5.5. Классическая теория нестационарного теплового процесса

в электрической машине

В основе расчёта нестационарного теплового режима лежит классическая теория нагрева однородного тела, к которому при определённых допущениях можно свести электрическую машину или какую-нибудь её часть (статор, якорь и т.п).

Дифференциальное уравнение нагревания такого тела можно составить следующим образом. Пусть в единицу времени в теле выделяется количество тепла Р.

Тогда за время dt выделится тепло Рdt. Одна часть этого тепла идёт на нагревание тела, другая рассеивается в окружающую среду.

Пусть за время dt температура возросла на . Если G – масса тела, а c – его удельная теплоёмкость, то на нагрев тела пошло следующее количество тепла Gcd.

Количество тепла, рассеиваемое в окружающее пространство зависит от:

1. поверхности теплоотдачи S;

2. способности этой поверхности рассеивать тепло, которая оценивается коэффициентом теплоотдачи с поверхности ;

3. превышения температуры тела над окружающей средой .

Следовательно количество рассеиваемого тепла равно

Sdt. (5.34)

Уравнение нагревания будет иметь вид

Pdt = Gcd + Sdt. (5.35)

Уравнение теплового баланса преобразуется в дифференциальное уравнение

(5.36)

которое удобно представить в виде

(5.37)

где Т – постоянная времени нестационарного теплового режима

(5.38)

_∞ – установившееся превышение температуры тела(т.к. при t→∞ d/dt→0 и →_∞)

(5.39)

(5.40)

(5.41)

(5.42)

после интегрирования получим

. (5.43)

Постоянная С находится через начальное превышение температуры при t = 0,  =₀

С = ln( - ₀). (5.44)

После подстановки постоянной С получим превышения температуры от времени

(5.45)

Рассмотрим два важных случая. Нагревание тела при ₀ = 0, когда уравнение имеет вид (рис. 5.6, а)

(5.46)

Охлаждение тела, в котором выделения тепла Р =0, _∞ = 0, имеющего при t =0 превышение температуры  = ₀, тогда уравнение охлаждения имеет вид (рис. 5.6, в)

(5.47)

В общем случае превышение температуры определяется как сумма двух членов, один из которых включает _∞, а другой ₀.

Если потери в теле таковы, что _∞>₀, то происходит нагревание тела (рис.5.6, с); если _∞<₀ то происходит охлаждение (рис.5.6, d).

Изменение температуры частей во времени приходится рассчитывать в масштабах, предназначенных для кратковременных и повторно-кратковременных режимов работы. В машинах, номинальный режим которых длителен, можно ограничиться расчетом установившихся температур активных частей.

t

Теория регулярного теплового режима. Ценность классического решения задачи нестационарного нагрева заключается в том, что решение можно распространить на неоднородные, неравномерно нагревающиеся тела и системы тел.

Сущность теории регулярного теплового режима заключается в следующем. Для тела любой конфигурации свободную составляющую температурного поля можно выразить

следующим образом

(5.48)

где U_i – собственные функции; A_i – амплитуды, зависящие от начальных условий.

Коэффициенты m_i образуют вырастающую последовательность положительных чисел, которая при некотором значении времени t обуславливает практическое затухание всех экспонент, кроме первой, и наступление регулярного режима, когда

(5.49)

Рассматривая вместо температурного поля среднюю температуру тела, получим A₁U₁=C , т.е. придем к классическому решению, для которого T=1/m₁, а  - среднеобъёмное превышение температуры.

Поскольку условия охлаждения реального тела характеризуются не только внешним тепловым сопротивлением R_T , но и внутренним R_T , то

(5.50)

Таким образом, оба параметра можно определить по данным стационарного режима.

Погрешность рассматриваемого метода в большей степени зависит от отношения R_/R_. При значении R_/R_ < 0.3 погрешность не превосходит 2 %.