- •Введение
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Нахождение суммы знакоположительного ряда
- •1.3. Исследование сходимости знакоположительных рядов
- •1.4. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов
- •1.5. Приближенное вычисление суммы знакочередующегося ряда
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные теоретические сведения
- •2.2. Нахождение области сходимости функциональных рядов
- •2.3. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •2.4. Нахождение суммы функционального ряда
- •2.5. Разложение функций в степенной ряд Тейлора
- •2.6. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.5. Приближенное вычисление суммы знакочередующегося ряда
Дан ряд . (7)
Требуется с заданной точностью вычислить его сумму
( в случае сходимости ряда).
Если выполнены два условия признака Лейбница:
1) и 2) , то для остатка Rn ряда (7) справедливо неравенство , где - первый из отброшенных членов ряда. Если , то и подавно . Поэтому, решая неравенство при конкретных значениях n, находим число n - количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы S. Затем непосредственно вычисляем n-ую частичную сумму Sn . Так как , то приближенно за сумму S ряда принимаем n-ую частичную суммы Sn:
.
Задание 9. Вычислить сумму ряда с точностью έ.
Решение. Данный ряд знакочередующийся и сходящийся абсолютно, так как
и ряд Дирихле сходится (p=5>1).
Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.
Следовательно, справедливо неравенство
. По условию έ =0.001.
Если , то и . Поэтому, решая неравенство , находим при
n=1: b1=2/81 0,0247>0,001
n=3: b3=4/652 0,00094<0,001
Итак, . Получили, что четвертый член удовлетворяет заданной точности . Значит, для вычисления суммы ряда с точностью 0.001 достаточно взять первые три члена ряда. Вычисляем частичную сумму . Таким образом, сумма, вычисленная с заданной точностью, данного ряда .
Ответ: .
2. Функциональные ряды
2.1. Основные теоретические сведения
Ряд , (8)
члены которого – функции от х, называется функциональным.
Множество значений аргумента х, при которых функции
определены и функциональный ряд (8) сходится,
называется областью сходимости этого ряда. При действительном значении аргумента областью сходимости является какой-либо промежуток оси ОХ. При конкретном значении ряд (1) становится числовым. Функция , где - сумма первых n членов ряда (8), а х принадлежит области сходимости, называется суммой ряда. Разность между суммой S(x) сходящегося ряда и его частичной суммой называется остатком ряда (8):
,
причем в области сходимости ряда .
Сходящийся функциональный ряд (8) называется
равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для
любого сколь угодно малого числа ε >0 найдется такое целое число N >0, начиная с которого, т.е. при n N, выполняется неравенство одновременно сразу для всех х из области Х. Достаточным признаком равномерной сходимости рядов является следующий признак Вейерштрасса.
Ряд (8) равномерно сходится в данной области Х, если существует такой сходящийся числовой ряд , что для всех значений х имеет место неравенство .
При этом сходящийся числовой ряд называется
мажорантой для ряда (8).
Пример. Ряды являются равномерно сходящимися в любой области, если ряд абсолютно сходится, т.к. , а ряд сходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов:
1. Если члены равномерно сходящегося ряда (8) непрерывны на некотором отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке.
2. Равномерно сходящийся ряд (8) можно почленно интегрировать в данной области Х, если его члены непрерывны в области Х, причем сумма интегралов от членов ряда равна интегралу от суммы данного ряда:
, где
3. Если ряд (8) сходится к сумме S(x) на отрезке Х, причем его члены имеют непрерывные производные при х и ряд, составленный из производных , равномерно сходящийся на том же отрезке, то , т.е. ряд (8) можно почленно дифференцировать.
Эти свойства функциональных рядов будут в дальнейшем использованы в заданиях 17-18 при нахождении суммы ряда (см. пункт 2.4).