ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет»

А. А. Воропаев Ф. Х. Томилов

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ:

СБОРНИК ЗАДАЧ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

(ПРОСТОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ)

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2006

УДК 539.3/7

Воропаев А.А. Сопротивление материалов: сборник задач для самостоятельной работы (простое деформирование): учеб. пособие / А.А. Воропаев, Ф.Х. Томилов; под ред. А.А. Воропаева. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2006. 139 с.

В учебном пособии рассматриваются методика и техника решения задач по курсу «Сопротивление материалов». Сборник охватывает основные разделы базовой части курса, предусмотренные типовой программой для технических вузов, и содержит около двухсот задач, предназначенных для аудиторных занятий и самостоятельной работы студентов при выполнении домашних заданий в виде расчетно-проектировочных работ, а также при подготовке к контрольным работам, зачетам и экзаменам.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word XP и содержится в файле сопромат.rar.

Табл. 8. Ил. 136. Библиогр.: 7 назв.

Рецензенты: кафедра начертательной геометрии и графики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. Ю.А. Цеханов);

канд. физ.-мат. наук, доц. В.Н. Потапов

© Воропаев А.А., Томилов Ф.Х., 2006

© Оформление. ГОУВПО «Воронежский

государственный технический универ-

ситет», 2006

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем пособии рассматриваются методика и техника решения задач по курсу «Сопротивление материалов». Сборник охватывает основные разделы базовой части курса, предусмотренные типовой программой для технических вузов и содержит около двухсот задач, предназначенных для аудиторных занятий и самостоятельной работы студентов при выполнении домашних заданий в виде расчетно-проектировочных работ, а также при подготовке к контрольным работам, зачетам и экзаменам.

Отличительной особенностью настоящего пособия является использование универсального метода сил для решения статически неопределимых задач.

Условия некоторых задач сопровождаются несколькими расчетными схемами и, таким образом, общее число задач приближается к тремстам. Кроме того, в сборнике дан ряд задач, предназначенных для контрольных работ.

По всем темам курса в задачнике приведены задачи различной категории сложности, начиная от простейших, рассчитанных на знание основ курса и доступных практически всем студентам, и кончая задачами повышенной сложности, требующих от студентов хорошей подготовки и более глубоких знаний изучаемого курса. Задачи повышенной трудности отмечены звездочкой ^*. По каждой теме приведены подробные решения типовых задач с пояснениями и указаниями.

Количество задач в сборнике значительно превышает то, которое может быть использовано в процессе изучения дисциплины. Сделано это с той целью, чтобы в зависимости от особенностей рабочей программы и постановки методики преподавания каждый преподаватель мог найти достаточное количество задач по основным разделам базовой части курса. Кроме того, большое количество простых задач, включенных в сборник, позволяет рассчитывать, что он вполне может быть использован при изучении курса студентами других технических специальностей вузов.

Тематика и схемы некоторых типовых задач заимствованы из учебной литературы, список которой приведен в конце пособия. Подавляющее же большинство задач являются оригинальными и составлены специально для настоящего сборника. При этом был использован и обобщен опыт многолетнего преподавания курса сопротивления материалов в Воронежском государственном техническом университете. По каждому из разделов приводятся задачи, посвященные различным видам расчетов на прочность и жесткость.

Задачи повышенной сложности, к которым даны методические рекомендации по их решению, предназначены для студентов, проявляющих повышенный интерес к предмету, и могут быть использованы при их подготовке к олимпиадам по сопротивлению материалов.

Настоящее пособие имеет целью облегчить студентам усвоение одной из наиболее сложных инженерообразующих дисциплин, приучить их к работе над книгой и развить в них навыки самостоятельного изучения материала. Книга призвана оказать помощь студентам в овладении методами решения типовых задач, связанных с расчетами элементов конструкций на прочность и жесткость в условиях статического нагружения.

