ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет »

СПРАВОЧНИК МАГНИТНОГО ДИСКА

(Кафедра высшей математики и

физико-математического моделирования)

Ряды

методические указания

для выполнения типовых расчетов по курсу «Математика»

для студентов специальностей 220201 «Управление

и информатика в технических системах», 140604

«Электропривод и автоматика промышленных установок

и технологических комплексов», 140601 «Электромеханика», 110302 «Электрификация и автоматизация сельского

хозяйства» очной формы обучения

Составители: Г.Ф. Федотенко, А.А. Катрахова, В.С. Купцов, А.В. Купцов

Ряды.rar 340 K байт 14 .03.2011 3,1 уч.-изд. л.

(название файла) (объем файла) (дата) (объем издания)

ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет »

Кафедра высшей математики

и физико-математического моделирования

РЯДЫ

методические указания

для выполнения типовых расчетов по курсу «Математика»

для студентов специальностей 220201 «Управление

и информатика в технических системах», 140604

«Электропривод и автоматика промышленных установок

и технологических комплексов», 140601 «Электромеханика», 110302 «Электрификация и автоматизация сельского

хозяйства» очной формы обучения

Воронеж 2011

Составители: ст. преп. Г.Ф. Федотенко, канд. физ.-мат. наук А.А. Катрахова, канд. физ.-мат. наук В.С. Купцов,

канд. физ.-мат. наук А.В. Купцов

УДК 517

Ряды: методические указания для выполнения типовых расчетов по курсу «Математика» для студентов специальностей 220201 « Управление и информатика в технических системах», 140604 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов», 140601 «Электромеханика», 110302 «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства» очной формы обучения / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; cост. Г.Ф. Федотенко, А.А. Катрахова, В.С. Купцов, А.В. Купцов. Воронеж, 2011. 50 с.

Методические указания для выполнения типовых расчетов содержат теоретический материал, рекомендуемую литературу по выполнению типовых расчетов, примеры решения задач типового расчета. Предназначены для студентов первого курса второго семестра.

Методические указания подготовлены на магнитном

носителе в текстовом редакторе MS Word и содержатся

в файле «Ряды.rar»

Библиогр.: 7 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. А.П. Дубровская

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного технического университета

© ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет», 2011

Введение

Настоящие методические указания содержат теоретический материал, разбор и подробное решение некоторых задач типового расчета по теме «Ряды». Содержание методических указаний соответствует программе курса математики для студентов инженерно-технических специальностей вузов, рассчитанной на 600 часов и утвержденной Министерством образования Российской Федерации в соответствии с новыми образовательными стандартами.

При изучении темы «Ряды» вы познакомитесь на примерах с понятиями суммы и остатка ряда, сходимости и расходимости рядов, а также с основными приемами исследования сходимости числовых рядов и вычислением их сумм, нахождения области сходимости и суммы функциональных рядов, в том числе степенных, разложения функций в ряд Тейлора и применение полученных разложений в приближенных вычислениях. В начале каждого параграфа приведены кратко основные сведения из теории и рекомендации, полезные для решения типовых задач.

1. Числовые ряды

1.1. Основные понятия и определения

Числовым рядом называется сумма бесконечного множества слагаемых

a₁+a₂+a₃+...= , (1)

являющихся членами бесконечной числовой последовательности

a₁,a₂,a₃,…,a_n , ...

Член a_n=ƒ(n) называется общим членом ряда (1). Сумма первых n членов ряда

S_n=a₁+a₂+...+a_n называется n-ой частичной суммой S_n.

Ряд (1) называется сходящимся, если предел последовательности его частичных сумм {S_n} при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу: . Тогда величина S называется суммой ряда, а величина

R=S-S_n=a_n+1+a_n+2+a_n+3+... – остаток ряда (1).

Если предел или или не существует, то ряд (1) называется расходящимся.

Расходящийся ряд суммы не имеет.

Сходимость или расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

Например, ряд

расходящийся, так как последовательность частичных сумм {S_n} не имеет предела:

S₁=1; S₂=1-1=0; S₃=1-1+1=1; … .

Если ряд (1) сходится, то его общий член a_n стремится к

нулю при n→∞, то есть - необходимый признак сходимости любого ряда. Обратное утверждение неверно. Значит, если

, то ряд (1) расходится.

1.2. Нахождение суммы знакоположительного ряда

Пусть дан ряд , где M, p, q — целые числа. Если корни знаменателя в общем члене x_n= различаются на целое число, то члены последовательности {S_n} частичных сумм такого ряда нетрудно найти, ибо в выражении

S_n=a₁+a₂+...+a_n многие слагаемые взаимно уничтожаются. Поэтому, найдя корни квадратного трехчлена n²+np+q, разлагаем на множители знаменатель дроби, затем разлагаем общий член a_n ряда на элементарные дроби и выписываем несколько членов ряда, чтобы увидеть закономерность, какие слагаемые сократятся при вычислении n-ой частичной суммы. Составляем S_n и вычисляем сумму ряда по формуле .

Задания (1-2). Найти сумму следующих рядов.

Задача 1.

Решение.

а) Находим корни уравнения 36n²+12n-35=0.

Дискриминант D=144×36>0; корни n₁₌5/6,n₂=-7/6, различаются на целое число 2. Тогда 36n²+12n-35=36(n-5/6)(n+7/6).

б) Общий член ряда разлагаем на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

= =

= , где А, В — коэффициенты, подлежащие определению. Умножив на знаменатель левой части, получаем тождество 12=A(6n+7)+B(6n-5). Полагая последовательно n₂=-7/6 и n₁₌5/6, находим: при n₂=-7/6: 12=-12B; B=-1;

при n₁₌5/6: 12=12A; _A=1. Значит, a_n= .

в) Выписываем, начиная с n=2, несколько членов ряда, чтобы увидеть, какие слагаемые сокращаются при вычислении

S_n: a₂= , a₃= , a₄= ,

a₅= , a₆= ,…, a_n-2= ,

a_n-1= , a_n= .

г) Составляем n-ую частичную сумму ряда и сокращаем все слагаемые, какие возможно:

S_n= + + + + +…+

+ + + =

= ..

д) Вычисляем сумму ряда

, - - )=

Задача 2. Найти сумму ряда .

Решение. а) Разложим общий член ряда на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов: + + . Умножив на общий знаменатель левой части и приравняв числители и знаменатели, получаем тождество 4n-2=(A+B+C)n²+(-3A-B)n+(2A-2B-

-C); приравняв коэффициенты при одинаковых степенях n, получаем линейную систему уравнений относительно трех неизвестных A,B,C:

и, решая систему, получим: A=-1,B=-1,C=2.

Следовательно, a_n= + + .

Заметим, что неопределенные коэффициенты A,B,C можно было найти из тождества 4n-2=(A+B+C)n²+(-3A-B)n+(2A-2B-C), полагая последовательно n=1,-1,2: При n=1: 2=-2B, B=-1.

При n=-1: -6=6A, A=-1. При n=2: 6=3C, C=2.

б) Составляем сумму первых n членов ряда и, выявляя

закономерность, сокращаем слагаемые какие возможно:

S_n= …+ =-1/2+2-1/3+1+2/3 =

=17/6 .

в) Находим сумму ряда :

.