2.3. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (10)

где коэффициенты - действительные числа.

Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если ряд (10) сходится при , то он сходится ( и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству

(теорема Абеля). Следствием теоремы Абеля является существование для всякого степенного ряда (10) интервала сходимости с центром в точке х=а, внутри которого ряд (10) сходится абсолютно ; при ряд (10) расходится. Радиус сходимости R (т.е. половина длины интервала сходимости) может быть в частных случаях равен также 0 и ∞. В конечных точках интервала сходимости возможна как сходимость, так и расходимость ряда (10). Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши, применяя их к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда . Но если

или , (11)

где и - коэффициенты соответственно n-го и (n+1)-го членов ряда (10), то радиус сходимости ряда (10) определяется по формуле . Однако пользоваться формулами (11) следует весьма осторожно. Если L=0, то R=∞ и ряд (10) сходится при . Если L=∞, то R=0 и ряд (10) расходится при любом х, кроме х=0.

Пример 1. Найти радиус и интервал сходимости

степенного ряда

Решение. Имеем коэффициенты ряда . Найдем число L (см. формулы 11) . Следовательно, радиус сходимости R=5. Интервал сходимости ряда с центром в точке или есть . Исследуем поведение ряда в концевых точках интервала:

При х=8: - расходящийся гармонический ряд

При х=-2: - условно сходящийся (по Лейбницу).

Ответ: R=5; .

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член ряда имеет коэффициент

Находим по формуле (11) число .

Т.е., . Значит, ряд расходится при , кроме х=0. В этом случае говорят, что ряд всюду расходится.

Задание 14. Найти область сходимости степенного ряда.

Задача 1.

Решение. Имеем коэффициенты ряда , . Находим число L по одной из формул (11):

, (т.к. ~ при бесконечно малых ). Значит, радиус сходимости , интервал сходимости с центром в точке . Откуда получаем , или . В концевых точках интервала (-8;-2) исследуем поведение ряда: При х=-2 имеем ряд - расходящийся, т.к. . При х=-8 имеем знакочередующийся ряд , который также расходится, ибо не выполнено условие .

Ответ: Интервал сходимости (-8;-2), R=3.

Задача 2.

Решение. Область сходимости данного степенного ряда будем находить по одной из формул (9), т.к. этот ряд содержит члены только с нечетными степенями (х-7) и пользоваться напрямую формулами (11) нельзя, поэтому что бесконечно много коэффициентов обращается в ноль и пределы в правых частях формул (11) не существуют. Имеем

.

Находим

должно быть для сходимости ряда по признаку Даламбера.

Решая неравенство , получаем , или

, откуда интервал сходимости степенного ряда

(5;9) с центром в точке и радиусом R=2. Рассмотрим поведение ряда в концевых точках: При х=9 получаем знакоположительный числовой ряд

, где общий член ~ и по второму (предельному) признаку сравнения сходится, ибо сходится ряд (p=2>1).

При х=5 получаем ряд

с общим членом

, который также сходится.

Ответ: Интервал сходимости .