Решение. Используя формулу (11), имеем

По таблице (см. приложение 2) находим Ф(0,3) = 0,1179. Поэтому = 0,2358.

Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероятностей большое значение. Нормальному закону подчиняется вероятность при стрельбе по цели, в измерениях и т.п. В частности, оказывается, что закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин,

влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, близок к нормальному распределению. Этот факт, называемый центральной предельной теоремой, был доказан выдающимся русским математиком А.М.Ляпуновым (1857  1918).

6. Распределение случайных ошибок измерения. Пусть производится измерение некоторой величины. Разность х  а между результатом измерения х и истинным значением а измеряемой величины называется ошибкой измерения. Вследствие воздействия на измерение большого числа факторов, которые невозможно учесть (случайные изменения температуры, колебание прибора, ошибки, возникающие при округлении, и т.п.), ошибку измерения можно считать суммой большого числа независимых случайных величин, которая по центральной предельной теореме должна быть распределена нормально. Если при этом нет систематически действующих факторов (например, неисправности приборов, завышающих при каждом измерении показания приборов), приводящих к систематическим ошибкам, то математическое ожидание случайных ошибок равно нулю.

Итак, принимается положение: при отсутствии систематически действующих факторов ошибка измерения есть случайная величина (обозначим ее через Т), распределенная нормально, причем ее математическое ожидание равно нулю, т.е. плотность вероятности величины Т равна где  среднеквадратическое отклонение величины Т, характеризующее разброс результатов измерения вокруг измеряемой величины.

В силу предыдущего результат измерения есть также случайная величина (обозначим ее через X), связанная с Т зависимостью X = а+ Т. Отсюда: М(Х) = а, (Х) = (Т) = и X имеет нормальный закон распределения.

Заметим, что случайная ошибка измерения, как и результаты измерения, всегда выражаются в некоторых целых единицах, связанных с шагом шкалы измерительного прибора; в теории удобнее считать случайную ошибку непрерывной случайной величиной, что упрощает расчеты.

При измерении возможны две ситуации:

а) известно (это характеристика прибора и комплекса условий, при которых производятся наблюдения), требуется по результатам измерений оценить а;

б) неизвестно, требуется по результатам измерений оценить а и .

4.6. Закон больших чисел

1. Неравенство Чебышёва.

Лемма. Пусть X  случайная величина, принимающая только неотрицательные значения. Тогда

(1)

Теорема. Для любой случайной величины X при каждом положительном числе имеет место неравенство

(2)

Неравенство (2) называют неравенством Чебышёва.

Пример 1. Пусть случайная величина X имеет D(X)= =0,001. Какова вероятность того, что X отличается от М(Х) более чем на 0,1?

Решение. По неравенству Чебышёва

Примечание. Отметим другую форму неравенства Чебышёва. Так как событие, выражаемое неравенством , противоположно событию, выражаемому неравенством , то (см. 4.2, п.1, следствие)

Отсюда с учетом неравенства (2), получаем другую форму неравенства Чебышёва:

(3)

2. Закон больших чисел Чебышёва.

Теорема (теорема Чебышёва; закон больших чисел). Если дисперсии независимых случайных величин Х₁,Х₂, ...,Х_п ограничены одной и той же постоянной С, D(X_i) С (i = 1, 2, ..., n), то, каково бы ни было > 0, вероятность выполнения неравенства , где будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин п достаточно велико, т. е.

(4)

Частный случай теоремы Чебышёва. Если все Х_k имеют одинаковые математические ожидания M(X₁) = ... = =M(X_n) = a и D(X_k) < C (k = l,2,...,n), то

(5)

Действительно, в условиях рассматриваемого частного случая равенство (4) имеет вид (5).

Сущность теоремы Чебышёва состоит в следующем. Несмотря на то, что каждая из независимых случайных величин X_k может принять значение, далекое от математического ожидания М(Х_k), среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью весьма близко к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Теорема Чебышёва имеет большое практическое значение. Пусть, например, измеряется некоторая физическая величина. Обычно принимают в качестве искомого значения измеряемой величины среднее арифметическое результатов нескольких измерений. Можно ли считать такой подход верным? Теорема Чебышёва (ее частный случай) отвечает на этот вопрос положительно.

На теореме Чебышёва основан широко применяемый в статистике выборочный метод, согласно которому по сравнительно небольшой случайной выборке выносят суждение, касающееся всей совокупности исследуемых объектов.

Из теоремы Чебышёва (частный случай) следует теорема, называемая теоремой Бернулли, являющаяся простейшей формой закона больших чисел.

Теорема Бернулли. Пусть т  число наступлений события А в п независимых испытаниях и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было положительное число ,

(5)

Практический смысл теоремы Бернулли следующий: при постоянстве вероятности случайного события А во всех испытаниях, при неограниченном возрастании числа испытаний можно с вероятностью, как угодно близкой к единице (т.е. как угодно близкой к достоверности), утверждать, что наблюдаемая относительная частота случайного события будет как угодно мало отклоняться от его вероятности.