2.4. Кинематика жидкости, основные понятия и уравнения гидродинамики

Описание движения жидкости

При проведении расчётов движения охлаждающих сред в каналах электрических машин исходят из общих законов движения жидкостей и газов. При изучении движения жидкости рассматриваются две основные задачи.

1. Заданы гидродинамические характеристики потока (скорость и давление); требуется определить силы, действующие на жидкость.

2. Заданы силы, действующие на жидкость; требуется определить гидродинамические характеристики потока.

Применительно к идеальной жидкости гидродинамическое давление имеет тот же смысл, что и гидростатическое давление. При анализе движения вязкой жидкости оказывается, что

, (2.43)

где р_х, р_у, р_z — действительные нормальные напряжения в рассматриваемой точке, относящиеся к трем произвольно намеченным в этой точке взаимно ортогональным площадкам. Гидродинамическим давлением в точке считают величину

, (2.44)

При этом считается, что величина р не зависит от ориентировки взаимно ортогональных площадок.

В дальнейшем будет рассмотрена задача определения скорости и давления при известных силах, действующих на жидкость. Следует отметить, что скорость и давление для разных точек жидкости будут иметь различные величины и, кроме того, для данной точки пространства они могут изменяться во времени.

Для определения составляющих скорости по координатным осям v_x, v_y, v_z и давления р в гидравлике рассматриваются следующие уравнения.

1. Уравнение несжимаемости и неразрывности движущейся жидкости (уравнение баланса расхода жидкости).

2. Дифференциальные уравнения движения (уравнения Эйлера).

3. Уравнение баланса удельной энергии потока (уравнение Бернулли).

Ниже приведены эти уравнения, составляющие теоретическую базу гидродинамики, с предварительными пояснениями некоторых исходных положений из области кинематики жидкости.

При изучении движения жидкости можно пользоваться двумя методами исследования. Первый, развитый Лагранжем и названный субстанциональным, заключается в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения ее отдельных индивидуальных частиц.

Второй, развитый Эйлером и названный локальным, состоит в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения в отдельных неподвижных точках, через которые протекает жидкость.

В гидродинамике применяют оба метода. Однако благодаря простоте более распространен метод Эйлера. По методу Лагранжа в начальный момент времени t₀ отмечают в жидкости определенные частицы и далее следят во времени за движением каждой отмеченной частицы и за ее кинематическими характеристиками. Положение каждой частицы жидкости в момент времени ц определяется тремя координатами в неподвижной системе координат, т. е. тремя уравнениями:

, (2.45)

где х, у, z — координаты частицы; t — время.

Для составления уравнений, характеризующих движение различных частиц потока, необходимо учитывать положение частиц в начальный момент времени, т. е. начальные координаты частиц.

Например, точка М (рис. 2.9) в момент времени t = 0 имеет координаты а, b, с. Соотношения (2.45) с учетом а, b, с примут вид

(2.46)

Рис. 2.9

В соотношениях (2.46) начальные координаты а, b, с могут рассматриваться как независимые переменные (параметры). Следовательно, текущие координаты х, у, z некоторой движущейся частицы являются функциями переменных а, b, с, t, которые называются переменными Лагранжа.

При известных соотношениях (2.46) движение жидкости вполне определено. Действительно, проекции скорости на координатные оси определяются соотношениями (как первые производные от координат по времени):

(2.47)

Проекции ускорений находятся как вторые производные от координат (первые производные от скорости) по времени (соотношения 2.47).

Траектория любой частицы определяется непосредственно из уравнений (4.1) путем нахождения координат х, у, z выбранной частицы жидкости для ряда моментов времени.

По методу Эйлера изучение движения жидкости состоит: а) в исследовании изменений во времени векторных и скалярных величин в некоторой фиксированной точке пространства; б) исследовании изменений этих величин при переходе от одной точки пространства к другой.

Таким образом, в методе Эйлера предметом изучения являются поля тех или иных векторных или скалярных величин. Полем какой-либо величины, как известно, называется часть пространства, в каждой точке которого имеется определенное значение этой величины.

Математически поле, например скоростное, описывается следующими уравнениями:

(2.48)

т.е. скорость

(2.49)

является функцией координат и времени.

