1.2. Статически неопределимые системы
1.13. Стальной стержень постоянного
поперечного сечения (рис. 1.22) установлен
без зазоров между стенами и нагрет на
.
Стены упругие с податливостью
(податливость – перемещение от единичной
силы). Определить напряжения в стержне.
Рис. 1.22 |
|
Решение
Напряжения в стержне, работающем на сжатие, определим по формуле
,
(1.7)
где – нормальная сила.
Для данного стержня можно составить одно уравнение равновесия
,
(1.8)
в которое входят две реакции опор
и
.
Таким образом, данная задача один раз
статически неопределима.
Из (1.8) следует, что
.
Нормальная сила определяется методом
сечений и равна
.
Для определения реакции
составим уравнение совместности
перемещений, выразив изменение длины
стержня
.
Перемещение
каждой податливой опоры под действием
силы, равной по величине
,
определим по формуле
.
Тогда уравнение совместности перемещений
будет иметь вид
или
,
откуда
Напряжения в стержне согласно (1.7) равны
1.14. Стальной ступенчатый стержень (рис. 1.23) защемлен с обеих сторон при нормальной температуре и нагружен сосредоточенной силой и равномерно распределенной осевой нагрузкой. Требуется:
а) построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений ;
б) при отсутствии нагрузки построить
эпюру температурных напряжений, если
известно, что температура стержня в
процессе работы изменилась на
.
Числовые данные:
1.15. Для заданной стержневой системы (рис. 1.24) требуется:
а) подобрать диаметры поперечных сечений стержней, если известны соотношение площадей, величина действующей нагрузки и допускаемое напряжение ;
б) при рассчитанных значениях диаметров
определить напряжения в стержнях,
возникающие при сборке системы, если
известно, что стержень 1 изготовлен
короче проектного размера на величину
(силу
при этом считать отсутствующей). Числовые
данные:
.
Рис. 1.23 |
Рис. 1.24 |
1.16. Для изображенных ниже конструкций необходимо:
1) провести проверочный расчет на прочность и жесткость (рис. 1.25);
2) рассчитать, как изменяется напряжения
в системе (см. рис. 1.25), если стержни 1 и
3 изготовлены длиннее проектного размера
на величину
;
3) рассчитать, как изменяется напряжения
в системе (см. рис. 1.25), если стержень 2
охладить на
(
);
4) рассчитать площади поперечных сечений стержней (рис. 1.26);
5) найти допускаемое значение нагрузки (рис. 1.27).
1.17. Для изображенных ниже стержневых систем необходимо:
1) определить допускаемое значение силы (рис. 1.28);
2) проверить прочность элементов системы при ее нагревании на (рис. 1.29);
3) определить напряжения в элементах конструкции после ее сборки, если 1 и 2 стержни изготовлены короче проектного размера на величину (рис. 1.30). Материал стержней одинаков.
Рис. 1.25 |
Рис. 1.26
|
|
|
Рис. 1.27
|
|
Рис. 1.28
Рис. 1.29 |
Рис. 1.30 |
1.18. Найти напряжения, возникающие
в проволоках троса, состоящего из
центральной стальной проволоки диаметром
5 мм и девяти медных проволок диаметром
2,5 мм, окружающих первую. Проволоки
считать параллельными. Растягивающее
усилие, приложенное к тросу,
.
Модули упругости
,
.
1.19. Стальной болт пропущен сквозь медную трубку (рис. 1.31). Шаг резьбы болта равен 3 мм. Какие напряжения возникают в болте и трубке при завинчивании гайки на ¼ оборота?
|
|
Рис. 1.31
1.20*. В конструкции, приведенной на рис. 1.32, все стержни стальные, одинакового поперечного сечения. Что опаснее: повышение температуры только среднего стержня или только крайних?
Рис. 1.32 |
1.21*. Абсолютно
жесткий брус
подвешен на двух стержнях одинакового
поперечного сечения (рис. 1.33). Установить,
как и на какую величину
( |
)
следует изменить
длину стержня 2, чтобы после сборки системы и нагружении ее силой напряжения в стержнях были одинаковыми?
Рис. 1.33
1.22*. При сборке системы
(рис. 1.34) оказалось, что центральный
стержень изготовлен длиннее проектного
размера на величину
.
