4.4 Обработка экспериментальных результатов

4.4.1 Интерполяция

Интерполяция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Рассмотрим систему несовпадающих точек x_i ( ) из некоторой области D. Пусть значения функции f известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции F из заданного класса функций, что

• Точки x_i называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.

• Пары (x_i,y_i) называют точками данных или базовыми точками.

• Разность между «соседними» значениями Δx_i = x_i − x_{i − 1} — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.

• Функцию F(x) — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных.

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

4.4.2 Способы интерполяции

На практике чаще всего применяют интерполяцию полиномами. Это связано прежде всего с тем, что полиномы легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество полиномов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

Линейная (геометрическая) интерполяция — интерполяция алгебраическим двучленом P₁(x) = ax + b функции f, заданной в двух точках x₀ и x₁ отрезка [a, b].

Геометрическая интерпретация. Геометрически это означает замену графика функции f прямой, проходящей через точки (x0,f(x0)) и (x1,f(x1)).

Уравнение такой прямой имеет вид:

отсюда для

Это и есть формула линейной интерполяции, при этом

где R₁(x) — погрешность формулы:

Справедлива оценка:

Линейная интерполяция применяется для уплотнения таблиц, то есть когда необходимо заполнить свободные ячейки данными.

Если использовать для интерполяции более сложную зависимость, то необходимо применять метод конечных разностей.

Формула линейной интерполяции является частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа и интерполяционной формулой Ньютона.

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n+1 пар чисел , где все x_i различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_i) = y_i.

В простейшем случае n = 1 это линейный многочлен, график которого – прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

легко видеть что l_j(x) обладают такими свойствами:

• Это полиномы степени n

• l_j(x_j) = 1

• l_j(x_i) = 0 при

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация l_j(x), может иметь степень не больше n, и L(x_j) = y_j, для случая равномерного распределения по отрезку узлов интерполяции.

В указанном случае можно выразить x_i через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x₀:

и, следовательно,

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от у, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования алгоритмов с многобайтным представлением чисел.