Переменные х, у, z, t называют переменными Эйлера.

Таким образом, в методе Эйлера движение жидкости характеризуется построением поля скоростей, т. е. картины движения в различных точках пространства в каждый данный момент времени. При этом скорости во всех точках определяются в виде функций (2.48).

Метод Эйлера и метод Лагранжа математически связаны между собой. Например, в методе Эйлера, частично используя метод Лагранжа, можно следить за движением частицы не в течение времени t (как это следует по Лагранжу), а в продолжение элементарного отрезка времени dt, в течение которого данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. При этом для определения проекций скорости на координатные оси можно будет пользоваться соотношениями (2.47).

Из соотношений (2.46) следует, что координаты х, у, z являются функциями времени. Тогда v_x, v_y, v_z будут сложными функциями времени. По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь

(2.50)

где W_x, W_y, W_z — проекции ускорения движущейся частицы на соответствующие координатные оси. Так как для движущейся частицы

(2.51)

то

(2.52)

Частные производные

(2.53)

называют проекциями локального (местного) ускорения.

Суммы вида

(2.54)

называют проекциями конвективного ускорения.

Полные производные

(2.55)

называют еще субстанциональными или индивидуальными производными.

Локальное ускорение определяет изменение во времени скорости в данной точке пространства. Конвективное ускорение определяет изменение скорости по координатам, т. е. при переходе из одной точки пространства в другую.

Очевидно, что такое подробное описание движения частицы жидкости требует громоздкого математического аппарата. Однако оно необходимо в тех случаях, когда требуется знать траекторию движения частицы жидкости, например при изучении молекулярных взаимодействий. При этом среда рассматривается как дисконтинуум, т.е. не сплошная. (представление Лагранжа).

Между тем развитие гидродинамики показало, что весьма плодотворной является концепция сплошной среды, так называемого континуума, когда не рассматривается молекулярная структура вещества. (представление Эйлера).

Жидкости и газы, состоящие на самом деле из отдельных молекул, могут рассматриваться во многих практических задачах в качестве сплошных сред.

Такое представление возможно, когда речь идёт о жидкостях и не разреженных газах. Это правило неприемлемо для сильноразреженных газов, а так же при изучении физических процессов диффузии, внутреннего трения и теплопроводности. Однако для описания движения охлаждающих сред по каналам оно вполне справедливо.

Траекторией движущейся частицы жидкости называют путь одной и той же частицы, прослеженной во времени. Изучение траекторий частиц лежит в основе метода Лагранжа. При исследовании движения жидкости по методу Эйлера общее представление о движении жидкости можно составить при помощи построения линий тока. Линией тока называют такую линию, в каждой точке которой в данный момент времени t векторы скорости являются касательными к этой линии.

Следует подчеркнуть разницу между траекторией частицы и линией тока. Траектория относится лишь к одной определенной частице, изучаемой в течение определенного отрезка времени. Линия тока относится к определенной совокупности различных частиц, рассматриваемых в одно мгновение (в данный момент времени).

Причинами движения жидкости являются действующие на неё внешние массовые и поверхностные силы. Основные величины, характеризующие движение жидкости, это гидродинамическое давление р = f (х, у, z, t) и скорость движения v = f (х, у, z, t), которые в общем случае изменяются в пространстве и времени.

Задача гидродинамики состоит в определении р и v, установлении связи между ними и законов их изменения при различных случаях движения жидкости. В гидравлике применяется так называемая струйчатая модель движения жидкости. Поток жидкости рассматривается как состоящий из отдельных элементарных струек.

Поток жидкости – движение массы жидкости ограниченной поверхностями соприкосновения жидких или газообразных сред.

Основной элемент гидравлической модели потока – элементарная струйка.

Если в каждый момент времени известен вектор скорости жидкости в каждой точке движущегося объёма жидкости, то говорят, что задано поле скоростей в жидкости. Направление скоростей в потоке характеризуется линиями тока.

Линией тока называют воображаемую кривую, проходящую в жидкости таким образом, что каждая частица жидкости находящаяся на ней в данный момент времени, имеет скорость, совпадающую по направлению с касательной к этой кривой (рис.2.10).

