4.2. Критерии устойчивости

Существуют так называемые критерии устойчивости, в основу которых положен известный в теории функций комплексного переменного принцип аргумента, а точнее следствие принципа аргумента, доказательство которого изложены ниже.

На комплексной плоскости λ каждому корню соответствует вполне определенная точка (рис.4.2).

Рис.4.2. Модуль и фаза λ_i характеристического уравнения устойчивой системы

Геометрически каждый корень λ_i изображается в виде вектора, проведенного из начала координат к точке λ_i. Длина этого вектора равна модулю комплексного числа λ_i, т.е. , а угол, образованный вектором с положительным направлением – действительной оси, аргументу или фазе комплексного числа λ_i, т.е. arg λ_i. Величины (λ – λ_i), входящие множителями в D(λ), геометрически изображаются векторами, проведенными из точек λ_i к точке λ (рис.4.3). Этот вектор не что иное, как разность двух векторов, соответствующих λ и λ_i , положив λ = jω в D(λ) получим

. (4.7)

Рис.4.3. Элементарный вектор (λ – λ_i)

Концы элементарных векторов (jω–λ_i) будут находиться на мнимой оси (рис.4.4) в точке λ = jω. D(jω) – вектор, равный произведению элементарных векторов (jω–λ_i) и действительного числа α₀. Модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов и α₀

, (4.8)

а аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементарных векторов:

Условимся считать вращение векторов против часовой стрелки положительным. Тогда при изменении ω от –∞ до +∞ каждый элементарный вектор (jω – λ_i) повернется на +π если его начало (корень λ_i) лежит в левой части комплексной плоскости λ и на угол –π если его начало (корень λ_κ) лежит в первой части комплексной плоскости λ (рис.4.5).

Рис.4.4. Элементарные векторы (jω – λ_i)

Рис.4.5. Изменение аргументов (jω–λ_i) и (jω–λ_κ) при возрастании ω от –∞ до +∞

Предположим, что уравнение D(λ) = 0 имеет m корней в правой части плоскости λ и, следовательно, n–m корней в левой части комплексной плоскости. Тогда при возрастании ω от –∞ до +∞ изменение аргумента вектора D(jω) или угол поворота D(jω) (равный сумме изменений аргументов элементарных векторов) будет равен

. (4.9)

Отсюда следует теорема:

изменение аргумента D(jω) при возрастании ω от –∞ до ∞ равно разности (n–κ) между числом корней уравнения D(λ) = 0, лежащих в левой части плоскости λ и числом (κ) корней уравнения, лежащих в правой части плоскости λ умноженной на π.

Эта теорема является следствием принципа аргумента.

Отметим также необходимое условие отрицательности действительных частей корней уравнения D(λ) = 0.

Так как для действительных корней λ_i = –α_i

,

а для сопряженных комплексных корней

,

то после подстановки (λ – λ_i) в многочлен D(λ) и раскрытия скобок получим при α₀  0 многочлен с положительными коэффициентами (т.к. если α₀  0, то без нарушения общности можно D(λ) = 0 умножить на –1). Кроме того, очевидно, что если все коэффициенты положительны, то уравнение D(λ) = 0 заведомо не может иметь отрицательных действительных корней.

Критерий устойчивости Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова является геометрической интерпретацией соотношения (4.9). Для доказательства этого критерия рассмотрим характеристическое уравнение (4.5)

Если все корни этого уравнения лежат в левой части комплексной плоскости λ и, значит, в правой части плоскости корней нет, то κ = 0 и согласно формуле (4.9)

.

Таким образом, это условие соответствует устойчивости системы. Отсюда заключаем, что система автоматического регулирования будет устойчива, если при возрастании ω от –∞ до +∞ изменение аргумента вектора

,

где n – система уравнения D(λ) = 0 и nπ – наибольшее значение аргумента D(jω).

При изменении ω от –∞ до +∞ вектор D(jω) на комплексной плоскости D опишет своим концом кривую, которая называется характеристической кривой или годографом вектора D(jω).

Уравнение характеристической кривой можно найти подстановкой λ= jω в многочлен D(λ):

(4.10)

Отделяя действительную и мнимую части в формуле (4.10) получаем

(4.11)

где

. (4.12)

Действительная часть U(ω) является четной функцией, а мнимая V (ω) – нечетной функцией ω, т.е.

