую конфигурацию зарядов, для которой поле вектора Е в интересующей нас части пространства остается тем же. При этом линии вектора Е должны подходить к поверхности проводника перпендикулярно. А что должно быть в случае магнитного поля? Нетрудно понять, что линии вектора В должны быть параллельными поверхности сверхпроводника. Это связано с теоремой Гаусса для вектора В . Возьмем не­ большую замкнутую поверхность,

часть которой Sx находится в вакууме, прилегая к поверхности сверхпровод­ ника, другая часть S2 - внутри сверх­

проводника (рис. 3.46). Так как 5 = 0

Рис. 3.46

на поверхности сверхпроводника, то из

соотношения (jBdS=0 сразу следует, что Вп на 5, также

равно нулю, т.е. линии вектора В вне сверхпроводника па­ раллельны его поверхности.

Таким образом, в нашей задаче необходимо подобрать такой фиктивный линейный ток, который в сумме с задан­ ным линейным током над поверхностью сверхпроводника создал магнитное поле, подходящее параллельно поверхно­ сти сверхпроводника. Нетрудно сообразить, что в случае плоской поверхности сверхпроводника фиктивный линейный ток /' должен быть равным току / и являться зеркальным отражением реального тока I относительно поверхности сверхпроводника, а его направление противоположно току / Только в этом случае мы получим заданную конфигурацию поля вблизи поверхности сверхпроводника (рис. 3.47). Можно сказать, что суммарное действие всех поверхностных токов эквивалентно действию искусственно введенного тока /'

Поверхностные токи с линейной плотностью i' в нашем случае на­ правлены перпендикулярно рисунку из чертежа к нам. Их величина свя­ зана с полем В теоремой о циркуля­ ции вектора В . Обратимся к рис. 3.46 (теперь пунктирной линией изо­ бражен маленький контур). Из тео­ ремы cjBdl =ц0/ сразу следует, что

т.е. для определения i необходимо знать распределение поля В вблизи поверхности сверхпроводника, которое складыва­ ется из двух частей:

В = В++В_.

здесь В+ - поле тока I , В_ - поле тока / '. Модули этих по­

nh

33.6. Магнитик над сверхпроводником. На какой вы­ соте h постоянный магнитик с магнитным моментом рт

и массой т будет парить над плоской горизонтальной по­ верхностью сверхпроводника?

Для того чтобы понять, почему

Рт

магнитик зависает над сверхпровод­ ником, представим магнитик в виде небольшого витка с током (магнит­ ный диполь). Как мы уже знаем из предыдущей задачи, любой малый элемент тока зеркально отражается относительно поверхности сверхпро­ водника со сменой направления тока (рис. 3.48). Это приводит к отталки­ ванию проводника с током от сверх­ проводника. Так как сила отталкива­ ния убывает с увеличением расстоя­

ния до сверхпроводника, то при наличии силы тяжести маг­ нитик зависнет над сверхпроводником на некоторой высоте. Это произойдет при выполнении условия

где FMmi - сила магнитного взаимодействия реального кон­ тура с током и его изображения. Осталось только выяснить,

вкаком положении контур зависнет над сверхпроводником (это определяет силу отталкивания). Нетрудно понять, что

вположении устойчивого равновесия плоскость витка долж­ на быть параллельна поверхности сверхпроводника, т.е. век­

тор магнитного момента рт будет направлен перпендику­

лярно поверхности сверхпроводника. Если, например, виток из равновесного положения повернуть против часовой стрел­ ки, то расстояние между точками А и А' уменьшится (см. рис. 3.48). Это влечет за собой увеличение силы отгап-

кивания между элементами, близкими к этим точкам. Рас­ стояние же между точками В и В' возрастет, что приводит к уменьшению силы отталкивания между элементами, близ­ кими к этим точкам. В итоге при любом малом отклонении витка от положения равновесия появляется момент сил, воз­ вращающий виток в прежнее состояние.

Сила взаимодействия магнитика с магнитным моментом рт и магнитного поля, созданного токами сверхпроводимо­ сти, определяется выражением

дв

(2)

где дВ/дх - градиент магнитного поля вдоль вектора рт.

Это поле эквивалентно полю зеркально отраженного магнит­ ного диполя, для которого нами было ранее получено выра­ жение (формула (6) задачи 3.1.1 при 0 = 0):

Подставляя это выражение в (2), получаем

ЗРоРт_ _ ЗЦрРт

Тогда из (1) находим

4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА

4.1. Электромагнитная индукция

До сих пор мы занимались задачами, в которых рас­ сматривались электрическое и магнитное поле по отдельно­ сти, не обнаруживая никакой связи между ними. Это было возможно, потому что поля являлись статическими. На самом деле электрическое и магнитное поле являются компонента­ ми единого электромагнитного поля, соотношение между ко­ торыми в решающей степени зависит от системы отсчета. Например, движущийся с постоянной скоростью заряд в не­ подвижной системе отсчета создает как электрическое, так и магнитное поле, причем эти поля являются переменными во времени. Если же перейти в систему отсчета, движущуюся вместе с зарядом, то, так как в ней заряд покоится, мы на­ блюдаем только электрическое поле.

Кроме того, существует и более глубокая связь между электрическим и магнитным полями и обнаруживается это в явлениях электромагнитной индукции. Это одно из наибо­ лее фундаментальных открытий в электродинамике. Заклю­ чается оно в том, что в замкнутом проводящем контуре при любом изменении магнитного потока Ф, связанного с этим контуром, появляется индукционный электрический ток.

Знак минус в этой формуле связан с так называемым правилом Ленца: индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей. Соот­ ношение (1) замечательно тем, что в нем никак не оговарива­ ется причина изменения магнитного потока и, по сути, явля­