Установить, как и на какую величину
следует изменить температуру системы,
чтобы монтажные напряжения исчезли? (
).
|
|
Рис. 1.34
1.23*. Медное кольцо 2
плотно, но без натяжения, вставлено в
стальное кольцо 1 (рис. 1.35). Определить
напряжения, возникающие при нагреве
конструкции на
.
Наружный диаметр медного кольца
,
толщина стального кольца
,
толщина медного кольца
,
ширина колец
.
Изменение температуры
.
Рис. 1.35
Рекомендации.
Данная конструкция представляет собой статически неопределимую систему.
Уравнение равновесия
.
Уравнение совместности перемещений
.
Коэффициенты теплового расширения:
для стали
;
для меди
.
Модули упругости: стали
,
меди
.
Ответ:
,
.
1.24*. Стержень квадратного
поперечного сечения состоит из двух
стержней из различных материалов,
имеющих модули упругости
и
(причем
).
Оба стержня имеют одинаковые размеры
поперечных сечений. Полагая, что концевые
пластины абсолютно жесткие, получить
выражение для такого эксцентриситета
приложения нагрузки
,
при котором оба стержня будут находиться
в состоянии равномерного растяжения
(рис. 1.36).
Рис. 1.36
Рекомендации
Уравнения равновесия составляем для разрезанного стержня (рис. 1.37).
Рис. 1.37
;
.
Условие равномерного растяжения составного стержня заключается в равенстве удлинений каждого стержня.
Ответ:
.
1.25*. Трехслойный стержень нагружен силой , приложенной в плоскости спая 1-го и 2-го слоев. Модули упругости материалов известны. Какому соотношению должны удовлетворять толщины слоев, чтобы стержень не искривлялся (рис. 1.38).
Рекомендации.
Условие неискривляемости трехслойного стержня выражается в равенстве удлинений каждого слоя стержня:
.
Рис. 1.38
Дополняя эти уравнения двумя уравнениями равновесия, получим систему уравнений для определения искомого соотношения.
Ответ:
.
1.26*. Тонкое упругое
кольцо
свободно надето на массивный жесткий
конус (рис. 1.39). Определить силу
,
необходимую для смещения кольца вдоль
оси конуса на величину
.
Коэффициент трения кольца по поверхности
конуса
.
Жесткость кольца при растяжении
.
Рис. 1.39
Рекомендации.
Схема сил действующих на кольцо (рис. 1.40).
.
Рис. 1.40
.
Изменение радиуса кольца
при растяжении внутренней силой
равно
.
Перемещение кольца
связано с изменением радиуса кольца и
зависимостью
.
Ответ:
.
1.27. Жесткий брус
должен быть подвешен к опоре при помощи
четырех одинаковых стальных стержней,
номинальная длина которых
(рис. 1.41). Фактическая длина
,
,
.
Какой должна быть фактическая длина
третьего стержня, чтобы после сборки
брус расположился горизонтально? Весом
бруса пренебречь.
Рис. 1.41 |
Рекомендации. Длины
стержней можно представить в виде
|
,
,
,
.
Здесь
;
;
.
Условия совместности перемещений выражаются в виде
;
;
.
Выражая удлинения стержней через усилия
и выписывая уравнения равновесия, будем
иметь пять уравнений для определения
пяти неизвестных
,
,
,
,
.
Ответ:
.
1.28. В одинаковых упругих стержнях, связанных между собой жестким брусом, созданы равные предварительные натяжения силой (рис. 1.42). Определить усилия в стержнях после обрыва стержня 1.
Рис. 1.42 |
Рекомендации. В данной задаче согласно приведенному условию все стержни продеформированы (растянуты) на величину
где – длина стержней; – их жесткость. |
,Если стержни 1 и 2 будут одновременно оборваны, то усилия натяжения стержней 3 и 4 останутся неизменными. Поэтому для определения усилий в стержнях в соответствии с заданным условием задачи (отрыв первого стержня) можно на основе принципа независимости действие сил записать следующие соотношения:
;
;
,
где
,
,
– определяются, как монтажные усилия
в соответствующих стержнях после их
сборки при условии, что стержень 2
изготовлен короче проектного размера
на величину
(рис. 1.43).
Ответ:
;
;
.
Рис. 1.43