U(ω) = U(–ω); V(–ω) = –V(ω).

Поэтому для отрицательных значений ω

D(–jω) = U(ω) – jV(ω).

Отсюда заключаем, что характеристическая кривая симметрична относительно действительной оси при ω и –ω. Поэтому построение характеристической кривой можно ограничиваться лишь положительными значениями ω от 0 до ∞, при этом угол поворота вектора D(jω), т.е. изменение аргумента D(jω) уменьшится вдвое и, следовательно, критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом:

Система автоматического регулирования будет устойчива, если при возрастании ω от 0 до ∞ вектор D(jω) повернется на угол , где n – степень уравнения D(λ) = 0 или, что тоже самое, если характеристическая кривая при изменении ω от 0 до ∞, начиная с положительной действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки) n квадратов (Михайлов А.В. 1938г.).

На рис.4.6 изображены характеристические кривые для n = 1,2,3,4,5 соответствующие устойчивым системам, а на рис.4.7 – характеристическая кривая для n = 4 соответствующая неустойчивой системе.

Рис.4.6. Характеристические кривые устойчивых систем (n = 1,2,3,4,5).

Рис.4.7. Характеристические кривые неустойчивой системы (n = 4)

Очевидно, что характеристическая кривая при изменении ω от 0 до ∞ будет обходить n квадрантов в положительном направлении, если U(0)  0 и V'(0)  0 и уравнения

U(ω) = 0; V(ω) = 0

имеют все действительные и перемежающиеся корни, т.е. если между каждыми двумя соседними корнями V(ω) = 0 [U(ω) = 0] лежит один корень U(ω) = 0 [V(ω) = 0]. Так, например, при n = 4 случай графический изображенный на рис.4.8. соответствует устойчивой системе, а на рис.4.9 неустойчивой системе.

Рис.4.8. Действительная и мнимая части кривой (n=4) устойчивой системы

Рис.4.9. Действительная и мнимая части кривой (n=4) неустойчивой системы

Система будет находиться на границе устойчивости, если характеристическая кривая при некотором значении ω = ω₀ пересекает начало координат, обходя при этом (n–1) квадрантов.

В этом случае ω₀ является одновременно корнем уравнений

U(ω) = 0; V(ω) = 0

Способы построения характеристической кривой могут быть разнообразными.

Характеристическую кривую можно построить по уравнениям (4.6), задаваясь последовательно значениями ω и вычисляя U(ω) и V(ω). При этом может оказаться удобной следующая методика вычисления, которая избегает возведения в степень ω =ω₁

Представляя D(λ) в виде

(4.13)

где – многочлен степени n–2, а – остаток от деления D(λ) на D₁(λ).

Если в формуле (4.13) подставить λ = jω, то первое слагаемое в правой части обратится в нуль, и

,

Откуда получаем

U(ω₁) = b_n; V(ω₁) = b_n–1ω₁.

Таким образом, вычисление действительной и мнимой части D(jω₁) сводится к вычислению коэффициентов b_n и b_n–1.

Для этой цели подставим выражения D(λ) и D₁(λ) в формулу (4.13) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях λ. Тогда легко получить выражения, определяющие коэффициенты b₁ через а₁ и ω₁:

…

Эти выражения позволяют простейшими арифметическими операциями последовательно определить b₀, b₁, b₂ и, наконец, b_n-1 и b_n.

Однако удобно строить характеристическую кривую геометрическим способом, использующим специфику характеристических уравнений систем автоматического регулирования.

Характеристическое уравнение можно представить в виде

Уравнение характеристической кривой в этом случае будет

Годографы и имеют простой вид для типовых звеньев системы регулирования.

Для построения характеристической кривой D(jω) нужно:

1. Построить характеристическую кривую

простым перемножением векторов для каждого значения ω.

2. Построить характеристическую кривую

аналогичным образом; эта кривая обычно имеет простой вид.

3.Сложить векторы, соответствующие характеристическим кривым D_p(jω) и М_p(jω) для каждого значения ω.

Для простейших одноконтурных систем М_p(jω) = k постоянно и поэтому последние два этапа заменяются простым смещением характеристической кривой вправо параллельно мнимой оси на величину k.

Существуют и другие критерии устойчивости: Рауса и Гурвица, Найквиста и Михайлова и т.д. (логарифмические частотные характеристики).