- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды фурье. Интегралы фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •Интегральная формула Фурье.
- •Условия представимости функции интегралом Фурье
- •2. Преобразование лапласа
- •2.1. Определение преобразования Лапласа
- •Свойства преобразования Лапласа
- •2.3. Применения преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений и систем
- •4. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •3. Событие и вероятность
- •3.1. Основные понятия. Определение вероятности
- •3.2. Свойства вероятности
- •2. Теорема умножения вероятностей.
- •3. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.
- •4. Формула полной вероятности.
- •3.3. Приложения в биологии
- •4. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •4.1. Случайные величины
- •1. Понятие «случайные величины».
- •4.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Решение. Используя полученную там таблицу, имеем
- •2. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
- •4.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •2. Свойства дисперсии дискретной случайной величины.
- •3. Среднее квадратическое отклонение.
- •4. Понятие о моментах распределения.
- •Следовательно, если X имеет распределение
- •4.4. Непрерывные случайные величины
- •3. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
- •4.5. Некоторые законы распределения случайных величин
- •Справедлива следующая приближенная формула
- •Введем функцию
- •Решение. Используя формулу (11), имеем
- •4.6. Закон больших чисел
- •Элементы математической статистики
- •5.1. Генеральная совокупность и выборка
- •5.2. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •5.3. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
- •5.4. Проверка статистических гипотез
- •Задачи к п. 2
- •Задачи к п. 3
- •Ответы к п. 3
- •Задачи к п. 4
- •Ответы к п. 4
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
- •Вопросы к экзамену
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье …………...………………..….4
- •Преобразование Лапласа…………………………….….20
- •Событие и вероятность……...………………………….73
- •Дискретные и непрерывные случайные величины…94
- •Элементы математической статистики……………...130
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды фурье. Интегралы фурье
1.1. Исторические замечания
В аналитической геометрии и в механике для описания свойств линий, поверхностей и механических величин используются векторы – направленные отрезки в трехмерном пространстве. Потребности развития и геометрии, и механики заставляют обращаться к пространствам большей размерности и даже к бесконечномерным пространствам.
Впервые в математике четырехмерное пространство появляется в работе 1827 года “Барицентрическое исчисление” немецкого геометра Августа Фердинанда Мёбиуса (1790-1868 г.). Но саму идею использования времени как четвертого измерения высказал великий французский математик, механик и философ Кан ле Рон Даламбер (1717-1783 г.).
Пространство n измерений впервые отчетливо появились в математике лишь в 1843 г. в работе англичанина Артура Кэли (1821-1895 г.), а год спустя появляется первая монография о многомерной геометрии Германа Грассмана (1809-1877 г.).
Современная математика и физика не мыслима без так называемых функциональных пространств, которые ввел в рассмотрение французский математик Морис Реке Фреше (1878-1973 г.), являвшийся членом Московского математического общества. Но лишь Давид Гильберт (1862-1943 г.) впервые с 1912 года начал рассматривать функции как векторы бесконечномерного линейного пространства, аналогичного по свойствам евклидову пространству.
1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
По Гильберту понятие функции есть обобщение понятия вектора в n-мерном пространстве. Разобьем отрезок на n отрезков длины , как показано на рисунке, и на каждом из них выберем точку . Тогда функции f(x) можно сопоставить n-мерный вектор
x
Рис. 1
где – базисные векторы n-мерного пространства. Вектор представляет собой грубое приближение к f(x). Но чем больше n и чем меньше , тем ближе соответствие между и f (x). Векторы образуют n-мерное пространство, в котором вводится обычное скалярное произведение
При n размерность пространства растет, а скалярное произведение принимает вид
(1)
В общем случае скалярное произведение в таких пространствах определяется формулой
(2)
где функцию h(x), называемую весовой функцией или весом, будем считать непрерывной и положительной в интервале .
Введенное по формуле (2) скалярное произведение порождает норму функции
(3)
и аналогичное выражение с h(x) = 1 для скалярного произведения в форме (1).
Система функций
( для любого k) называется ортонормированной на с весом h(x) , если имеет место равенство
(4)
где – символ Кронекера. При h(x) = 1 система функций (k = 1,2,….) называется ортонормированной.
Например, функции Бесселя и ортогональны с весом h(x) = x на , если - корни уравнения , а система функций где – полиномы Лежандра, является ортонормированной на отрезке .
Оказывается, что и производные полиномов Лежандра порядка k =1, 2,…… также ортогональны на , но уже с весом:
, (n m).
Гильбертово пространство является обобщением евклидова пространства и включает его как частный случай. В общем случае гильбертово пространство бесконечномерно. Его элементы представляют собой определенные на функции, вообще говоря комплекснозначные, и интегрируемые с квадратом.
В гильбертовом пространстве по определению вводится скалярное произведение векторов, через которое выражается длина векторов и углы между ними.
Линейное пространство H (с умножением на вещественные числа) называется (вещественным) гильбертовым пространством, если:
указано правило, сопоставляющее каждой паре векторов f и g пространства H вещественное число, называемое скалярным произведением (f, g);
это правило удовлетворяет условиям:
– переместительный закон;
– распределительный закон;
для любого вещественного числа ;
при f 0 и при f =0. Нормой (длины) вектора f называется число
(5)
Углом между ненулевыми элементами f и g вещественного гильбертова пространства называется угол , заключенный между 0 и такой, что
Пример 1. В n-мерном пространстве , элементами которого являются вещественные числовые комплексы скалярное произведение элементов x и y вводится по формуле
Конечномерное вещественное гильбертово пространство называют обычно евклидовым пространством.
Пример 2. Пространство . Это пространство функций f(x) интегрируемых с квадратом на . Скалярное произведение в пространстве вводится по формуле (1), а норма по формуле (3) при h(x) = 1.
В пространстве конечной размерности система векторов называется полной, если каждый вектор x этого пространства может быть представлен в виде
( – числа).
Аналогичным способом определяется полнота системы функций в гильбертовом пространстве: система функций называется полной в пространстве H, если любая функция из H удовлетворяет условию
(6)
Ряд в формуле (6) называется рядом Фурье, а числа называются коэффициентами Фурье разложения функции f.
Предел в формуле (6) в гильбертовом пространстве понимается в том смысле, что
что означает сходимость в среднем.
Если система функций является ортогональной, то коэффициенты Фурье находятся по формуле
(7)
В случае ортонормированной системы функций в пространстве (4) формула для коэффициентов Фурье принимают вид
Для полных ортонормированных систем функций в пространстве справедливо равенство Парсеваля
,
из которого следует, что числовой ряд в правой части последнего равенства сходится. Для ортонормированных (но
не полных) систем функций выполняется неравенство Бесселя
.