Потенциальная энергия

. (2.96)

Удельная потенциальная энергия, отнесенная к единице массы

. (2.97)

Т.к. сечение элементарной струйки мало, можно считать, что средняя скорость для элементарного объема w = const равна скорости в данной точке v. Тогда кинетическая энергия элементарного объема

. (2.98)

Удельная кинетическая энергия

. (2.99)

Полная удельная энергия, отнесённая к единице массы элементарной струйки

. (2.100)

Для идеальной несжимаемой жидкости, обладающей абсолютной текучестью, полная удельная энергия не изменяется по длине элементарной струйки, т.е.

. (2.101)

Для двух сечений 1 и 2

. (2.102)

Это уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении.

Если разделить все члены уравнения на g, тогда все члены вновь полученного уравнения будут иметь размерность геометрической высоты

, (2.103)

где – скоростная высота, т.е. высота, падая с которой частица жидкости приобрела бы скорость v;

– пьезометрическая высота, т.е. высота столба жидкости, которую может поддерживать давление р;

h – высота положения относительно некоторого уровня отсчета;

h_d – гидравлическая высота.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Поток реальной жидкости состоит из множества элементарных струек. Для элементарной струйки потока идеальной жидкости гидродинамическая высота в любом сечении – постоянная величина.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной (вязкой) жидкости

, (2.104)

где – удельные потери энергии за счет сопротивления жидкости.

Применение уравнения Бернулли, выведенного для отдельной струйки, для потока жидкости затрудняется неравномерностью распределения скоростей по живому сечению потока, наличием поперечных составляющих продольной скорости и влиянием центробежных сил. В связи с этим необходимо установить характеристику потоков, для которых можно применять уравнение Бернулли, а также предложить способ учета неравномерности скоростей в живых сечениях потока.

Для решения этих вопросов в гидравлике выделяется так называемое плавно изменяющееся движение, которое характеризуется следующими особенностями:

1. Угол расхождения соседних струек, а следовательно, и поперечные составляющие скоростей в живых сечениях потока настолько малы, что ими можно пренебречь и рассматривать течение как происходящее только с продольной скоростью.

2. Кривизна линий тока настолько мала, а радиусы закруглений настолько велики, что центробежными силами в таких потоках можно пренебречь.

3. Кривизна живых сечений при неравномерном распределении скорости настолько мала, что их можно рассматривать как плоские.

4. Гидродинамическое давление в живых сечениях распределяется по законам гидростатики, т.е. сумма z + p/ = const для всех точек данного живого сечения. Следовательно, уровень в пьезометрах при плавно изменяющемся движении во всех точках живого сечения потока будет одним и тем же.

В случае плавно изменяющегося движения уравнение Бернулли для элементарной струйки можно распространить и на поток с поперечным сечением конечных размеров, скорости, в различных точках которого различны. Однако в гидравлике обычно расчеты ведутся по средним скоростям. Для приведения результатов расчетов, по средним скоростям в соответствие с расчетами по действительным скоростям вводятся некоторые поправочные коэффициенты (коэффициент Кориолиса _к).

Рис. 2.16. Распределение скоростей и давлений в потоке

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости имеет вид

, (2.105)

где w – средняя скорость; _К – коэффициент Кориолиса; α_Кw = v_ср.кв – среднеквадратическая скорость.

Обычно для упрощения гидравлических расчетов трубопроводов для турбулентных потоков принимают _к = 1 и уравнение Бернулли для потока будет иметь вид

. (2.106)