Рис. 2.10. Линия тока

Если при движении жидкости поле скоростей не изменяется с течением времени, то такое движение называется установившимся.

Если поле скоростей жидкости меняется со временем, то движение называется неустановившимся. Линии поля при этом не совпадают с траекториями частиц жидкости.

Рассмотрим линию тока (рис. 2.10).

Если выделить в движущейся жидкости достаточно малый контур, ограничивающий элементарно малую площадку dS (рис.2.11), то поверхность, образуемая линиями тока, проходящими через все точки этого контура, представляет собой трубку тока.

Если через все точки площадки dS провести линии тока, то полученный объёмный пучок линий тока будет называться элементарной струйкой жидкости.

Рис. 2.11. Трубка тока

При установившемся движении элементарная струйка жидкости имеет следующие свойства:

1) площадь данного поперечного сечения струйки и её форма с течением времени не изменяются;

2) невозможно перетекание жидкости через боковую поверхность элементарной струйки;

3) из-за малости площади поперечного сечения струйки можно считать, что во всех точках этого поперечного сечения скорости движения одинаковы.

По длине потока форма, площадь поперечного сечения элементарной струйки и скорости в поперечных сечениях могут изменяться.

Живым сечением струйки называется элементарно малая площадка dS, перпендикулярная линиям тока.

Скорости жидкости в различных точках сечения можно считать равными между собой и равными скорости жидкости в струйке υ.

Расход элементарной струйки dQ – это объём жидкости, проходящей через живое сечение струйки dS в единицу времени

dQ = VdS,[м/с · м²], [м³/с].

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОТОКА.

В гидравлике рассматривают струйную модель движения жидкости, т.е. поток считают состоящим из совокупности элементарных струек, имеющих разные скорости. Для всего потока вводится понятия, аналогичные введённым для элементарной струйки.

Живым сечением потока S называют площадь сечения, перпендикулярного общему направлению движения жидкости.

Смоченным периметром П называют длину той части границы живого сечения, по которой поток соприкасается с ограничивающими его стенками.

Гидравлическим диаметром d_г называют отношение учетверённой площади живого сечения потока к его смоченному периметру

(2.56)

Расходом потока жидкости называют объём жидкости, протекающий через живое сечение в единицу времени.

(2.57)

Средней скоростью жидкости W в данном сечении называется фиктивная скорость потока, одинаковая для всех точек данного живого сечения, при которой через живое сечение проходил бы расход, равный фактическому расходу:

(2.58)

Среднеквадратическая скорость в данном живом сечении потока

(2.59)

Кинематическая энергия потока движущейся жидкости

. (2.60)

Коэффициент кинетической энергии или коэффициент Кориолиса:

. (2.61)

Обычно α_К = 1,05…1,10. Он представляет собой отношение действительной кинетической энергии жидкости, протекающей в единицу времени через живое сечение, к кинетической энергии, который обладал бы поток при том же расхода, если бы скорости во всех точках живого сечения были одинаковы и равны средней скорости.

Примеры.

1. Живое сечение потока при напорном движении показано на рис. 4.6.

2. Живое сечение потока при безнапорном движении дано на рис. 4.7, 4.8.

Отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру ложа называют гидравлическим радиусом R:

. (2.62)

Для круглой трубы

. (2.63)

Рис. 2.12 Рис. 2.13 Рис. 2.14

Уравнения гидродинамики

Законы движения жидкости описываются основными дифференциальными уравнениями гидродинамики. К ним относятся: уравнение неразрывности потока жидкости, уравнение Эйлера, уравнение Навье – Стокса и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока жидкости

В гидромеханике жидкость рассматривается как сплошная среда. Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скорости жидкости

v = v (х, у, z, t) (2.64)

и каких - либо её двух термодинамических величин, например давления р (х, у, z, t).

Задание 5^и величин: 3-х компонентов скорости v_х, v_у, v_z давления р и плотности ρ, полностью определяет состояние движущейся жидкости.

Следует заметить, что v(х, у, z, t) есть скорость жидкости в каждой данной точке х, у, z пространства в момент времени t; то же самое относится к величинам ρ и р.

