2.2. Статически неопределимые системы
2.19. Ступенчатый стальной вал, защемленный
с двух сторон, нагружен моментами
и
(рис. 2.11).
Рис. 2.11
Рассчитать диаметры участков вала, если
,
,
;
;
,
,
.
2.20. Вал сплошного кругового сечения жестко защемлен по торцам и скручивается моментами и (рис. 2.12). Определить при каком соотношении моментов и реактивные моменты в заделках и будут одинаковы.
Рис. 2.12 |
2.21. Ступенчатый вал жестко защемленный
по торцам скручивается моментом
|
(рис. 2.13). Диаметр толстой части
,
а тонкая часть имеет диаметр
и ослаблена
продольным каналом диаметром
.
Проверить вал на прочность и жесткость,
если
,
,
,
,
,
.
Решение
В задаче требуется провести проверочный расчет вала, на прочность и жесткость, т.е. проверить выполнение условий прочности и жесткости.
Оценим вначале прочность вала, т.е. проверим выполнение условия прочности
.
Допускаемое касательное напряжение задано в условии задачи, а полярные моменты сопротивления сечения толстой и тонкой частей вала могут быть рассчитаны по известным значениям диаметров
;
.
Таким образом, для проверки выполнения условия прочности необходимо установить расчетное значение . С этой целью построим эпюру крутящих моментов .
Рис. 2.13
Решение
Отбросим связи, приложенные на вал в
защемлениях, и заменим их реактивными
моментами
и
(см. рис. 2.13, б), направления которых
может быть выбрано произвольно. Для
определения двух реактивных моментов
и
можно составить лишь одно уравнение
статики в виде суммы моментов всех сил
относительно оси вала
:
.
(2.2)
Таким образом, приходим к выводу, что
задача статически неопределима, а
степень статической неопределимости
.
Это означает, что для решения задачи
нужно составить одно уравнение
совместности перемещений. Это уравнение
можно получить из условия отсутствия
поворота сечения
относительно сечения
(см. рис. 2.13, а), которое можно записать
в виде
,
(2.3)
где – число участков вала.
Разбивая вал на 3 участка (см. рис. 2.13, б), запишем выражения для каждого из участков
(2.4)
Учитывая, что
;
;
,
подставим соотношения (2.4) в уравнение
(2.3). При этом получим
.
(2.5)
Решая уравнение (2.5) совместно с уравнением
(2.2) с учетом того, что
,
получим
;
.
Подставляя в эти соотношения длины участков и величины полярных моментов инерции
;
,
находим
;
.
Используя соотношения (2.4), строим эпюру крутящих моментов (см. рис. 2.13, в).
Сопоставляя величины и для различных участков, приходим к выводу, что наибольшие касательные напряжения действуют в сечениях I участка, где
,
а
.
Подставляя эти величины в условие прочности, получим
.
Оценим перегрузку
.
Поскольку перегрузка не превышает 5 % делаем вывод, что прочность вала обеспечена.
Проверим теперь выполнение условия жесткости, которое в данном случае будет иметь вид
.
Определим величины относительного
угла закручивания
для каждого из участков вала:
;
;
.
Сопоставляя полученные величины,
установим, что
.
Следовательно, необходимая жесткость
вала обеспечена.
2.22. Гладкий вал, жестко защемленный по
торцам, скручивается моментом
(рис. 2.14). Левая часть вала имеет сплошное
круговое сечение диаметром
,
а правая часть ослаблена продольным
каналом диаметром
.
Рассчитать диаметры
и
,
если материал вала сталь,
,
,
,
;
;
.
Рис. 2.14
2.23. Концы стержня круглого сечения
защемлены. Стержень нагружен скручивающим
моментом
(рис. 2.15). Чему равны наибольшие касательные
напряжения в стержне, если его диаметр
,
.
Рис. 2.15 |
Рис. 2.16 |
2.24*. Стальной стержень
круглого сечения диаметром 12 см жестко
защемлен на правом конце и нагружен
скручивающим моментом
(рис. 2.16). К левому концу стержня прикреплена
абсолютно жесткая траверса длиной
.
Поворот траверсы ограничен упорами.
Между траверсой и упорами до нагружения
имеется зазор
.
Проверить стержень на прочность, если
,
.
2.25*. Вал жестко защемленный по
торцам скручивается сосредоточенным
моментом
(рис. 2.17). Правая часть вала имеет сплошное
круговое сечение
,
а левая часть ослаблена продольным
каналом диаметром
.
Определить допускаемое значение
,
если
,
,
,
,
.
Рис. 2.17
2.26*. Медный стержень круглого
сечения
помещен в стальную трубу того же
внутреннего диаметра, имеющую толщину
стенок
(рис. 2.18). Концы стержня и трубы жестко
соединены между собой и скручиваются
моментами
.
Как распределяется крутящий момент
между трубкой и стержнем? Определить
в стержне и в трубке, если известно
,
.
|
|
Рис. 2.18 Рис. 2.19
2.27*. Концы двух трубок,
стальной и медной, жестко соединены
между собой и нагружены моментами
(рис. 2.19). Определить наибольшие
касательные напряжения, возникающие в
поперечных сечениях трубок, если
,
,
,
,
,
.
2.28* На каком расстоянии , соответствующем также длине соосного глухого отверстия диаметром , необходимо приложить момент (рис. 2.20), чтобы обеспечивалось условие равной прочности вала длиной при заданных значениях , , , и .
Рис. 2.20 |
Рекомендации Под условием равной прочности понимают равенство наибольших расчетных напряжений на обоих участках вала, являющегося статически неопределимым. Решение данной задачи можно строить на основе метода сил. Ответ:
|
.