5.3. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

1. Надежность. Доверительные интервалы. Пусть   оцениваемый параметр,  его оценка, составленная из Х₁, X₂,…,X_n.

Если известно, что оценка является несмещенной и состоятельной, то по данным выборки вычисляют значение и считают его приближением истинного значения . При этом среднее квадратическое отклонение (если его вообще вычисляют) оценивает порядок ошибки. Такие оценки называют точечными. Например, в предыдущем пункте речь шла о точечных оценках генеральной средней и генеральной дисперсии. В общем случае, когда о распределении признака X ничего не известно, это уже немало.

Если же о распределении имеется какая-либо информация, то можно сделать больше.

В данном пункте речь будет идти об оценке параметров а и  случайной величины, имеющей нормальное распределение. Это очень важный случай. Например (см. 4.5, п. 6), результат измерения имеет нормальное распределение. В этом случае становится возможным применять, так называемое, интервальное оценивание, к изложению которого мы и переходим.

Пусть  > 0  некоторое число. Если выполняется неравенство , т.е. , что можно записать в виде , то говорят, что интервал ( ) покрывает параметр . Однако невозможно указать оценку , чтобы событие { } было достоверным, поэтому мы будем говорить о вероятности этого события. Число  называют точностью оценки .

Определение. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки параметра  для заданного  > 0 называют вероятность  того, что интервал ( ) покроет параметр , т.е.

Заметим, что после того как по данным выборки вычислена оценка , событие { } становится или достоверным, или невозможным, так как интервал ( ) или покрывает , или нет. Но дело в том, что параметр  нам неизвестен. Поэтому мы называем надежностью  уже вычисленной оценки вероятность того, что интервал ( ), найденный для произвольной выборки, покроет . Если мы сделаем много выборок объема п и для каждой из них построим интервал ( ), то доля тех выборок, чьи интервалы покроют , равна .

Иными словами,  есть мера нашего доверия вычисленной оценке .

Ясно, что чем меньше число , тем меньше надежность .

Определение. Доверительным интервалом называют найденный по данным выборки интервал ( ), который покрывает параметр  с заданной надежностью .

Надежность  обычно принимают равной 0,95, или 0,99, или 0,999,

Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный доверительный интервал покрывает параметр . Но в этом можно быть уверенным на 95% при  = 0,95, на 99% при  = 0,99 и т.д. Это означает, что если сделать много выборок, для 95% из них (если, например,  = 0,95) вычисленные доверительные интервалы действительно покроют .

2. Доверительный интервал для математического ожидания при известном . В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение  ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно. Например, если измерения производятся одним и тем же прибором при одних и тех же условиях, то  для всех измерений одно и то же и обычно бывает известно.

Итак, пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами а и , причем  известно. Построим доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а с заданной надежностью . Данные выборки есть реализации случайных величин Х₁, Х₂,..., Х_n, имеющих нормальное распределение с параметрами а и  (см. 5.2, п. 1). Оказывается, что и выборочная средняя случайная величина тоже имеет нормальное распределе-ние. При этом (см. 5.2, п.п. 2, 3)

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение , где   заданная надежность. Пользуясь формулой (7) (см. 4.5, п.5), получаем или , где (1)

Найдя из равенства (1) , можем написать

Так как Р задана и равна , то окончательно имеем (для получения рабочей формулы выборочную среднюю заменяем на ): Смысл полученного соотношения таков: с надежностью  можнo утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а; точность оценки Здесь число t определяется из равенства (оно следует из 2Ф(t) = ) по таблице приложения 2.

Как уже упоминалось, надежность  обычно принимают равной или 0,95, или 0,99, или 0,999.

Пример 1. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально с известным  = 0,40. Найти по данным выборки доверительный интервал для а с надежностью  = 0,99, если п =20, = 6,34.

Решение. Для находим по таблице приложения 2 t = 2,58. Следовательно, .

Концы доверительного интервала 6,34  0,23 = 6,11 и 6,34 + 0,23 = 6,57. Итак, доверительный интервал (6,11; 6,57) покрывает а с надежностью 0,99.

3. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном . Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестными нам параметрами а и . Оказывается, что случайная величина (ее возможные значения будем обозначать через t)

(п  объем выборки,  выборочная средняя, S  исправленное среднее квадратическое отклонение) имеет распределение, не зависящее от а и . Оно называется распределением Стьюдента⁵. Плотность вероятности распределения Стьюдента дается формулой

где коэффициент В_n зависит от объема выборки. Потребуем, чтобы выполнялось соотношение где   заданная надежность.

