6.2 Полный факторный эксперимент и математическая модель

эксперимента

Как уже говорилось ранее, для планирования эксперимента прежде всего необходима модель самого эксперимента и, как правило, математическая. В качестве таковой может рассматриваться то или иное уравнение, описывающее зависимость между значениями факторов и параметром оптимизации, т.е. функция отклика. Как правило, стараются выбрать линейную модель следующего вида:

y = b₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ + b₃ x₃ + …

В данном параграфе будем рассматривать эксперимент типа 2^k , т.е. математическая модель эксперимента имеет вид:

y = b₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ .

Цель работы с подобными моделями сводится к поиску неизвестных коэффициентов функции отклика. Данную задачу можно решать методами регрессионного анализа, в частности, методом наименьших квадратов. Используя матрицу планирования, процедуру поиска коэффициентов можно упростить – они вычисляются по формуле:

(1)

Благодаря кодированию факторов, процедура вычисления коэффициентов значительно упрощается. Как же найти третий коэффициент, b₀? Если уравнение y = b₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ справедливо, то оно справедливо и для средних значений, т.е.

В силу свойства симметрии матрицы

,

следовательно,

Чтобы привести формулу для вычисления b₀ в соответствие с формулой (1), в матрицу планирования удобно ввести вектор-столбец фиктивной переменной х₀ , которая во всех опытах приобретает значение +1. Тогда, формула (1) примет вид:

, (2)

а формула линейной модели –

y = b₀ x₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ .

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния фактора. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то между данным фактором и параметром оптимизации наблюдается прямая связь, т.е. при росте фактора возрастает и параметр оптимизации. Если же коэффициент имеет знак минус, то между данным фактором и параметром оптимизации обратная связь, т.е. при росте фактора параметр оптимизации уменьшается. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого на верхний или нижний уровень.

Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от нижнего к верхнему уровню. Вклад, определенный таким образом, называется эффектом фактора (основным или главным эффектом). Численно он равен удвоенному коэффициенту.

Планируя эксперимент, на первом этапе мы стремимся получить линейную модель. Однако нет никакой гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. Один из наиболее часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов.

Полный факторный эксперимент позволяет численно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого, пользуясь правилом перемножения, получаем вектор–столбец х₁х₂ (см. табл.1), при вычислении коэффициентов взаимодействия пользуемся уже проверенной формулой (1), в которую в качестве значений факторов подставляем новый столбец.

Таблица 1 – Матрица планирования

№ x₀ x₁ x₂ x₁x₂ y

1 +1 –1 –1 +1 y₁

2 +1 +1 –1 –1 y₂

3 +1 –1 +1 –1 y₃

4 +1 +1 +1 +1 y₄

Модель такой матрицы будет выглядеть следующим образом:

y = b₀ x₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ + b₁₂ x₁x₂ .

Столбцы x₁ и x₂ задают планирование – по ним непосредственно определяются условия опытов, а столбцы x₀ и x₁x₂ служат только для расчета, это вспомогательные столбцы.

Эффект взаимодействия x₁x₂ носит название эффекта первого порядка или парного эффекта. Соответственно, эффект взаимодействия x₁x₂x₃ носит название эффекта взаимодействия второго порядка или тройного эффекта и т.д. Вообще эффект взаимодействия максимального порядка в полном факторном эксперименте имеет порядок, на единицу меньший числа факторов. Полное число всех возможных эффектов, включая b₀ , линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента. Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться формулой:

где k – число факторов, n – число элементов во взаимодействии.