Рассмотрим некоторый объём пространства V₀. Количество (масса) жидкости в этом объёме есть

Рис. 2.15

(2.65)

где ρ – плотность жидкости, а интегрирование по объёму V₀.

Через элемент поверхности , ограничивающей рассматриваемый объём, в единицу времени протекает количество жидкости: вектор по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к ней. Тогда положительно, если жидкость вытекает из объёма, и отрицательно, если жидкость втекает в объём.

Полное количество жидкости, вытекающей из объёма V₀ в единицу времени

, (2.66)

где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемый объём.

С другой стороны, уменьшение количества в объёме V₀ можно записать в виде

. (2.67)

Приравнивая оба выражения получаем

(2.68)

или

. (2.69)

Преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объёму

. (2.70)

Следовательно

(2.71)

. (2.50)

Поскольку это равенство должно иметь место для любого объёма то должно быть равно нулю подынтегральное выражение

(2.72)

Это так называемое уравнение непрерывности.

Это уравнение можно записать в другом виде раскрыв выражение

(2.73)

где  – оператор (набла).

. (2.74)

По правилам действий с оператором набла

. (2.75)

Следовательно, уравнение непрерывности имеет вид

(2.76)

Вектор называют плотностью потока жидкости.

Уравнение Эйлера

Выделим в жидкости некоторый объем. Полная сила, действующая на выделенный объем жидкости, равна интегралу

, (2.77)

взятому по поверхности рассматриваемого объема. Преобразуя его в интеграл по объему, имеем

, (2.78)

или (2.79)

Из уравнения видно, что на каждый элемент объема жидкости dV действует со стороны окружающей его жидкости сила

grad pdV. (2.80)

Другими словами можно сказать, что на единицу объема жидкости действует сила

grad p. (2.81)

Уравнение движения элемента объема жидкости можно написать, приравняв силу grad P к произведению массы единицы объема жидкости (или плотности) ρ на её ускорение , т.е.

. (2.82)

Стоящая здесь производная есть полная производная, т.е. она определяет не изменение скорости жидкости в данной неподвижной точке пространства, а изменение скорости определённой передвигающейся в пространстве частицы жидкости.

Эту производную надо выразить через величины, относящиеся к неподвижным в пространстве точкам.

Изменение dv скорости данной частицы жидкости в течение времени dt складывается из 2^х частей: из изменения скорости в данной точке пространства в течение времени dt и из разности скоростей (в один и тот же момент времени) в двух точках, разделенных расстоянием пройденным рассматриваемой частицей жидкости в течение времени dt.

Первая из этих частей равна , где производная берется при постоянных x, y, z, т.е. в заданной точке пространства.

Вторая часть изменения скорости равна

(2.83)

Таким образом

(2.84)

(2.85)

(2.86)

Окончательно получаем

, (2.87) (2.65)

Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установленное впервые Л.Эйлером в 1755 г. Оно называется уравнением Эйлера.

Основу всей гидродинамики составляет уравнение Навье-Стокса

(2.88)

или

. (2.89)

Это уравнение справедливо как для сжимаемых, так и для несжимаемых жидкостей. В случае несжимаемых жидкостей уравнение упрощается

. (2.90)

При отсутствии трения ( ) уравнение движения ещё более упрощается и описывает движение идеальной жидкости. Таким образом приходим к уравнению Эйлера

, (2.91)

т. е. получаем уравнение аналогичное уравнению (2.85)

. (2.92)

Уравнение Бернулли ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ

ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим элементарную струйку в установившемся плавно изменяющемся течении жидкости. В этом случае распределение давления подчиняется основному уравнению гидростатики. Определим удельную механическую энергию такой элементарной струйки, считая жидкость несжимаемой.

Потенциальная энергия некоторого элементарного объема равна сумме энергий положения и давления

, (2.93)

где h – высота положения рассматриваемого объема относительно некоторого уровня отсчета.

Энергия положения – потенциальная энергия, которую запасет элементарный объем dV при поднятии его на высоту h.

Энергия давления

. (2.94)

Физический смысл этой энергии заключается в том, что под действием гидростатического давления р элементарный объем dV сложно дополнительно поднять на некоторую высоту

. (2.95)