Так как S(t, п)  четная функция от t, то, пользуясь формулой (9) (см. 4.4), получаем

Отсюда Следовательно, приходим к утверждению: с надёжностью  можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а, точность оценки . Здесь случайные величины и S заменены неслучайными величинами и s, найденными по выборке.

В приложении 3 приведена таблица значений для различных значений n и обычно задаваемых значений надежности.

Заметим, что при n  30 распределение Стьюдента практически не отличается от нормированного нормального распределения (см. 4.5, п. 5). Это связано с тем, что

Пример 2. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найти доверительный интервал для с надежностью  = 0,99, если п =20, = 6,34, s = 0,40.

Решение. Для надежности  = 0,99 и n = 20 находим по таблице приложения 3 = 2,861. Следовательно, Концы доверительного интервала 6,34  0,26 = 6,08 и 6,34 + 0,26 = 6,60. Итак, доверительный интервал (6,08; 6,60) покрывает с надежностью 0,99.

4. Доверительный интервал для среднего квад-ратического отклонения. Для нахождения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения  будем использовать следующее предложение, устанавливаемое аналогично двум предыдущим (см. п.п. 2 и 3).

С надежностью  можно утверждать, что доверительный интервал (s  sq; s + sq) покрывает неизвестный параметр ; точность оценки  = sq.

В приложении 4 приведена таблица значений q = q(, п) для различных значений п и обычно задаваемых значений надежности .

Пример 3. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найти доверительный интервал для _Г с надежностью  = 0,95, если п = 20, s = 0,40.

Решение. Для надежности  = 0,95 и п = 20 находим в таблице приложения 4 q = 0,37. Далее sq = . Концы доверительного интервала 0,40  0,15 = 0,25 и 0,40 + 0,15 = 0,55. Итак, доверительный интервал (0,25; 0,55) покрывает _Г с надежностью 0,95.

Примечание. Выше предполагалось, что q < 1. Если q > 1, то, учитывая, что  > 0, получаем Значения q и в этом случае определяются по таблице приложения 4.

Пример 4. Признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п =10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,16. Найти доверительный интервал для _г с надежностью 0,999.

Решение. Для надежности  = 0,999 и n =10 по таблице приложения 4 находим q = 1,80. Следовательно, искомый доверительный интервал таков: или

5. Оценка истинного значения измеряемой величины. Пусть производится п независимых равноточных измерений⁶ некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины X₁, Х₂, ..., Х_n. Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии ² (измерения равноточны) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом). Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в пунктах 2 и 3 настоящего параграфа, выполняются, следовательно, мы вправе использовать полученные в них предложения. Так как обычно  неизвестно, следует пользоваться предложением, найденным в пункте 3 данного параграфа.

Пример 5. По данным 9 независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений =42,319 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=5,0. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины с надежностью  = 0,99.

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном ) при помощи доверительного интервала

покрывающего а с заданной надежностью  = 0,99.

Пользуясь таблицей приложения 3 по  = 0,99 и п = 9, находим t_ = 3,36. Найдем точность оценки:

Концы доверительного интервала 42,3195,60 = 36,719 и 42,319 + 5,60 = 47,919. Итак, с надежностью  = 0,99 истинное значение измеряемой величины а заключено в доверительном интервале 36,719 < а < 47,919.

6. Оценка точности измерений. В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения  случайных ошибок измерений. Для оценки  используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Поскольку обычно результаты измерений независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточных измерений), то утверждение, приведенное в пункте 4, применимо для оценки точности измерений.

Пример 6. По 16 независимым равноточным измерениям найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,4. Найти точность измерений с надежностью  = 0,99.

Решение. Как отмечено выше, точность измерений характеризуется средним квадратическим отклонением  случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервала (s  sq; s + sq), покрывающего  с заданной надежностью  = 0,99 (см. п. 4). По таблице приложения 4 по  = 0,99 и n = 16 найдем q = 0,70. Следовательно, искомый доверительный интервал

0,4 (1  0,70) <  < 0,4 (1 + 0,70) или 0,12 <  < 0,68.