1. Растяжение (сжатие)

1.1. Статически определимые системы

1.1. Ступенчатый стальной стержень (рис. 1.1а) нагружен сосредоточенной силой Р и равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью . При расчете основания (площадь ) учитывается его собственный вес ( – удельный вес материала). Провести проверочный расчет на прочность и жесткость при заданном допускаемом напряжении [ ] и допускаемом изменении длины [ ]. Числовые данные: ; ; ; ; ; ; .

Рис. 1.1

Условие прочности при растяжении (сжатии) имеет вид

, (1.1)

где – нормальное напряжение; – нормальная сила; – площадь поперечного сечения.

Нормальные силы определяем методом сечений, разбивая стержень на три участка (см. рис. 1.1а). При этом, проводя на каждом участке произвольное сечение, рассматриваем равновесие верхней части стержня. Тогда нет необходимости определять реакцию опоры. Выражения для нормальных сил приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

№ участка	Интервал изменения координаты z	Нормальная сила N
1
2
3

Нормальные напряжения на участках стержня рассчитываем по формулам:

, , .

Эпюры и , соответствующие заданным нагрузкам, приведены на рис. 1.1, б, в. Как видим, условие прочности (1.1) выполняется.

Проверим выполнение условия жесткости .

Изменение длины стержня

.

Знак «минус» указывает на то, что стержень при деформировании становится короче. Условие жесткости выполнено.

1.2. Для стержней, изображенных на рис.1.2, необходимо:

1) построить эпюры нормальных сил , нормальных напряжений и определить смещение сечения I-I (схема а);

2) подобрать величину площади поперечного сечения из расчета на прочность (схема б);

3) определить допускаемое значение силы из расчета на прочность и жесткость (схема в);

4) определить укорочение стержня с учетом его собственного веса (схема г).

а)	б)	в)	г)

Рис. 1.2

1.3. Абсолютно жесткая (недеформируемая) балка , поддерживаемая с помощью шарнира и трех стальных стержней, нагружена силой (рис. 1.3). Подобрать площади поперечных сечений стержней при заданном допускаемом напряжении . При этом вертикальное смещение точки приложения силы не должно превышать допускаемого значения . Числовые данные: ; ; ; ; .

Рис. 1.3 Рис. 1.4

Решение

Вначале проведем проектный расчет на прочность. В этом случае условие прочности (1.1) перепишем в виде

. (1.2)

Для определения нормальных сил , , в стержнях, рассмотрим равновесие вырезанного узла С (рис. 1.4, а) и балки АВ (см. рис. 1.4, б). При этом все нормальные силы направляем от сечений, т.е. считаем стержни растянутыми. Для узла С запишем два уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на оси и (угол ):

а для балки АВ ограничимся уравнением моментов всех сил относительно шарнира А

откуда

Знаки полученных сил показывают: второй стержень растянут, а первый и третий – сжаты.

Подставляя величины , , в условие (1.2) и учитывая, что , , , получим три неравенства:

, ,

,

откуда выбираем значение .

Далее проверим условие жесткости

, (1.3)

где – вертикальное смещение точки В приложения силы Р.

Для определения воспользуемся формулой Максвелла-Мора [I]

(1.4)

где , – длины стержней (см. рис. 1.3); , , – нормальные силы в поперечных сечениях стержней от действия единичной силы, приложенной в точке В и направленной по вертикали (рис. 1.5). Из уравнений равновесия узла С (рис. 1.6, а) и балки АВ (рис. 1.6, б) найдем

, .

Рис. 1.5 Рис. 1.6

Согласно (1.4)

Таким образом, условие жесткости (1.3) выполнено и окончательные значения площадей , , .

1.4. При изготовлении системы, состоящей из двух стальных стержней одинакового сечения (рис.1.7), стержень I изготовлен на величину короче проектного размера. Определить смещение узла А после сборки системы и повышения ее температуры на . Числовые данные: ; ; ; .

Решение

Так как направление перемещения узла А заранее неизвестно, разложим его на две составляющие (например,

Рис.1.7 горизонтальную и вертикальную ).

