2.6. Методика оценки риска и защищенности для непрерывного и дискретного видов распределения вероятности ущерба

Используя выражения для вероятности не превышения ущербом заданного значения u₁, то есть :

- для НСВ, (2.38)

- для ДСВ. (2.39)

Аналогично будет выглядеть выражение для вероятности превышения ущербом заданного значения u₂, то есть :

- для НСВ, (2.40)

- для ДСВ. (2.41)

Значение вероятности попадания величины ущерба в заданный интервал , определяется следующим образом:

- для НСВ, (2.42)

- для ДСВ. (2.43)

На основе общей формулы математического ожидания ущерба непрерывного типа запишем следующие выражения:

, , (2.44)

. Для расчета интегрального риска рассмотрим уже указанные интервалы: , , , и запишем формулы:

,

, (2.45)

. Запишем выражения для нахождения усредненных рисков:

, , (2.46)

. (2.47)

В этом случае защищенность системы можно вычислить так:

, , (2.48)

. Выражения (2.47) и (2.48) имеют весьма широкую область практического приложения, ибо инвариантны к физической сущности описываемых процессов (от биологической безопасности в кардиологии до информационной безопасности в социотехнических системах).

Нормирование и дискретизация ущерба

Как уже было сказано ущерб, как любая случайная величина, может быть двух видов: непрерывного и дискретного. Рассмотрим подробнее нормирование непрерывных случайных величин.

В общем случае областью определения непрерывно распределенного ущерба является вся числовая ось, т.е. промежуток . В действительности же ущерб не может быть отрицательным, поэтому часть графика плотности вероятности, находящаяся в отрицательной области, отбрасывается, но при этом нарушается условие нормировки ( ). Поэтому закон распределения ущерба в промежутке будет выглядеть так:

. (2.49)

Действительно

, (2.50)

т.е. в данном случае условие нормировки выполняется.

Пусть ущерб распределен по закону и имеет область определения . Область значений в общем случае также выходит за пределы . Если областью определения ущерба является интервал , то необходимость в нормировке отпадает.

Итак, необходимо нормировать ущерб с плотностью вероятности , т.е. вписать его область определения и область значений в интервал . Для этого каким-либо путем (экспертным, по закону , с помощью задания квантили или др.) определяется значение – такое значение ущерба, при котором либо:

• такой (т.е. ) или больший ущербы не допустимы для системы;

• вероятность превышения ущербом значения очень мала.

После этого будем считать, что областью определения является интервал . Чтобы из интервала область определения вписалась в , необходимо найти распределение случайной величины , записанной следующим образом: , где – СВ ущерба; – .

Таким образом, на основе законов теории вероятностей, плотность распределения будет иметь следующий вид:

, где . (2.51)

При этом область значений остается прежней и выполняется условие: . Для уменьшения области значений (масштаба по ), необходимо разделить закон распределения ( ) на некоторый коэффициент, но при этом нарушится указанное выше условие (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Иллюстрация процесса нормировки плотности вероятности ущерба

Выражения для расчета математического ожидания и дисперсии нормированного ущерба выглядят так:

, . (2.52)

Далее необходимо продискретизировать (рис. 2.8) функцию плотности вероятности случайной величины ущерба. Выбираем – число дискретов, – номер дискрета ( ).

Тогда если принять во внимание, что , то можно записать

. (2.53)

Рис. 2.8. Дискретизация ущерба.

Тогда для дискретизированного закона распределения случайной величины ущерба можно найти начальный момент -того порядка

, (2.54)

и центральный момент -того порядка

, (2.55)

где и – начальный и центральный момент -того порядка недискретизированного закона распределения случайной величины ущерба.

Соответственно матожидание и дисперсия будут равны:

, (2.56)

. (2.57)

По аналогии для дискретных распределений ущерба начальные и центральные моменты -того порядка запишутся так:

, (2.58)

. (2.59)

Исходя из того, что риск есть сочетание вероятности возникновения ущерба и тяжести этого ущерба, целесообразно предложить один из следующих подходов к оценке риска.

