4.12 Сплайн Акимы

Сплайн Акимы - это особый вид сплайна, устойчивый к выбросам. Недостатком кубических сплайнов является то, что они склонны осциллировать в окрестностях точки, существенно отличающейся от своих соседей.

Рис. 12. Пример интерполяции кубическим сплайном.

На графике рис. 13 приведен набор точек, содержащий один выброс.

Рис. 13. Пример интерполяции сплайном Акимы.

Зеленым цветом обозначен кубический сплайн с естественными граничными условиями. На отрезках интерполяции, граничащих с выбросом, сплайн заметно отклоняется от интерполируемой функции - сказывается влияние выброса. Красным цветом обозначен сплайн Акимы. Можно видеть, что, в отличие от кубического сплайна, сплайн Акимы в меньшей мере подвержен влиянию выбросов - на отрезках, граничащих с выбросом, практически отсутствуют признаки осцилляции.

Важным свойством сплайна Акимы является его локальность - значения функции на отрезке [x_i , x_i+1 ] зависят только от f_i-2 , f_i-1 , f_i , f_i+1 , f_i+2 , f_i+3 . Вторым свойством, которое следует принимать во внимание, является нелинейность интерполяции сплайнами Акимы - результат интерполяции суммы двух функций не равен сумме интерполяционных схем, построенных на основе отдельных функций. Для построения сплайна Акимы требуется не менее 5 точек. Во внутренней области (т.е. между x₂  и x_N-3  при нумерации точек от 0 до N-1) погрешность интерполяции имеет порядок O(h ²).

4.13 В-сплайн

Более сложный тип интерполяции — так называемая интерполяция В-сплайнами. В отличие от обычной сплайн-интерполяции, сшивка элементарных В-сплайнов производится не в известных точках х_i а в других точках u_i, координаты которых предлагается ввести пользователю. Поэтому В-сплайн редко проходит через управляющие вершины (рис. 14).

Сплайны могут быть полиномами 1, 2 или 3 степени (линейные, квадратичные или кубические). Применяется интерполяция В-сплайнами точно так же, как и обычная сплайн-интерполяция, различие состоит только в определении вспомогательной функции коэффициентов сплайна. /18/

Рис. 14. Пример интерполяции В-сплайном.

4.14 Оцифровка графических данных. Программное обеспечение

Как уже не раз отмечалось, очень часто в справочной и научно-технической литературе функциональные зависимости даются не формулами, а графиками. Причем сами функциональные зависимости, по которым строились графики, не приводятся. Нет и таблиц, по которым построены графики. На рис. 15 в качестве примера представлен один из таких графиков, отражающий влияние скорости воды и ее температуры на удельное гидравлическое сопротивление в некоем фильтрующем материале, через который воду прокачивают.

Рисунок взят из справочной документации одной известной фирмы, поставляющей водоочистное оборудование.

Подобные графики приводятся не только для качественного описания тех или иных явлений (гидравлическое сопротивление растет при увеличении скорости и падает при повышении температуры, если говорить о рис. 15), но и для их количественной оценки – для расчетов.

Рис. 15. Пример графика, отражающего влияние скорости воды и ее температуры на удельное гидравлическое сопротивление в некоем фильтрующем материале, через который прокачивают воду.

В упомянутой фирменной документации описан расчет этого гидравлического сопротивления по методике «вождения пальцем по графику»: отложите по оси абсцисс значение скорости (первый аргумент), поднимитесь до нужной температуры или мысленно проведите недостающую кривую (изотерму – второй аргумент), поверните налево и считайте ответ (значение функции двух аргументов) на оси ординат.

В справочниках встречаются также и более сложные графические зависимости  – разного рода номограммы с инструкциями такого рода: отложите значение первого аргумента на первой шкале, а второго – на второй; соедините точки прямой линией и на средней шкале считайте ответ. На рис. 16 представлен образец такой номограммы, моделирующей функцию уже трех аргументов.

Рис. 16. Образец такой номограммы, моделирующей функцию трех аргументов.