Тогда

(1.5)

Каждую составляющую определим по формуле Максвелла-Мора [I] для случая неточно изготовленных стержней и изменения их температуры:

(1.6)

где , – длины стержней (см. рис. 1.7); , – нормальные силы, возникающие в сечениях стержней от действия горизонтальной единичной силы (рис. 1.8, а, б);

- нормальные силы, возникающие в сечениях стержней ,от действия вертикальной единичной силы (см. рис.1.8 в, г).

Рис. 1.8

Из уравнений равновесия узла (см. рис. 1.8, б, г) получим

, , , .

Из соотношений (1.6) получим

,

.

Знаки полученных перемещений показывают, что узел смещается вниз и вправо.

Полное перемещение согласно (1.5) равно

.

1.5. Для изображенных ниже конструкций необходимо:

1) провести проверочный расчет на прочность и жесткость (рис. 1.9);

2) подобрать площади поперечных сечений стержней (рис. 1.10);

3) определить допускаемое значение нагрузки (рис. 1.11).

Заштрихованные части конструкций считать абсолютно жесткими, материал стержней одинаковым.

Рис. 1.9
Рис. 1.10
Рис. 1.11

1.6. Для изображенных ниже стержневых систем необходимо:

1) подобрать размеры поперечных сечений стержней и найти вертикальное смещение узла (рис. 1.12);

2) определить допускаемое значение нагрузки (рис. 1.13);

3) проверить прочность конструкции (рис. 1.14). Стержни изготовлены из одного материала.

Рис. 1.12

Рис. 1.13

Рис. 1.14

1.7. Подобрать диаметр шпилек крепления крышки к фланцу цилиндра, считая распределение усилий между шпильками равномерным, и проверить прочность штока поршня (рис. 1.15).

Дано: внутренний диаметр цилиндра , избыточное давление газа в цилиндре , число шпилек , диаметр штока , допускаемое напряжение для материала шпилек , а для материала штока .

1.8. Под каким углом следует приложить силу к системе из двух стержней (рис.1.16), чтобы узел перемещался горизонтально? Длины стержней одинаковы.

Рис.1.15

Рис.1.16

1.9. Абсолютно жесткий брус , весом которого можно пренебречь, (рис. 1.17) подвешен на двух одинаковых тягах и нагружен сосредоточенной силой . Определить положение груза, при котором вертикальное перемещение точки его приложения минимально.

1.10. Между неподвижными точками и (рис. 1.18) горизонтально натянута стальная проволока диаметром 1 мм. К точке посредине длины проволоки подвешивается постепенно увеличивающаяся нагрузка . Когда удлинение проволоки достигло 0,5 %, она порвалась. Чему в этот момент равен груз , какова величина опускания точки и какой величины напряжения в проволоке в момент разрыва? Считать, что до момента разрыва проволока имеет лишь упругие деформации. Модуль упругости .

Рис. 1.17

Рис. 1.18

1.11^*. Тонкая бесконечно длинная упругая лента, площадь поперечного сечения которой , погонный вес , свободно лежит на шероховатой поверхности (рис. 1.19). Определить силу , необходимую для смещения конца ленты на . Коэффициент трения ленты по поверхности опоры , модуль упругости материала ленты .

Рис. 1.19

Рекомендации.

Лента бесконечной длины. Под действием силы деформируется ее участок длиной . На этом участке лента нагружена равномерно распределенными силами трения интенсивностью . Из условия равновесия определяем зависимость от . Перемещение равно удлинению участка длиной .

Ответ: .

1.12^*. Два одинаковых упругих стержня и расположены строго вертикально и соединены шарнирно (рис. 1.20). Определить напряжения в стержнях после приложения в шарнире горизонтальной силы .

Рис. 1.20

Дано: – модуль упругости; – площадь поперечного сечения стержня; – длина стержня. Рекомендации. Данная задача представляет случай, когда нельзя использовать принцип неизменности начальных размеров при записи уравнений равновесия. Для решения этой задачи необходимо при составлении уравнений равновесия рассмотреть конструкцию в дефор-мированном состоянии (рис. 1.21).

Рис. 1.21

Ответ: , .