1) Пусть – есть плотность вероятности случайной величины ущерба, – значение ущерба, где

(2.60)

математическое ожидание ущерба вычисляется по области определения соответствующего закона распределения случайной величины.

Согласно определению риска запишем выражение, характеризующее его (риска) величину:

, (2.61)

где – коэффициент, необходимый для выполнения условия нормировки:

(2.62)

(интеграл по всей области определения). Исходя из этого условия получим, что (области определения риска и ущерба одинаковы). Следовательно, будет справедлива следующая запись:

– для НСВ, (2.63)

– для ДСВ. (2.64)

Тогда для НСВ можно записать выражение для определения начальных моментов риска:

, (2.65)

где – -тый начальный момент риска;

– -тый начальный момент ущерба.

По аналогии для ДСВ имеем

, (2.66)

где текущее – значение ущерба с нормированным законом распределения.

Для расчета центральных моментов риска запишем:

– для НСВ, (2.67)

– для ДСВ. (2.68)

Далее сведем выражения для расчета важных начальных и центральных моментов в таблицу 2.7.

После дискретизации (рис. 2.9) выражение примет следующий вид

, (2.69)

где – математическое ожидание ущерба, закон распределения которого пронормирован по оси абсцисс.

Заметим, что в выражении (2.69) знаменатель есть ничто иное, как математическое ожидание продискретизированного закона распределения ущерба.

Таблица 2.7

Расчёт характеристик положения, расхождения, асимметрии и эксцесса для закона распределения риска и ущерба

Вели- чина	Мат. ожидание	Дисперсия	Центральный момент 3-го порядка	Центральный момент 4-го порядка
Ущерб
Риск
Асимметрия			Эксцесс

Для дискретно распределенного риска имеем

, (2.70)

где – математическое ожидание ущерба, закон распределения которого пронормирован по оси абсцисс (выражение (2.41)).

По аналогии для расчета начальных и центральных моментов можно записать:

, (2.71)

. (2.72)

Рис. 2.9. Иллюстрация процесса дискретизации риска

В таком случае общее выражение для расчета защищенности системы будет выглядеть так:

, (2.73)

т.е. можно записать:

(2.74)

2) Далее рассмотрим риск как функцию ущерба

. (2.75)

Здесь в общем виде найти плотность вероятности риска удастся не всегда, так как для этого необходимо найти функцию обратную , то есть выразить через , а это не всегда возможно.

Однако можно вычислить начальные моменты любого порядка, а значит и все остальные параметры случайной величины риска

, (2.76)

где – -тый начальный момент риска;

– плотность вероятности ущерба;

– ущерб.

3) Пусть – плотность вероятности ущерба;

(2.77)

функция распределения вероятности ущерба, зависящая от .

Пусть – функция распределения риска. Предположим, что

. (2.78)

Тогда плотность распределения риска запишется так:

. (2.79)

С учетом (1.7) и (1.4), можно вычислить первый начальный момент:

(2.80)

Общая формула для подсчета -того начального момента случайной величины риска будет выглядеть так:

. (2.81)

4) Рассмотрим риск как функцию ущерба вида:

, (2.82)

где – величина предполагаемого ущерба;

– вероятность наступления ущерба определенной величины;

– плотность распределения вероятности случайной величины ущерба.

Тогда, аналогично выражению, не всегда в общем виде удастся выразить плотность вероятности риска, так как не всегда возможно найти функцию обратную к . Однако, при этом возможно подсчитать начальные (а через них выразить и центральные) моменты риска:

. (2.83)

Здесь далее могут быть найдены для рисков соответствующие параметры случайной величины (мода, медиана, асимметрия и др.) с различными законами плотности распределения в контексте защищенности систем и их рисков.