В номограммах (а на них выросло целое поколение инженеров) «тонет» физика задачи – ее качественная оценка, зато повышается точность таких «графических» расчетов. Выпускались даже нехитрые механические устройства типа логарифмической линейки с вшитыми в них алгоритмами. Такие устройства были особо популярны у штурманов, прокладывающих маршруты морских и воздушных судов до наступления эры бортовых компьютеров и глобальных систем позиционирования. Сейчас что-то подобное можно купить в газетных киосках – совместил на двух дисках свой вес и рост и узнал, пора ли переходить на диету...

Но для современных расчетов с использованием компьютеров или просто калькуляторов более подходят не графики и номограммы, а формулы, которые часто не приводятся в технической литературе по ряду причин.

Во-первых, формулы не даются из благих намерений освободить читателя от расчетов. Тем более это зачастую и не расчет в привычном понимании этого слова, а некая оценка, прикидка того или иного параметра. В той же документации, откуда взят рис. 15, рекомендовано при выборе насоса для фильтра (а его напор – это произведение удельного гидравлического сопротивления на высоту фильтрующего материала) увеличить расчетное гидравлическое сопротивление на 10–20% (так называемый инженерный запас, нивелирующий помимо прочего и ошибки считывания «пальцем» чисел с графика). «Расчетные» графики – это атавизм тех времен, когда даже простейший расчет был проблемой для инженера. Теперь же рабочий стол инженера оборудован ну если не компьютером, то как минимум программируемым калькулятором и проблем с расчетами не должно быть. Но «расчетные» графики без соответствующей формулы продолжают появляться даже во вновь издаваемых справочниках. Иногда в справочнике можно видеть некий гибрид графика и формулы. На рис. 17 показан пример такого расчета, когда через график определяется зависимость функции (удельное гидравлическое сопротивление некоего фильтрующего материала) от первого аргумента (от скорости потока через фильтр), а по эмпирической формуле – от второго аргумента – от температуры.

Рис. 17 Пример «расчетного графика»: через график определяется зависимость функции (удельное гидравлическое сопротивление некоего фильтрующего материала) от первого аргумента (от скорости потока через фильтр), а затем по эмпирической формуле – от второго аргумента – от температуры.

Во-вторых, нередко никакой формулы не было, и нет, так как на графиках даны результаты некой графической обработки опытных точек. Кривые, показанные на рис. 15, получены после испытания фильтрующего материала на специальном стенде, где есть возможность менять скорость потока, а также температуру воды и замерять перепады давления. Полученные экспериментальные точки были проставлены на графике, вблизи них неким лекалом или статистической обработкой были проведены линии, а затем сами точки стерты. В научной же (не технической) литературе считается хорошим тоном оставлять на графике экспериментальные точки и показывать различного рода доверительные интервалы. В последнее время получает распространение практика ссылок из научных статей на сайт, где хранятся первичные протоколы опытов, по которым читатель (оппонент) может не только проверить выводы автора, но и дать свою трактовку результатов. Можно идти дальше и делать ссылки на программу с расчетом по этому графику. На бумаге (в справочной документации – см. рис. 15) видна качественная картина явления, а на сайте, поддерживающего эту документацию, прописан соответствующий расчет. Для этого можно:

• попытаться связаться с автором и попросить его дать формулу, если она, конечно, была и по ней был построен сам график;

• вывести самому нужную формулу, опираясь на «физику» задачи; в нашем случае, например, сопротивление фильтрующего материала может зависеть от скорости фильтруемой жидкости (воды) в степени близкой к квадратной, а сами кривые выходят из начала координат: у=k·х² – здесь достаточно установить значение коэффициента k;

• подойти к задаче несколько формально (феноменологически) – провести интерполяцию или аппроксимацию по точкам с опорой на стандартные функции – полином некой степени, например.

В данной главе в первую очередь будет рассказано о том, как график из справочника можно «оцифровать» – получить массив данных (векторы и матрицы).

График, конечно, можно «оцифровать» докомпьютерными (безкомпьютерными) средствами – взять в руки линейку и калькулятор и вручную составить таблицу значений точек на графике. Но современные аппаратные и программные средства компьютеров позволяют автоматизировать эту работу.