- •Введение
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Нахождение суммы знакоположительного ряда
- •1.3. Исследование сходимости знакоположительных рядов
- •1.4. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов
- •1.5. Приближенное вычисление суммы знакочередующегося ряда
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные теоретические сведения
- •2.2. Нахождение области сходимости функциональных рядов
- •2.3. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •2.4. Нахождение суммы функционального ряда
- •2.5. Разложение функций в степенной ряд Тейлора
- •2.6. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.2. Нахождение области сходимости функциональных рядов
Для определения области сходимости функционального
ряда (8) достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая аргумент х фиксированным.
Например, при использовании признаков Даламбера или Коши поступают так:
Находят q(x) по одной из формул (если пределы
существуют)
или (9)
Решают неравенство q(x)<1 (т.к. по признакам
Даламбера и Коши ряд сходится при q<1 и расходится при q>1). В результате находим интервал сходимости.
Исследуется поведение ряда в концевых точках
интервала сходимости.
Пример. Найти область сходимости ряда
Решение. Рассмотрим три случая
Если , то при и
. Необходимый признак сходимости ряда не выполнен. Следовательно, ряд расходится при -1<x<1.
Если , то также получаем расходящийся ряд
Если , то применим первый признак сравнения
, где сходящийся ряд представляет
собой сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии со знаменателем , т.е. . Итак, исследуемый ряд сходится при ; его область сходимости
Задания (11-13).
Задача 1. Найти область сходимости функционального ряда
Решение. Все члены данного ряда положительны при для каждого фиксированного значения х.
Сравним данный ряд с рядом . Это можем сделать согласно второму (предельному) признаку сравнения, т.к. , т.е. fn(x) и - эквивалентные бесконечно малые при , ибо .Ряд будет сходиться при (как обобщенный гармонический ряд , сходящийся при p>1 и расходящийся при ). Откуда следует .
Ответ: Область сходимости ряда интервал
Задача 2.
Решение. Признак Даламбера в данном случае ответа не дает, т.к.
.
Используем второй (предельный) признак сравнения, где для сравнения возьмем сходящийся ряд (р=2>1).
При любом фиксированном
конечное число и оба ряда сходятся при . При х=0 имеем сходящийся ряд «чистых» нулей.
Ответ: Область сходимости ряда
Задача 3.
Решение. Для того, чтобы применить признак Даламбера, находим q(x) по формуле (9):
.
Область сходимости функционального ряда дают
значения х, удовлетворяющие неравенству .
При имеем сходящийся ряд (р=3>1),
При имеем абсолютно сходящийся ряд . Значит, область абсолютной сходимости исходного ряда находим, решая неравенства . Получаем
(с учетом периодичности функции, Т= ). Откуда следует, что
.
Таким образом, областью сходимости функционального
ряда будет объединение отрезков ,
где
Задача 4.
Решение. Используем признак Коши. Находим
,
ибо (с.м. пункт 1.3, замечания 2). Ряд сходится при q(x)<1 по Коши, откуда
, или .
Итак, решение системы тригонометрических неравенств дает интервалы абсолютной сходимости функционального ряда. В граничных точках при имеем числовые ряды и , сходящиеся абсолютно. Область абсолютной сходимости данного ряда находим из системы неравенств: . Откуда получаем и . Т.е. область абсолютной сходимости данного ряда является объединение отрезков , .
Задача 5.
Решение. Данный ряд знакоположительный при . Находим q(x) по формуле (9):
Решаем неравенство q(x)<1: , или ;
Получаем , откуда x-1<0, т.е. ряд сходится при x<1. В граничной точке х=1 общий член не имеет смысла. Итак, областью сходимости ряда является интервал .
Задача 6.
Решение. Дан знакочередующийся ряд. Обозначим показатель степени , причем при и при . Рассмотрим два случая: Если , то имеем расходящийся ряд
. Если , то имеем ряд - условно сходящийся по признаку Лейбница:
1) , т.е. ; 2)
Но ряд из модулей - обобщенный
гармонический, сходящийся при и расходящийся при
. Значит, рассматриваемый ряд сходится
абсолютно при >1, т.е. , откуда
следует , или - область абсолютной
сходимости ряда, т.е. при и .
При 0< , т.е. при - область условной сходимости ряда, т.е. при .
Ответ: Область абсолютной сходимости –
, область условной сходимости –
Задача 7.
Решение. Применим признак Даламбера. Найдем
Для сходимости ряда, согласно признаку, достаточно,
чтобы q(x)<1. Решаем неравенство , или .
Откуда имеем или . Получаем сходимость при и . При числовой ряд
расходится и при
числовой ряд
расходится, т.к. необходимый признак сходимости не выполняется.
Ответ: Область сходимости