Контрольные вопросы

1) Для чего проводят разбиение факторного эксперимента на блоки?

2) С чем может быть связан временной дрейф при проведении экспериментов?

3) Как вводится в план эксперимента дополнительная независимая переменная, характеризующая межблоковый дрейф?

4) В силу чего межблоковый дрейф не будет оказывать влияние на оценку свободного члена, линейных членов и парных взаимодействий?

5) Для чего проводятся отсеивающие эксперименты?

6) Какие методы планирования отсеивающих экспериментов Вы знаете?

7) В каких случаях используют насыщенные планы в отсеивающих экспериментах?

8) В каких случаях для отсеивания используют метод случайного баланс?

Лекция 10 Композиционные планы

Почти стационарную область обычно удается описать полиномом второго порядка [1]. При построении квадратичных моделей двухуровневый эксперимент не обеспечивает необходимого числа опытов, в то же время использование трехуровневых планов может привести к большому числу опытов. Более эффективными оказываются композиционные планы, которые строятся на базе двухуровневых планов (ядро плана) с добавлением экспериментов в центре плана (нулевые точки) и на некотором расстоянии α от центра плана (звездные точки) [1, 6].

Для двухфакторного эксперимента при композиционном планировании получаются 9 опытов, как и в трехуровневом двухфакторном эксперименте 3²=9.

Для трехфакторного эксперимента получаем 15 опытов: 8 как при ПФЭ, одна нулевая точка, 6 звездных точек, что меньше чем в плане 3³. Расстояние звездных точек выбирается в зависимости от требований, предъявляемых к плану (рис.1).

Рисунок 1 – Опыты в композиционном плане

Для обеспечения ортогональности плана звездные точки выбираются следующим образом: при двухфакторном эксперименте равными α=1,0, при трехфакторном α=1,215, четырехфакторном α=1,414 и т.д. Таким образом, получают ортогональный центральный композиционный план.

В ряде случаев боле эффективным считается ротатабельный центральный композиционный план. Он обеспечивает одинаковую дисперсию прогноза при равных расстояниях от центра плана [1, 6]. В этом случае при двухфакторном эксперименте α=1,414, при трехфактоном эксперименте α=1,682, четырехфакторном α=2.

10.1 Ортогональное планирование второго порядка

При составлении матрицы планирования возникает вопрос выбора величины плеча звездных точек и числа нулевых точек. В матрице для центрального композиционного планирования второго порядка не все вектор-столбцы ортогональны [1]. Скалярные произведения

(1)

так как х_0u =1, а неотрицательные величины не могут быть все равными нулю.

Для получения ортогонального планирования второго порядка проводят преобразования квадратичных переменных и специальным образом выбирают звездные плечи.

Преобразования квадратичных переменных:

(2)

Тогда будут равны нулю первые (1) скалярные произведения, не ортогональными остаются вектор столбцы для квадратичных членов:

Подбором величины звездного плеча обеспечивается ортогональность для планирования второго порядка (табл.1)

Таблица 1 – Величина звездного плеча при ортогональном планировании

	Число независимых переменных
	2	3	4	5
Ядро планирования Величина α	22 1,0	23 1,215	24 1,414	25-1 1,547

В силу ортогональности планирования все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга по формуле:

, (3)

где i обозначает порядковый номер столбца в матрице планирования.

Дисперсия коэффициентов регрессии оценивается по формуле:

(4)

Уравнение регрессии после преобразования квадратичных переменных записывается в форме:

Чтобы перейти к обычной форме записи находят величину свободного члена:

которая оценивается с дисперсией погрешности:

10.2 Ротатабельное планирование второго порядка

К ротатабельным планам приходится обращаться тогда, когда надо минимизировать систематические ошибки, связанные с неадекватностью представления результатов исследования полиномами второго порядка. Ротатабельным будет такое планирование, у которого корреляционная матрица (X^тХ)^-1 инвариантна к ортогональному вращению координат [1]. Это условие для планов второго порядка выполняются, если все нечетные моменты, вплоть до четвертого порядка, равны нулю, а для четных моментов имеет место соотношение:

где N –количество опытов в матрице плана;

, - константы, выбираются из условия невырожденности матрицы (X^тХ) и удовлетворяют условию

При выполнении равенства матрица (X^тХ) становиться вырожденной.

Свойство ротатабельности не инвариантно к изменению масштабности независимых переменных. Планирование, обеспечивающее постоянство информации в интервале 0 ≤ ρ ≤ 1 называется униформ – ротатабельным ( <<1). При этом теряется ортогональность:

Cov(b₀b_ii)≠0,

Cov (b_ii b_jj )≠ 0.

Ротатабельные планы с равномерным расположением точек на сфере приводят к вырожденным матрицам [1]. Для устранения этого принимают комбинации ротатабельных планов с различными радиусами сферы. Композиционные центральные ротатабельные планы (РЦКП) состоят из точек трех сфер: центральные точки N₀, точки куба N_c и звездные точки N_α. Величина звездного плеча вычисляется по формуле:

α = 2^(k-p)/4

где р- дробность факторного эксперимента.

Планы РЦКП приведены в табл.2.

Таблица 2 – Планы РЦКП

α	Nα	N0	Nc	N	k Число факторов
1,41	4	5	4	13	2
1,682	6	6	8	20	3
2	8	7	16	31	4
2,378	10	10	32	52	5
2,828	12	15	64	91	6

Число нулевых точек выбирается из условия получения униформ - планирования. Ротатабельные планы не требуют ортогонализации вектор столбцов, поэтому никаких преобразований переменных при составлении матрицы планирования не делается [1]. Коэффициенты регрессии b_i, b_ij определяются независимым образом, а коэффициенты b_ii, коррелированны между собой и корреляционно связаны со свободным членом b₀.

Коэффициенты регрессии вычисляются по формулам (5), а дисперсии погрешностей коэффициентов регрессии - по формулам (6) [1].

(5)

где . , ,

n₀ - число нулевых точек, n_п- число периферийных точек

(6)

Значимость коэффициентов регрессии проверяется по критерию Стьюдента:

, (7)

где α – уровень значимости критерия, принимается равным 0,05;

f – число степеней свободы, равное n-k-1;

– оценка стандартной ошибки погрешности вычисления коэффициентов регрессии;

t_αf – табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы f.

При выполнении неравенства (7) проверяемый коэффициент регрессии считается незначимым, он подлежит исключению из структуры модели регрессии.

Адекватность модели оценивается по критерию Фишера пользуясь дисперсионным отношением:

, (8)

где - остаточная дисперсия модели;

- дисперсия воспроизводимости опытов в матрице планирования;

α – уровень значимости критерия, принимается равным 0,05;

f1, f2 – число степеней свободы для и .

- табличное значение критерия Фишера для уровня значимости α и числа степеней свободы f1 и f2.

При выполнении соотношения (8) регрессионное уравнение считается адекватным, т.к. остаточная дисперсия модели не превышает дисперсию погрешностей опытов.